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《方程的意义》的主要任务就是通过教学帮助学生初步建立方程的概念，是小学高年级数学的典型内容，已经进行了非常多的研究，特别是从建模的角度有很多精彩的论述，在此不再赘述。我们想基于武汉市的一堂《方程的意义》竞赛课的课例，从方程研究的背景、开课揭题、方程的作用、式子分类及板书设计等几个小的切入口来谈一谈对这一内容的一些研究与思考。
一、方程研究的大背景是什么？
首先，“式子”是方程研究的大背景。数学意义上的“式子”是指算式、代数式和方程式等的总称。在小学提得比较多的是算式，一般需要算出得数。代数式则是指用代数运算法（加、减、乘、除、乘方、开方）把数和表示数的字母联结起来的式子。代数式分为有理式和无理式，有理式又分为整式（单项式、多项式）和分式。方程式也是式子的一种。从这一点来讲，研究方程，式子这个大背景不能丢。
其次，“等式”是方程的“属”概念。所谓“等式”是表示两个数或两个代数式相等关系的式子。我们这里所说的方程，也叫方程式，是指含有未知数的等式。因而式子、等式和方程三者之间是“属→种（属）→种”的关系，在人教版小学数学教科书的编排中，也是首先通过天平测量得到“50 50=100”这个式子，再借小精灵来揭示等式这一属概念，为下面建立方程的概念作好铺垫。人教版七年级数学关于方程的编排脉络也是先解决整式的概念及加减法等问题，再来建立方程的概念，学习一元一次方程。
二、为什么一开课就揭示课题？
下面是本节课的开课环节。
课件出示填空题。
1.某班男生有24人，女生有[x]人，这个班一共有（ ）人。
2.小红每分钟打字50个，[m]分钟可以打字（ ）个。
3.有[a]个饺子，每盘装10个，可以装（ ）盘。
揭示课题：刚才我们列出的这些都是数学式子，数学式子还有很多，今天这节课我们继续来研究一种特殊的式子——方程。
板书：方程的意义。
课题的揭示时机，无非三种情况，一是课始，一是课中，一是课后。究竟什么时候揭示最好，这个要看每位教师教学的设计意图，不好定论。作为一名基层教研员，在平时下校视导听课时，发现一些教师对课题的揭示不是很在意，新授课都上完了，到巩固练习时课题才“粉墨登场”，甚至下课铃响了，课题还未正式揭示（板书）的情况。
本节课一开课就及时揭示“方程的意义”这一课题，主要有两点好处：一是先入为主，让师生都尽早地明确今天的教学内容。同时，方程是学生对式子认识的一次扩充，填空题复习了式子，所以此时通过谈话明确：数学式子还有很多，今天这节课我们继续来研究一种特殊的式子——方程，并板书揭示课题“方程的意义”，所以此时板书揭示课题也是一种“顺势而教”。二是定位板书的作用，黑板上面正中的位置确定了，其它的板书也就好布局了。
三、怎样认识方程的作用？
有的观点认为方程可以帮助学生建立“等价模型”；也有的观点认为方程可以训练学生找“等量关系”；还有的观点认为方程能帮助学生解题……《教师教学用书》也对方程的作用从三个方面进行了阐述：一是有助于培养学生的抽象概括能力，发展学生思维的灵活性；二是有助于理解和巩固所学的算术知识；三是有利于加强中小学数学的衔接。
以上这些说法都有道理，从纯应用的角度来说，个人比较倾向于把方程的作用定位于“能比较顺畅地解决问题”。数学问题的解决从操作层面来讲无非两大途径，一是计算，二是推理。方程的作用在于：使学生拥有的解决实际问题的数学工具从列出算式解的单一，到既可以列出算式解，也可以列出方程解的多元。相对而言，方程这一工具的优越性就在于它解题思路的“顺畅”！
小学阶段，尽管二者都以四则运算和常见数量关系为基础，都需要分析数量关系，但相对算术法把未知数始终作为一个“目标”，不参与列式运算，解题思路迂回曲折而言，方程能以一个字母（如[x]）为代表和已知数的地位等同起来，一起参与列式运算，所以解题思路更加直接、简明、顺畅，极大地降低了思维难度，适用面也会更广。学生只要具备两个基础，一是能用方程表示数量关系（列方程），二是会求未知数（解方程），就能够利用方程这个工具顺畅地解决数学问题了。
四、怎样“分类”更有效？
首先，我们来看一看本节课关于这个环节的实录。
师：刚才我们通过天平演示，得到了这么多的式子，我们怎么研究它们呢？你们有什么好的建议？
生：可以把它们分类。
师：那就请你们给这些式子分分类吧。
小组活动，展示三种不同分法。
分类一：
分类二：
分类三：
师：为什么大家分出来的结果会不一样呢？
生：因为我们的分类标准不同。
师：那你们观察、讨论一下，这每一种分法都是按照什么标准分的？
小组讨论。集中反馈：
生1：第一种是含有未知数的分一类，不含有未知数的分一类。
生2：第二种分法是按照等式和不等式分成了两类。
师：第三种分法谁看明白了？
生：第三种分法分了两次，第一次是按等式和不等式分成两类，第二次是按照含不含未知数又把等式分成了两类。
师：大家分析得非常好。在大家的分类结果里有一类非常特殊的式子（指着方程），你们知道它们叫什么吗？
生：方程。
师：对，这一类就是我们今天要研究的方程。现在我们来观察这些方程，你能用自己的话说说什么样的式子是方程吗？请大家在四人小组里说一说……
对于“方程的意义”这一内容的教学，“分类”是绕不过去的一道坎。所谓分类，实质就是对事物本质属性的一种归纳和提炼。本节课对于分类的处理突出了“无序→分类→定向”的思路。开课时见过几个式子，通过天平测量，又认识了一些新的式子（包括等式），这么多的式子怎么研究呢？这时“分类”的必要性就体现出来，通过分类，定向聚焦于新的、过去少见的“式子”进行研究，找出它们的共同特点，归纳提炼出方程的定义。
五、板书为什么要这样设计？
板书素有“微型教案”之称，它是课堂教学内容与教学过程的缩影。好的课堂板书不仅能呈现知识的形成过程，显现知识之间的内在联系，而且还能凸现教学的重难点，有利于学生建构新知。下面是这节课的板书设计。
通过这个板书，想传递出的信息有两点。一是左边的流程图呈现方程这一概念形成的过程，即通过天平平衡实验，使学生找到天平两端数量间的相等关系，明确等式的含义；到后面通过分类，找到含未知数的等式，揭示方程的意义；再通过习题的训练，使学生感受到，方程可以表示数量关系，数量关系也可以用方程来表示。当然这也是本节课的一个教学过程的提炼，方便学生系统地了解新知产生的历程；二是右边的集合图（当然这幅集合图是由学生亲手绘制的），既能与上面方程的文字定义相对应，又能直观地呈现出方程与等式之间的联系。
（作者单位：武汉市青山区教育科学研究中心）
责任编辑 林云志
一、方程研究的大背景是什么？
首先，“式子”是方程研究的大背景。数学意义上的“式子”是指算式、代数式和方程式等的总称。在小学提得比较多的是算式，一般需要算出得数。代数式则是指用代数运算法（加、减、乘、除、乘方、开方）把数和表示数的字母联结起来的式子。代数式分为有理式和无理式，有理式又分为整式（单项式、多项式）和分式。方程式也是式子的一种。从这一点来讲，研究方程，式子这个大背景不能丢。
其次，“等式”是方程的“属”概念。所谓“等式”是表示两个数或两个代数式相等关系的式子。我们这里所说的方程，也叫方程式，是指含有未知数的等式。因而式子、等式和方程三者之间是“属→种（属）→种”的关系，在人教版小学数学教科书的编排中，也是首先通过天平测量得到“50 50=100”这个式子，再借小精灵来揭示等式这一属概念，为下面建立方程的概念作好铺垫。人教版七年级数学关于方程的编排脉络也是先解决整式的概念及加减法等问题，再来建立方程的概念，学习一元一次方程。
二、为什么一开课就揭示课题？
下面是本节课的开课环节。
课件出示填空题。
1.某班男生有24人，女生有[x]人，这个班一共有（ ）人。
2.小红每分钟打字50个，[m]分钟可以打字（ ）个。
3.有[a]个饺子，每盘装10个，可以装（ ）盘。
揭示课题：刚才我们列出的这些都是数学式子，数学式子还有很多，今天这节课我们继续来研究一种特殊的式子——方程。
板书：方程的意义。
课题的揭示时机，无非三种情况，一是课始，一是课中，一是课后。究竟什么时候揭示最好，这个要看每位教师教学的设计意图，不好定论。作为一名基层教研员，在平时下校视导听课时，发现一些教师对课题的揭示不是很在意，新授课都上完了，到巩固练习时课题才“粉墨登场”，甚至下课铃响了，课题还未正式揭示（板书）的情况。
本节课一开课就及时揭示“方程的意义”这一课题，主要有两点好处：一是先入为主，让师生都尽早地明确今天的教学内容。同时，方程是学生对式子认识的一次扩充，填空题复习了式子，所以此时通过谈话明确：数学式子还有很多，今天这节课我们继续来研究一种特殊的式子——方程，并板书揭示课题“方程的意义”，所以此时板书揭示课题也是一种“顺势而教”。二是定位板书的作用，黑板上面正中的位置确定了，其它的板书也就好布局了。
三、怎样认识方程的作用？
有的观点认为方程可以帮助学生建立“等价模型”；也有的观点认为方程可以训练学生找“等量关系”；还有的观点认为方程能帮助学生解题……《教师教学用书》也对方程的作用从三个方面进行了阐述：一是有助于培养学生的抽象概括能力，发展学生思维的灵活性；二是有助于理解和巩固所学的算术知识；三是有利于加强中小学数学的衔接。
以上这些说法都有道理，从纯应用的角度来说，个人比较倾向于把方程的作用定位于“能比较顺畅地解决问题”。数学问题的解决从操作层面来讲无非两大途径，一是计算，二是推理。方程的作用在于：使学生拥有的解决实际问题的数学工具从列出算式解的单一，到既可以列出算式解，也可以列出方程解的多元。相对而言，方程这一工具的优越性就在于它解题思路的“顺畅”！
小学阶段，尽管二者都以四则运算和常见数量关系为基础，都需要分析数量关系，但相对算术法把未知数始终作为一个“目标”，不参与列式运算，解题思路迂回曲折而言，方程能以一个字母（如[x]）为代表和已知数的地位等同起来，一起参与列式运算，所以解题思路更加直接、简明、顺畅，极大地降低了思维难度，适用面也会更广。学生只要具备两个基础，一是能用方程表示数量关系（列方程），二是会求未知数（解方程），就能够利用方程这个工具顺畅地解决数学问题了。
四、怎样“分类”更有效？
首先，我们来看一看本节课关于这个环节的实录。
师：刚才我们通过天平演示，得到了这么多的式子，我们怎么研究它们呢？你们有什么好的建议？
生：可以把它们分类。
师：那就请你们给这些式子分分类吧。
小组活动，展示三种不同分法。
分类一：
分类二：
分类三：
师：为什么大家分出来的结果会不一样呢？
生：因为我们的分类标准不同。
师：那你们观察、讨论一下，这每一种分法都是按照什么标准分的？
小组讨论。集中反馈：
生1：第一种是含有未知数的分一类，不含有未知数的分一类。
生2：第二种分法是按照等式和不等式分成了两类。
师：第三种分法谁看明白了？
生：第三种分法分了两次，第一次是按等式和不等式分成两类，第二次是按照含不含未知数又把等式分成了两类。
师：大家分析得非常好。在大家的分类结果里有一类非常特殊的式子（指着方程），你们知道它们叫什么吗？
生：方程。
师：对，这一类就是我们今天要研究的方程。现在我们来观察这些方程，你能用自己的话说说什么样的式子是方程吗？请大家在四人小组里说一说……
对于“方程的意义”这一内容的教学，“分类”是绕不过去的一道坎。所谓分类，实质就是对事物本质属性的一种归纳和提炼。本节课对于分类的处理突出了“无序→分类→定向”的思路。开课时见过几个式子，通过天平测量，又认识了一些新的式子（包括等式），这么多的式子怎么研究呢？这时“分类”的必要性就体现出来，通过分类，定向聚焦于新的、过去少见的“式子”进行研究，找出它们的共同特点，归纳提炼出方程的定义。
五、板书为什么要这样设计？
板书素有“微型教案”之称，它是课堂教学内容与教学过程的缩影。好的课堂板书不仅能呈现知识的形成过程，显现知识之间的内在联系，而且还能凸现教学的重难点，有利于学生建构新知。下面是这节课的板书设计。
通过这个板书，想传递出的信息有两点。一是左边的流程图呈现方程这一概念形成的过程，即通过天平平衡实验，使学生找到天平两端数量间的相等关系，明确等式的含义；到后面通过分类，找到含未知数的等式，揭示方程的意义；再通过习题的训练，使学生感受到，方程可以表示数量关系，数量关系也可以用方程来表示。当然这也是本节课的一个教学过程的提炼，方便学生系统地了解新知产生的历程；二是右边的集合图（当然这幅集合图是由学生亲手绘制的），既能与上面方程的文字定义相对应，又能直观地呈现出方程与等式之间的联系。
（作者单位：武汉市青山区教育科学研究中心）
责任编辑 林云志