就现行高中数学教材椭圆的标准方程的推导，本文介绍了四种推导方法.并对它们的优缺点进行了简单的点评.
　　已知平面上一动点P(x,y)到两定点F1(-c,0)、F2(c,0)的距离之和为
　　2a(a>c>0)
　　，求此动点的轨迹方程.
　　解法1：由方程
　　(x+c)2+y2+
　　(x-c)2+y2=2a.
　　经过了“两次平方”．并令b2=a2-c2推导出
　　x2a2
　　+y2b2=1
　　为椭圆标准方程，虽然这种方法的思路非常自然、直观，但是由于其间要经过两次两边平方的处理，运算量相对较大，而且繁杂的运算掩盖了问题的实质，使推导不容易全面把握.
　　解法2：由已知不等式
　　(x+c)2+y2
　　+
　　(x-c)2+y2=2a①
　　及恒等式
　　-=4cx
　　②
　　②÷①得
　　(x+c)2+y2
　　-(x-c)2+y2
　　=2cxa
　　 ③
　　①+③得2(x+c)2+y2
　　=2a+2cxa,
　　即(x+c)2+y2
　　=a+cxa,
　　 ④
　　将④两边平方，得
　　(x+c)2+y2=a2+2cx+c2x2a2
　　整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 令b2=a2-c2.
　　得x2a2+y2b2=1为椭圆的标准方程.
　　解法3：由①知
　　(x+c)2+y2,a,
　　(x-c)2-y2
　　构成等差数列，
　　设此等差数列的公式为d，则
　　(x+c)2+y2=a-d,⑤
　　(x-c)2+y2=a+d,⑥
　　
　　将⑤⑥两式平方后相减，得
　　
　　-
　　=(a-d)2-(a+d)2
　　整理,得
　　d=-cax.
　　所以(x+c)2+y2=a+
　　cxa
　　即④，以下同方法2.
　　用以上两种方法同样可以推导出双曲线方程.
　　图1
　　解法4：如图1，过P点向x轴作垂线，设垂足为D，并将P到
　　F1、F2的距离分别设为a+t,a-t.则
　　|PD|=|y|,|F1D|=|x+c|,|F2D|=|x-c|.
　　
　　根据勾股定理,有
　　｜PF1｜2=|PD|2+|F1D|2,
　　|PF2|2=|PD|2+|F2D|2,
　　即(a+t)2=|y|2+
　　|x+c|2,(a-t)2=|y|2+|x-c|2,
　　去掉绝对值并展开为：
　　a2+2at+t2=y2+x2+2cx+c2（1）
　　a2-2at+t2=y2+x2-2cx+c2（2）
　　两式相减得到：at=cx,即
　　t=cax,
　　，
　　将此结果代入（1）或（2）并令b2=a2-c2.
　　再整理即有：
　　x2a2
　　+y2b2
　　=1
　　这就是椭圆的标准方程
　　这种方法也可以几乎不加改变地推广到导出双曲线的标准方程上去.