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摘要： 针对纤维编织复合材料宏观力学参数空间分布的非均匀特性，提出基于正交展开的复合材料等效参数分布场识别方法，利用有限测点加速度响应信息识别复合材料梁上连续分布的等效弹性参数。基于Legendre正交多项式的参数分布场模型，推导了加速度频响函数对正交多项式系数的灵敏度，通过迭代求解优化问题识别复合材料梁沿轴向连续分布弹性参数场。以两端固支Euler-Bernoulli梁为研究对象开展数值仿真研究，验证识别方法的正确性;进一步开展复合材料梁模态试验，利用实测频响函数识别非均匀复合材料梁的杨氏模量场。结果显示，利用识别得到的等效杨氏模量场重构的结构频响函数与试验值高度吻合，表明识别得到的等效杨氏模量场能有效表征梁的刚度分布，且该识别方法对测量噪声具有鲁棒性。
关键词： 复合材料梁; 参数分布场识别; 正交多项式; 灵敏度分析; 试验验证
中图分类号： V214.8; O313.7 文献标志码： A 文章編号： 1004-4523（2019）05-0739-11
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.05.001
引 言
纤维编织复合材料综合了纤维增强体和基体的优势[1]，具有比强度高、比模量大、耐高温和材料力学性能可设计等优点，在航空航天等领域得到了广泛的应用[2-3]。相比传统结构，复合材料结构的设计和分析要求更高，准确的复合材料参数获取方法是结构设计和分析的基础。纤维增强复合材料由于纤维尺寸和纤维排列方式[4]、基体中的孔洞和微裂纹、纤维和基体界面特性的分散性、以及制造工艺的复杂性等诸多因素的影响，其材料宏观力学性能在空间分布上存在非均匀特性。这种非均匀的特性由于诸多不可控因素的影响，并无明显的分布规律，呈现一种随机的特征。复合材料宏观力学性能的非均匀性在一定程度上影响了复合材料结构力学模型的准确性，忽略材料非均匀的建模和分析技术制约了复合材料在先进航空航天结构中的应用。对复合材料的非均匀力学参数进行识别，将提高现有结构设计和分析的精度，有助于复合材料的优越性能在先进航空航天结构中得到更加充分地发挥。
现有复合材料宏观等效参数的识别方法大多建立在材料力学性能均质化假设基础上，主要有理论分析、有限元计算[5]、试验测量等。Shokrieh等[6]建立了二维三轴编织复合材料的有限元单胞模型，基于均匀化理论并通过体积平均方法对复合材料的力学参数和性能进行预测。高思阳等[7]基于单胞模型，预测了纤维编织复合材料的刚度。徐焜等[8]基于细观有限元建模方法，建立了三维五向编织复合材料宏观等效力学性能的分析模型。对于简单的均质化材料参数也可通过试验直接测量获取。刘振国等[9]通过单向静力拉伸试验研究了三维全五向编织复合材料耳片接头的力学性能。然而，针对非均匀复合材料的弹性参数分布场，则无法通过试验测量直接获取。传统的材料弹性参数获取方法较少关注复合材料宏观弹性参数在空间分布上的非均匀性，然而均质化假设一定程度上会影响复合材料结构力学模型的精度以及力学分析结果的可靠性。
近年来，结合数值分析和试验的间接识别方法逐渐被应用于复合材料宏观等效参数的获取。该方法能同时兼顾有限元方法和试验测量方法的优势，建立更合理且准确的复合材料参数化模型，提高复合材料结构动力学建模精度。Mehrez等[10]开展了基于结构固有频率的复合材料梁模型各单元等效弹性模量的识别，利用不同单元的等效弹性模量表征复合材料弹性参数空间分布的非均匀特征;范刚等[11]基于复合材料梁结构的频响函数，完成了类似的识别工作。然而，单元等效弹性模量识别结果并无法反映单元内不同部位处的刚度分布，如果需要更准确的表征结构非均匀特征，则需要识别随空间连续分布的弹性参数场。Adhikari等[12]将空间分布的弹性模量场假设为包含不确定性的随机场模型，基于Karhunen-Loeve展开和结构固有频率，采用模型修正技术识别了复合材料梁的弹性参数随机分布场。Jiang等[13]基于复合材料板的振动试验数据，采用随机模型修正方法，识别了编织复合材料不确定性参数的均值和标准差。Sepahvand等[14]基于复合材料板的模态试验数据，采用基于广义混沌多项式的随机反问题识别方法，获取了考虑复合材料参数不确定性的弹性参数随机模型。
本文针对纤维编织复合材料，考虑了复合材料参数随空间分布的非均匀特性，基于Legendre正交多项式展开的参数分布场模型和灵敏度分析方法，提出了复合材料连续分布参数场的识别方法。该方法适用于非均匀复合材料梁，并具有推广到板等更复杂结构形式的应用前景，能够为复合材料结构的高精度动力学建模以及后续动响应预示和动强度评估提供更准确的参数化模型。
1 连续分布参数场识别原理
纤维编织复合材料宏观力学性能在空间分布上存在非均匀特性，通过正交多项式拟合其空间分布场函数来表征其空间非均匀特性，并建立结构弹性参数分布场模型和加速度频响函数之间的映射关系，进而采用基于灵敏度分析的模型修正方法识别复合材料宏观等效参数的空间分布场。本节仅以复合材料梁杨氏模量沿轴向随空间分布的非均匀特性为例，假定其他力学参数为均匀分布，阐述识别方法的基本原理。
1.1 Legendre正交多项式
正交多项式具有正交、完备的特点，一定阶数的正交多项式叠加，可以很好地拟合复合材料杨氏模量空间分布函数[15]。本文选择Legendre正交多项式作为正交展开的基函数。
基于正交展开识别复合材料梁等效杨氏模量场的步骤为：
1） 根据式（5），建立杨氏模量场的正交多项式模型，将杨氏模量场的识别问题转换为正交多项式系数的估计问题;
2） 基于有限元方法，建立如式（7）中所示的正交多项式系数与结构频响函数之间的映射关系; 3） 采用灵敏度分析方法构造如式（12）中所示的优化问题，通过迭代求解式（13），求解系数向量b;
4） 利用式（5）重构待识别的复合材料梁等效杨氏模量场。
对于复合材料中可能存在非均匀性的其他参数，如剪切模量、泊松比和密度等，该方法也同样适用，且能够统一考虑多参数工况。在实际工程中，需先根據相对灵敏度分析选取对结构力学特性敏感性较大的参数作为待识别参数，并假定其他参数为均匀分布。由于正交多项式为全局正交基，该方法更适用于参数随空间连续缓慢变化的工况。
针对二维结构以及更加复杂的结构，本文提出的方法在结构有限元模型与弹性参数分布场模型参数之间的映射关系，以及相对弹性参数分布场模型参数的灵敏度推导等两个方面仍然可以推广适用;然而，当二维或更加复杂的结构中包含不规则几何边界时，正交多项式模型并无法直接应用于包含不规则边界的弹性参数分布场的拟合中，需要建立不规则几何边界与二维正交多项式函数之间的映射关系[19]。
2 数值仿真研究
2.1 识别算法验证 为验证所提出的分布参数场识别方法的有效性，以一两端固支Euler-Bernoulli梁结构为例，开展数值仿真研究，本算例中仅考虑梁结构杨氏模量沿轴向的空间不均匀分布，假定其他材料参数为均匀。
建立如图1所示复合材料梁的有限元模型，梁的长×宽×高分别为220 mm×15 mm×3 mm，几何参数如表 1所示。根据式（5），建立沿轴向分布的杨氏模量场的正交多项式模型，将正交多项式系数作为待识别的参数。
取前9阶正交多项式级数进行拟合，设定正交多项式系数参考值和初始值，如表2中所示。正交多项式初始值的选取会影响迭代算法的收敛性。弹性参数场的正交多项式模型中，正交多项式系数b0表征杨氏模量场的均值，其初值一般取同一批次复合材料梁三点弯试验获得的杨氏模量的均值。在此次仿真分析中，由于其参考值为4，选取b0的初始值为5。其他阶次的正交多项式级数表征材料参数空间分布的非均匀性，由于弹性模量随空间分布不会偏离过大，因此这些系数一般不宜取过大的值，系数的初始值范围一般推荐为[-2，2]，根据具体材料情况，可适当扩大其范围。将系数参考值和初始值代入Legendre正交多项式级数中，分别得到参考有限元模型和初始有限元模型的杨氏模量场，如图2所示。
在2号节点处施加频域单位载荷，分别计算初始有限元模型与参考有限元模型上其他各节点处的加速度频响函数，如图3中所示。采用基于灵敏度的方法构造优化问题，进行迭代求解，识别梁结构杨氏模量沿轴向的空间分布。在基于频响函数的参数识别过程中，频率点ω的选取会影响识别的精度和效率，应优先选取模型各测点处频响函数曲线峰值频带附近的频率点，避免选择参考模型与初始模型频响函数曲线对应峰值之间的频率点[20]。
部分正交多项式系数的迭代收敛过程如图4（b）所示，经过72次迭代后，各正交多项式参数收敛于参考值，得到如表2中所示的Legendre正交多项式系数识别值。由表2可知，识别相对误差均小于1%。将识别出的正交多项式系数代入Legendre正交多项式级数中，得到如图2中所示的等效杨氏模量场。结果表明：识别得到的等效杨氏模量场与参考分布场高度吻合。
为验证识别后复合材料梁模型的正确性，将识别得到的等效杨氏模量场代入有限元分析模型中，得到如图3中所示的由识别参数场建立的有限元模型的加速度频响函数，与参考模型对应的加速度频响函数曲线高度吻合，验证了本文所提方法的正确性。
2.2 正交多项式模型收敛性讨论
在参数分布场识别过程中，正交多项式模型中多项式阶数需要选定。正交多项式阶数的选取会影响识别结果的收敛性，下面开展不同正交多项式阶数工况下的识别结果收敛性研究。
假定复合材料梁的杨氏模量场函数为一多项式函数，多项式系数参考值如表2所示。分别选取前8，9和10阶正交多项式级数进行拟合，并采用1.3节中的参数识别方法进行正交多项式系数识别。三种工况下正交多项式系数迭代过程如图4所示，识别得到不同拟合阶数的各正交多项式系数如表3所示，将识别得到的各正交多项式系数代入正交多项式级数中，得到如图5所示的不同拟合阶数的杨氏模量场识别结果。
由图4（a）可知，当采用10阶多项式进行拟合时，通过156步迭代后，识别的正交多项式系数收敛于如表2中参考值;由图4（b）可知，当采用9阶多项式进行拟合时，只需通过72步迭代，识别的正交多项式系数收敛于如表2中参考值;由图4（c）可知，采用8阶多项式进行拟合时，多个正交多项式系数无法收敛至参考值，迭代进行到156步后被强行终止，得到如图5所示分布杨氏模量场识别结果。
由表3可知，采用10阶正交多项式拟合的前9阶系数识别结果与采用9阶正交多项式拟合的系数识别结果基本一致，且采用10阶正交多项式拟合时，第10阶正交多项式系数识别结果是一个相对小量。
由此可知：在此工况下，正交多项式取9阶时，识别结果收敛。选取更高阶数的多项式模型，识别精度提高不明显，但计算成本升高;选取低阶模型时，虽然正交多项式系数在迭代过程中可以收敛，但是识别误差相对较大。因此，识别过程中正交多项式模型阶次的定阶准则为：采用不同阶次材料参数分布场正交多项式模型识别结果的收敛性来定阶，选取收敛结果所对应正交多项式模型的最低阶次作为材料参数分布场正交多项式模型的最终阶次。在2.1节的算法验证中，选取收敛的最低阶次模型，即前9阶Legendre正交多项式系数，进行杨氏模量场拟合。
如材料参数场分布规律已知，正交多项式模型的阶次可以通过参数分布场函数的最高频率来确定[19]。然而，针对本文研究的非均匀复合材料结构，其材料参数分布场受材料编织形式、加工工艺等影响呈现随机的特征，其分布规律事先并无法预知，本研究中采用不同阶次材料参数分布场正交多项式模型识别结果的收敛性来定阶。 2.3 边界条件对识别结果影响讨论
为研究本文所提方法在不同边界条件下的适用性，在与上述仿真算例仅边界条件不同的情况下，开展基于悬臂Euler-Bernoulli梁的数值仿真研究。建立如图6所示悬臂梁有限元模型。
在2号点处施加频域内单位载荷，计算得到其他各节点处的加速度频响函数。识别得到如圖2中所示的等效杨氏模量场，并将识别得到的等效杨氏模量场代入悬臂梁有限元计算模型中，计算加速度频响函数，并与参考值比较。图7中给出了由识别参数场建立的有限元模型上各节点处的加速度频响函数与参考值对比结果，验证了识别方法对边界条件的鲁棒性。
由图2可知，在固支-自由边界条件下的复合材料梁的等效杨氏模量场识别结果与参考值在自由端附近存在一定的误差，主要原因为自由端附近的杨氏模量对结构的整体刚度“贡献较小”，频响函数对自由端附近的杨氏模量的灵敏度值相对于固支端较小，导致自由端附近杨氏模量场识别结果存在一定的误差。整体而言，两端固支边界条件下的复合材料梁的等效杨氏模量场识别结果与参考值吻合程度更高。
3 试验研究
对本文所提出的复合材料等效参数分布场识别方法开展试验研究。首先，以呈现明显非均匀特征的C/C复合材料梁为研究对象，开展模态试验，得到梁各测点处的加速度频响函数;进一步，基于灵敏度分析构造优化问题，通过迭代求解识别C/C复合材料梁沿轴向的等效空间分布杨氏模量场。
3.1 试验系统
C/C复合材料试件为二维正交编织层合结构，共由6层平铺而成。试件几何尺寸为300 mm×15 mm×3 mm，夹具间梁的有效长度为220 mm，因此，梁的有限元模型尺寸与仿真分析模型一致。由于梁长度方向的尺寸远大于厚度和宽度方向，因此仅需考虑复合材料梁杨氏模量沿轴向随空间分布的非均匀性，假定其他材料参数为均匀分布。
采用锤击法开展模态试验，试验系统如图8所示，通过夹具将试件两段固支，采用单点激励多点拾振的方式开展试验。由于试件质量较小，采用非接触式的激光位移计测量试件各测点处的动位移响应，克服传统接触式测量方法由于增加传感器质量而影响测量精度的缺点。通过力锤在测点11施加脉冲激励，同时采用激光位移计测量测点2至10（如图1所示）的响应。根据各测点处的激励信号和响应信号，计算得到各测点处的位移频响函数。由于加速度频响值相对弹性模量的灵敏度比位移频响值更大，因此将位移频响值乘以ω2得到加速度频响值，开展基于加速度频响函数的弹性参数分布场识别。
图9中给出了部分测点处的实测加速度频响函数，测量频段为0-1250 Hz。由图9可知，结构的前两阶固有频率分别为340，975 Hz，低频段加速度频响曲线较为光滑，在高频段加速度频响值波动稍大，主要是实测位移中包含噪声，导致位移频响函数中包含噪声，ω2会随着频率的增加迅速增加，引起加速度频响函数在高频段噪声的影响效果被放大。为减小噪声对识别结果的影响，采用小波分析方法对试验获得的加速度频响函数进行去噪处理[21]，图10给出了5号测点去噪前后的加速度频响函数对比结果。
3.2 基于实测频响的参数分布场识别
根据1.3节中的识别步骤，开展基于实测加速度频响函数的复合材料梁等效杨氏模量场识别，识别获得的正交多项式系数如表4所示。将识别得到的正交多项式系数代入式（5），得到如图11所示的复合材料梁等效杨氏模量场识别结果。由于固支边界条件对试件固支端附近梁的抗弯刚度有影响，导致试件固支端附近梁的杨氏模量存在一定的误差，图11中仅给出试件0.02-0.20 m段的杨氏模量识别结果。
将识别得到的复合材料等效杨氏模量场代入有限元模型中，计算得到各测点处的加速度频响函数，并与试验值比较。图12中给出了部分测点处的对比结果。可以发现：由识别得到的等效杨氏模量场建立的有限元模型的加速度频响函数与实测加速度频响函数曲线在低频段吻合度较好， 高频段误差相对稍大，主要是因为高频段实测加速度频响值受噪声信号的影响相对较大。总体而言，识别得到的加速度频响函数结果较理想，进一步验证了识别获得的复合材料梁等效杨氏模量场的正确性。
为验证本文所提参数分布场识别方法在不同试验边界条件下的适用性，采用3.1节中的试验方法，进一步开展复合材料悬臂梁的杨氏模量分布场识别，悬臂梁模态试验系统如图13所示。由1.3节中的识别法，识别得到如图11所示的等效杨氏模量场。考虑到边界条件对识别结果的影响，在此仅取试件0.02-0.20m段的杨氏模量识别结果。将识别得到的结果代入有限元计算模型中，得到识别后模型各测点处的加速度频响函数，并与试验值比较。
图14中给出了部分测点处的加速度频响函数对比结果，可以看出，由识别参数场计算得到的加速度频响函数与试验值基本吻合。
由图11可知，固支-自由边界条件下的复合材料梁等效杨氏模量场识别结果与两端固支边界条件下的识别结果基本一致，验证了本文所提非均匀复合材料等效参数识别方法在不同边界条件下均适用。
4 结 论
本文考虑了纤维编织复合材料参数的空间非均匀分布，结合试验测量和有限元分析，开展了复合材料参数分布场间接识别方法研究。通过正交多项式拟合表征复合材料参数的空间分布，解决了利用有限测点响应信息识别具有无限未知量的非均匀连续分布参数模型的问题。基于数值仿真研究验证了该方法的正确性，讨论了正交多项式模型阶数对识别结果收敛性的影响，并给出了模型的定阶准则;同时验证了该方法在不同边界条件下的适用性。通过试验研究，识别得到了C/C复合材料梁沿轴向随空间分布的等效杨氏模量场。
文中仅研究了复合材料杨氏模量沿单向空间分布的非均匀性，开展了复合材料非均匀参数分布场识别方法研究，对于剪切模量、泊松比、质量密度等多种宏观材料参数同时存在非均匀特性的情况，该方法同样能够统一考虑。在实际工程应用中，需先根据结构分析和相对灵敏度分析选取对结构力学特性敏感性较大的参数作为待识别参数。该方法更适用于参数随空间连续缓慢变化的工况，正交基的选取对识别结果有一定影响，需要开展进一步的深入研究。 参考文献：
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Abstract： An equivalent distributed parameter identification method of composite materials based on orthogonal expansion is proposed， which aims to consider the heterogeneity of the spatially distributed macroscopic mechanical parameters of fiber braided composites. The equivalent continuously distributed parameter of a composite beam is identified by using the acceleration response measured at limited points. Based on the distributed parametric model represented by Legendre orthogonal polynomials， the sensitivity of the acceleration frequency response function over the coefficients of orthogonal polynomial is derived in this paper， then the continuously distributed parameter field of the composite beam along the longitudinal direction is identified by solving the optimization problem iteratively. Numerical simulations on an Euler-Bernoulli beam with both end fixed are conducted to verify the validity of the identification method. Modal test on a composite beam is further carried out and the Young′s modulus field of the heterogeneous composite beam is identified from the measured frequency response functions. Results show that the constructed frequency response function by using the identified equivalent Young′s modulus field agrees well with that from experiment. The identified equivalent Young′s modulus field can effectively characterize the stiffness distribution of the composite beam， and the identification method is robust to the measurement noise.
Key words： composite beam; identification of parameter distribution field; orthogonal polynomial; sensitivity analysis; experimental verification
作者简介： 吴邵庆（1982-），男，副教授。电话：（025）52090521;E-mail：cesqwu@seu.edu.cn
关键词： 复合材料梁; 参数分布场识别; 正交多项式; 灵敏度分析; 试验验证
中图分类号： V214.8; O313.7 文献标志码： A 文章編号： 1004-4523（2019）05-0739-11
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.05.001
引 言
纤维编织复合材料综合了纤维增强体和基体的优势[1]，具有比强度高、比模量大、耐高温和材料力学性能可设计等优点，在航空航天等领域得到了广泛的应用[2-3]。相比传统结构，复合材料结构的设计和分析要求更高，准确的复合材料参数获取方法是结构设计和分析的基础。纤维增强复合材料由于纤维尺寸和纤维排列方式[4]、基体中的孔洞和微裂纹、纤维和基体界面特性的分散性、以及制造工艺的复杂性等诸多因素的影响，其材料宏观力学性能在空间分布上存在非均匀特性。这种非均匀的特性由于诸多不可控因素的影响，并无明显的分布规律，呈现一种随机的特征。复合材料宏观力学性能的非均匀性在一定程度上影响了复合材料结构力学模型的准确性，忽略材料非均匀的建模和分析技术制约了复合材料在先进航空航天结构中的应用。对复合材料的非均匀力学参数进行识别，将提高现有结构设计和分析的精度，有助于复合材料的优越性能在先进航空航天结构中得到更加充分地发挥。
现有复合材料宏观等效参数的识别方法大多建立在材料力学性能均质化假设基础上，主要有理论分析、有限元计算[5]、试验测量等。Shokrieh等[6]建立了二维三轴编织复合材料的有限元单胞模型，基于均匀化理论并通过体积平均方法对复合材料的力学参数和性能进行预测。高思阳等[7]基于单胞模型，预测了纤维编织复合材料的刚度。徐焜等[8]基于细观有限元建模方法，建立了三维五向编织复合材料宏观等效力学性能的分析模型。对于简单的均质化材料参数也可通过试验直接测量获取。刘振国等[9]通过单向静力拉伸试验研究了三维全五向编织复合材料耳片接头的力学性能。然而，针对非均匀复合材料的弹性参数分布场，则无法通过试验测量直接获取。传统的材料弹性参数获取方法较少关注复合材料宏观弹性参数在空间分布上的非均匀性，然而均质化假设一定程度上会影响复合材料结构力学模型的精度以及力学分析结果的可靠性。
近年来，结合数值分析和试验的间接识别方法逐渐被应用于复合材料宏观等效参数的获取。该方法能同时兼顾有限元方法和试验测量方法的优势，建立更合理且准确的复合材料参数化模型，提高复合材料结构动力学建模精度。Mehrez等[10]开展了基于结构固有频率的复合材料梁模型各单元等效弹性模量的识别，利用不同单元的等效弹性模量表征复合材料弹性参数空间分布的非均匀特征;范刚等[11]基于复合材料梁结构的频响函数，完成了类似的识别工作。然而，单元等效弹性模量识别结果并无法反映单元内不同部位处的刚度分布，如果需要更准确的表征结构非均匀特征，则需要识别随空间连续分布的弹性参数场。Adhikari等[12]将空间分布的弹性模量场假设为包含不确定性的随机场模型，基于Karhunen-Loeve展开和结构固有频率，采用模型修正技术识别了复合材料梁的弹性参数随机分布场。Jiang等[13]基于复合材料板的振动试验数据，采用随机模型修正方法，识别了编织复合材料不确定性参数的均值和标准差。Sepahvand等[14]基于复合材料板的模态试验数据，采用基于广义混沌多项式的随机反问题识别方法，获取了考虑复合材料参数不确定性的弹性参数随机模型。
本文针对纤维编织复合材料，考虑了复合材料参数随空间分布的非均匀特性，基于Legendre正交多项式展开的参数分布场模型和灵敏度分析方法，提出了复合材料连续分布参数场的识别方法。该方法适用于非均匀复合材料梁，并具有推广到板等更复杂结构形式的应用前景，能够为复合材料结构的高精度动力学建模以及后续动响应预示和动强度评估提供更准确的参数化模型。
1 连续分布参数场识别原理
纤维编织复合材料宏观力学性能在空间分布上存在非均匀特性，通过正交多项式拟合其空间分布场函数来表征其空间非均匀特性，并建立结构弹性参数分布场模型和加速度频响函数之间的映射关系，进而采用基于灵敏度分析的模型修正方法识别复合材料宏观等效参数的空间分布场。本节仅以复合材料梁杨氏模量沿轴向随空间分布的非均匀特性为例，假定其他力学参数为均匀分布，阐述识别方法的基本原理。
1.1 Legendre正交多项式
正交多项式具有正交、完备的特点，一定阶数的正交多项式叠加，可以很好地拟合复合材料杨氏模量空间分布函数[15]。本文选择Legendre正交多项式作为正交展开的基函数。
基于正交展开识别复合材料梁等效杨氏模量场的步骤为：
1） 根据式（5），建立杨氏模量场的正交多项式模型，将杨氏模量场的识别问题转换为正交多项式系数的估计问题;
2） 基于有限元方法，建立如式（7）中所示的正交多项式系数与结构频响函数之间的映射关系; 3） 采用灵敏度分析方法构造如式（12）中所示的优化问题，通过迭代求解式（13），求解系数向量b;
4） 利用式（5）重构待识别的复合材料梁等效杨氏模量场。
对于复合材料中可能存在非均匀性的其他参数，如剪切模量、泊松比和密度等，该方法也同样适用，且能够统一考虑多参数工况。在实际工程中，需先根據相对灵敏度分析选取对结构力学特性敏感性较大的参数作为待识别参数，并假定其他参数为均匀分布。由于正交多项式为全局正交基，该方法更适用于参数随空间连续缓慢变化的工况。
针对二维结构以及更加复杂的结构，本文提出的方法在结构有限元模型与弹性参数分布场模型参数之间的映射关系，以及相对弹性参数分布场模型参数的灵敏度推导等两个方面仍然可以推广适用;然而，当二维或更加复杂的结构中包含不规则几何边界时，正交多项式模型并无法直接应用于包含不规则边界的弹性参数分布场的拟合中，需要建立不规则几何边界与二维正交多项式函数之间的映射关系[19]。
2 数值仿真研究
2.1 识别算法验证 为验证所提出的分布参数场识别方法的有效性，以一两端固支Euler-Bernoulli梁结构为例，开展数值仿真研究，本算例中仅考虑梁结构杨氏模量沿轴向的空间不均匀分布，假定其他材料参数为均匀。
建立如图1所示复合材料梁的有限元模型，梁的长×宽×高分别为220 mm×15 mm×3 mm，几何参数如表 1所示。根据式（5），建立沿轴向分布的杨氏模量场的正交多项式模型，将正交多项式系数作为待识别的参数。
取前9阶正交多项式级数进行拟合，设定正交多项式系数参考值和初始值，如表2中所示。正交多项式初始值的选取会影响迭代算法的收敛性。弹性参数场的正交多项式模型中，正交多项式系数b0表征杨氏模量场的均值，其初值一般取同一批次复合材料梁三点弯试验获得的杨氏模量的均值。在此次仿真分析中，由于其参考值为4，选取b0的初始值为5。其他阶次的正交多项式级数表征材料参数空间分布的非均匀性，由于弹性模量随空间分布不会偏离过大，因此这些系数一般不宜取过大的值，系数的初始值范围一般推荐为[-2，2]，根据具体材料情况，可适当扩大其范围。将系数参考值和初始值代入Legendre正交多项式级数中，分别得到参考有限元模型和初始有限元模型的杨氏模量场，如图2所示。
在2号节点处施加频域单位载荷，分别计算初始有限元模型与参考有限元模型上其他各节点处的加速度频响函数，如图3中所示。采用基于灵敏度的方法构造优化问题，进行迭代求解，识别梁结构杨氏模量沿轴向的空间分布。在基于频响函数的参数识别过程中，频率点ω的选取会影响识别的精度和效率，应优先选取模型各测点处频响函数曲线峰值频带附近的频率点，避免选择参考模型与初始模型频响函数曲线对应峰值之间的频率点[20]。
部分正交多项式系数的迭代收敛过程如图4（b）所示，经过72次迭代后，各正交多项式参数收敛于参考值，得到如表2中所示的Legendre正交多项式系数识别值。由表2可知，识别相对误差均小于1%。将识别出的正交多项式系数代入Legendre正交多项式级数中，得到如图2中所示的等效杨氏模量场。结果表明：识别得到的等效杨氏模量场与参考分布场高度吻合。
为验证识别后复合材料梁模型的正确性，将识别得到的等效杨氏模量场代入有限元分析模型中，得到如图3中所示的由识别参数场建立的有限元模型的加速度频响函数，与参考模型对应的加速度频响函数曲线高度吻合，验证了本文所提方法的正确性。
2.2 正交多项式模型收敛性讨论
在参数分布场识别过程中，正交多项式模型中多项式阶数需要选定。正交多项式阶数的选取会影响识别结果的收敛性，下面开展不同正交多项式阶数工况下的识别结果收敛性研究。
假定复合材料梁的杨氏模量场函数为一多项式函数，多项式系数参考值如表2所示。分别选取前8，9和10阶正交多项式级数进行拟合，并采用1.3节中的参数识别方法进行正交多项式系数识别。三种工况下正交多项式系数迭代过程如图4所示，识别得到不同拟合阶数的各正交多项式系数如表3所示，将识别得到的各正交多项式系数代入正交多项式级数中，得到如图5所示的不同拟合阶数的杨氏模量场识别结果。
由图4（a）可知，当采用10阶多项式进行拟合时，通过156步迭代后，识别的正交多项式系数收敛于如表2中参考值;由图4（b）可知，当采用9阶多项式进行拟合时，只需通过72步迭代，识别的正交多项式系数收敛于如表2中参考值;由图4（c）可知，采用8阶多项式进行拟合时，多个正交多项式系数无法收敛至参考值，迭代进行到156步后被强行终止，得到如图5所示分布杨氏模量场识别结果。
由表3可知，采用10阶正交多项式拟合的前9阶系数识别结果与采用9阶正交多项式拟合的系数识别结果基本一致，且采用10阶正交多项式拟合时，第10阶正交多项式系数识别结果是一个相对小量。
由此可知：在此工况下，正交多项式取9阶时，识别结果收敛。选取更高阶数的多项式模型，识别精度提高不明显，但计算成本升高;选取低阶模型时，虽然正交多项式系数在迭代过程中可以收敛，但是识别误差相对较大。因此，识别过程中正交多项式模型阶次的定阶准则为：采用不同阶次材料参数分布场正交多项式模型识别结果的收敛性来定阶，选取收敛结果所对应正交多项式模型的最低阶次作为材料参数分布场正交多项式模型的最终阶次。在2.1节的算法验证中，选取收敛的最低阶次模型，即前9阶Legendre正交多项式系数，进行杨氏模量场拟合。
如材料参数场分布规律已知，正交多项式模型的阶次可以通过参数分布场函数的最高频率来确定[19]。然而，针对本文研究的非均匀复合材料结构，其材料参数分布场受材料编织形式、加工工艺等影响呈现随机的特征，其分布规律事先并无法预知，本研究中采用不同阶次材料参数分布场正交多项式模型识别结果的收敛性来定阶。 2.3 边界条件对识别结果影响讨论
为研究本文所提方法在不同边界条件下的适用性，在与上述仿真算例仅边界条件不同的情况下，开展基于悬臂Euler-Bernoulli梁的数值仿真研究。建立如图6所示悬臂梁有限元模型。
在2号点处施加频域内单位载荷，计算得到其他各节点处的加速度频响函数。识别得到如圖2中所示的等效杨氏模量场，并将识别得到的等效杨氏模量场代入悬臂梁有限元计算模型中，计算加速度频响函数，并与参考值比较。图7中给出了由识别参数场建立的有限元模型上各节点处的加速度频响函数与参考值对比结果，验证了识别方法对边界条件的鲁棒性。
由图2可知，在固支-自由边界条件下的复合材料梁的等效杨氏模量场识别结果与参考值在自由端附近存在一定的误差，主要原因为自由端附近的杨氏模量对结构的整体刚度“贡献较小”，频响函数对自由端附近的杨氏模量的灵敏度值相对于固支端较小，导致自由端附近杨氏模量场识别结果存在一定的误差。整体而言，两端固支边界条件下的复合材料梁的等效杨氏模量场识别结果与参考值吻合程度更高。
3 试验研究
对本文所提出的复合材料等效参数分布场识别方法开展试验研究。首先，以呈现明显非均匀特征的C/C复合材料梁为研究对象，开展模态试验，得到梁各测点处的加速度频响函数;进一步，基于灵敏度分析构造优化问题，通过迭代求解识别C/C复合材料梁沿轴向的等效空间分布杨氏模量场。
3.1 试验系统
C/C复合材料试件为二维正交编织层合结构，共由6层平铺而成。试件几何尺寸为300 mm×15 mm×3 mm，夹具间梁的有效长度为220 mm，因此，梁的有限元模型尺寸与仿真分析模型一致。由于梁长度方向的尺寸远大于厚度和宽度方向，因此仅需考虑复合材料梁杨氏模量沿轴向随空间分布的非均匀性，假定其他材料参数为均匀分布。
采用锤击法开展模态试验，试验系统如图8所示，通过夹具将试件两段固支，采用单点激励多点拾振的方式开展试验。由于试件质量较小，采用非接触式的激光位移计测量试件各测点处的动位移响应，克服传统接触式测量方法由于增加传感器质量而影响测量精度的缺点。通过力锤在测点11施加脉冲激励，同时采用激光位移计测量测点2至10（如图1所示）的响应。根据各测点处的激励信号和响应信号，计算得到各测点处的位移频响函数。由于加速度频响值相对弹性模量的灵敏度比位移频响值更大，因此将位移频响值乘以ω2得到加速度频响值，开展基于加速度频响函数的弹性参数分布场识别。
图9中给出了部分测点处的实测加速度频响函数，测量频段为0-1250 Hz。由图9可知，结构的前两阶固有频率分别为340，975 Hz，低频段加速度频响曲线较为光滑，在高频段加速度频响值波动稍大，主要是实测位移中包含噪声，导致位移频响函数中包含噪声，ω2会随着频率的增加迅速增加，引起加速度频响函数在高频段噪声的影响效果被放大。为减小噪声对识别结果的影响，采用小波分析方法对试验获得的加速度频响函数进行去噪处理[21]，图10给出了5号测点去噪前后的加速度频响函数对比结果。
3.2 基于实测频响的参数分布场识别
根据1.3节中的识别步骤，开展基于实测加速度频响函数的复合材料梁等效杨氏模量场识别，识别获得的正交多项式系数如表4所示。将识别得到的正交多项式系数代入式（5），得到如图11所示的复合材料梁等效杨氏模量场识别结果。由于固支边界条件对试件固支端附近梁的抗弯刚度有影响，导致试件固支端附近梁的杨氏模量存在一定的误差，图11中仅给出试件0.02-0.20 m段的杨氏模量识别结果。
将识别得到的复合材料等效杨氏模量场代入有限元模型中，计算得到各测点处的加速度频响函数，并与试验值比较。图12中给出了部分测点处的对比结果。可以发现：由识别得到的等效杨氏模量场建立的有限元模型的加速度频响函数与实测加速度频响函数曲线在低频段吻合度较好， 高频段误差相对稍大，主要是因为高频段实测加速度频响值受噪声信号的影响相对较大。总体而言，识别得到的加速度频响函数结果较理想，进一步验证了识别获得的复合材料梁等效杨氏模量场的正确性。
为验证本文所提参数分布场识别方法在不同试验边界条件下的适用性，采用3.1节中的试验方法，进一步开展复合材料悬臂梁的杨氏模量分布场识别，悬臂梁模态试验系统如图13所示。由1.3节中的识别法，识别得到如图11所示的等效杨氏模量场。考虑到边界条件对识别结果的影响，在此仅取试件0.02-0.20m段的杨氏模量识别结果。将识别得到的结果代入有限元计算模型中，得到识别后模型各测点处的加速度频响函数，并与试验值比较。
图14中给出了部分测点处的加速度频响函数对比结果，可以看出，由识别参数场计算得到的加速度频响函数与试验值基本吻合。
由图11可知，固支-自由边界条件下的复合材料梁等效杨氏模量场识别结果与两端固支边界条件下的识别结果基本一致，验证了本文所提非均匀复合材料等效参数识别方法在不同边界条件下均适用。
4 结 论
本文考虑了纤维编织复合材料参数的空间非均匀分布，结合试验测量和有限元分析，开展了复合材料参数分布场间接识别方法研究。通过正交多项式拟合表征复合材料参数的空间分布，解决了利用有限测点响应信息识别具有无限未知量的非均匀连续分布参数模型的问题。基于数值仿真研究验证了该方法的正确性，讨论了正交多项式模型阶数对识别结果收敛性的影响，并给出了模型的定阶准则;同时验证了该方法在不同边界条件下的适用性。通过试验研究，识别得到了C/C复合材料梁沿轴向随空间分布的等效杨氏模量场。
文中仅研究了复合材料杨氏模量沿单向空间分布的非均匀性，开展了复合材料非均匀参数分布场识别方法研究，对于剪切模量、泊松比、质量密度等多种宏观材料参数同时存在非均匀特性的情况，该方法同样能够统一考虑。在实际工程应用中，需先根据结构分析和相对灵敏度分析选取对结构力学特性敏感性较大的参数作为待识别参数。该方法更适用于参数随空间连续缓慢变化的工况，正交基的选取对识别结果有一定影响，需要开展进一步的深入研究。 参考文献：
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Abstract： An equivalent distributed parameter identification method of composite materials based on orthogonal expansion is proposed， which aims to consider the heterogeneity of the spatially distributed macroscopic mechanical parameters of fiber braided composites. The equivalent continuously distributed parameter of a composite beam is identified by using the acceleration response measured at limited points. Based on the distributed parametric model represented by Legendre orthogonal polynomials， the sensitivity of the acceleration frequency response function over the coefficients of orthogonal polynomial is derived in this paper， then the continuously distributed parameter field of the composite beam along the longitudinal direction is identified by solving the optimization problem iteratively. Numerical simulations on an Euler-Bernoulli beam with both end fixed are conducted to verify the validity of the identification method. Modal test on a composite beam is further carried out and the Young′s modulus field of the heterogeneous composite beam is identified from the measured frequency response functions. Results show that the constructed frequency response function by using the identified equivalent Young′s modulus field agrees well with that from experiment. The identified equivalent Young′s modulus field can effectively characterize the stiffness distribution of the composite beam， and the identification method is robust to the measurement noise.
Key words： composite beam; identification of parameter distribution field; orthogonal polynomial; sensitivity analysis; experimental verification
作者简介： 吴邵庆（1982-），男，副教授。电话：（025）52090521;E-mail：cesqwu@seu.edu.cn