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摘要：基于势流理论及Biot多孔介质模型，分析了海水一饱和海床一弹性基岩体系在平面P-SV波入射情形下的动态响应。根据理想流体、饱和海床及弹性基岩之间的界面连续条件，运用Thomson-Haskell传递矩阵方法可得出饱和海床及其上覆海水层的稳态响应，并得到瞬态响应。通过算例验证了该方法的可行性以及所编程序的正确性。进一步分析了入射角度、海水层厚度对自由场响应的影响。结果表明，P-SV波入射时，入射角度和海水层对饱和土表面的响应具有较大影响，在确定海底地震动设计中不可忽视。对于地震波入射时，复杂海底地形的地震反应，以及海水一海床一结构相互作用分析，该方法可为其提供自由场输入。
关键词：饱和海床;传递矩阵方法;自由场分析;P-SV波;海底地震动
中图分类号：TU435
文献标志码：A
文章编号：1004-4523 （2019） 06-0966-11
DOI：10. 16 385/j. cnki. issn. 1004-4523. 2019. 06. 005
引言
随着中国海洋工程的发展，海洋平台、海上风力机、跨海大桥以及海底隧道的抗震设计问题备受关注，需要提供海底地震动设计参数，如峰值加速度、反应谱、地面运动时程曲线等。相对陆地记录而言，海底强震记录较缺乏，使得海底地震动特性研究进展缓慢。一些研究者对世界范围内有限的海底强震记录进行了相关分析。Atakan等[1]统计分析了挪威北海（North Sea）北部的一些临时海底强震仪和Oseberg海洋平台附近的永久性海底强震仪采集到的海底强震记录。Boore和Srriit[2]，Diao等[3]对美国南加利福尼亚海底地震观察系统（ SEMS）强震记录进行了分析，发现海底与陆地地震动存在较大差异。Chen等[4]应用日本K-net（Kyoshin net-work）台网中海底与相邻陆地台站采集到的强震记录，通过对比反应谱，发现海底与陆地地震动特性存在差异，特别是在短周期范围内海底竖向地震动明显低于陆地，并且震中距和海底场地条件对海底地震动有影响。由于观测条件的限制，目前还没有积累足够的海底地震动资料。因此，经验预报方法或者经验模拟方法还不适合于预测海底地面运动。
一些学者尝试利用解析方法分析海底地震动特性。以海洋领域的地震勘探为目的，早期的研究主要集中在海底地震波传播特性及相关影响因素。Deresiewlcz等[5-8]分析了上覆海水层的饱和半空间面波频散关系。Stoll和Kan[9]分析了地震波在海洋沉积土交界面处的折射和反射问题，丰富了海洋领域的地震勘探资料。Brekhovskikh和Godin[10]介绍了弹性波在理想流体一固体交界面上透射与反射现象。Santos等[11]分析了黏滞系数对平面波在流体与孔隙介质交界面处位移和能量透反射系数的影响。Feng等[12]采用改进的传递矩阵方法对平面波在水一饱和土一基岩体系中的透射与反射系数进行了分析。Chen等[13]考虑海床为气液固三相的多孔介质，讨论了P波入射时入射角度、含气量及海床厚度对位移放大系数等的影响。
在地震工程领域主要考虑海水对设计地震动的影响以及地震引起的动水压力。郑天愉等[14]考虑基岩上覆海水层模型，采用广义反射、透射系数矩阵和离散波数法计算海底的格林函数。文献[15 -16]对海底地震动进行了初步探讨，讨论了海水、地形等对海底地震动特性的影响。W ang等[17-18]通过将海水视为理想流体，海床沉积土及其下卧基岩看成是饱和多孔介质与单相土的组合，分析了P-SV波入射时海水中的动压变化特性。Li等[19]基于流体动力学方程和一维波动理论，以解析的方法建立包括基岩、含孔隙土层和海水层的海底场地，模拟海底地震动的传播过程。Iida等[20]以水深较浅的东京湾海域为研究对象，建立2D模型，分析了强地震作用下海水层对地震動的影响。Nakamura等[21-22]通过有限差分法，建立考虑真实海底覆盖层（地形与地质条件）的大尺寸海底场地模型，模拟地震波的传播。Petukhin等[23]同样利用有限差分法建立海底构造的三维模型，分析海水层、海底沉积层等对强震动的影响。
对于平面地震波入射时海底复杂地形的地震反应分析，以及海水一海床一结构体系的地震反应分析问题，需要先求解海水一水平成层海床在地震波入射时的响应，即自由场响应，以作为上述两种问题的输入。在文献[24]的基础上，考虑海水为无黏、无旋、可压缩的理想流体，海床沉积土为水平成层的饱和多孔介质，基岩层为单相弹性土或饱和多孔介质两种情况，采用传递矩阵方法[25-27]对海水一海床一基岩体系在P-SV波入射时的动力响应进行分析，并探讨入射角度、海水厚度等因素对流体中动水压力及饱和土层响应的影响。
1 基本方程
考虑成层饱和土，上覆深度为h的海水，下卧基岩半空间，如图1所示。平面P波或SV波从基岩层入射，入射角为θ。
1.1 海水层
将海水视为无黏、无旋的理想流体，其声波方程可由速度势表示如下
式中 CO为海水中的压缩波速，▽2为拉普拉斯算子。
速度V与动压P可由速度势ψ=（x，y，z，t）表示
式中 pm为海水密度。
方程（1）的解可以写成如下形式
式中 Epl，Fpl分别表示入射波幅系数与反射波幅系数，w11，w13表示单位方向向量在xl，x3方向的分量，w为频率，δ1为波数。
将式（3）代入式（2），可得到以波幅矢（Ep1，Fp1）表示的速度和压力
式中 Vl，V3为海水水平方向与竖直方向的流速。
1.2 饱和多孔介质
根据Biotc28-30]多孔介质理论，用u表示固相位移，用U表示液相位移，饱和多孔介质运动方程可以表示如下 式中 D，N，Q，R为非负弹性常数;P11，P12，P22介质密度;n为衰减函数。考虑到实际工程应用中多处于低频段，衰减函数可以简化为：
，其中u为流体动力黏度，ψ为孔隙率，ko。为渗透率。
根据Helmholtz分解，方程（5）的势函数可写成
式中 ψ1为SV波的位势;ψ1，ψ2分别表示为Pl波、P2波的位势。Eplj，Ep2j，Esj分别为上行波位势幅值;F plj，Fp2j，Fsj分别为下行波位势幅值;wk1，wk3表示单位方向向量在xl，x3。两方向的分量。假设入射波从基岩以θ角入射，根据斯奈尔定理，各平面谐波沿x1轴的水平波数相同，
所以
可以表示如下
固、液相位移可以由位势表示为
式中 βl，β2，ao分别为P1，P2或S波中液相位移和固相位移之间的比例系数。
固、液相应力可以表示为
式中 δij巧表示克罗内克系数，ekk =▽·u，εkk =▽·U，p为孔压。
1.3 基岩半空间
弹性介质的波动方程为
式中 un为位移，λn，un为拉梅常数，Pn为基岩密度。
根据Helmhoz分解，方程（10）的位势ψn，ψn可以表示为
式中 ψn，ψn可以分别表示基岩中P波、SV波的位势;Epn，Esn为上行波位势幅值;Fpn，Fsn为下行波位势幅值。
当P波入射时，
当SV波入射时，
其中，Cpn为P波波速，cm为SV波波速。
位移、应力用位势可表达为
2 边界条件
考虑由海水、水平成层饱和土、基岩半空间组成的成层介质体系，如图1所示，其界面连续条件如下。
2.1 海水自由表面处
压力为零：P=O
2.2 海水与饱和土分界面处
（1）固、液相相对平均速度与海水法向流速连续：（1-φ）u3+φU3=V3
。
（2）法向正应力与海水压力连续：σ33+r=-P
（3）孑L压与海水压力连续：p=P
（4）饱和土体切应力为零：σ13 =0
2.3 成层饱和土分界面处
饱和土层分界面上，以下6个物理量保持连续：固相法向位移u3、固相切向位移u1、正应力σ33+r、剪应力σ13、孔压p、固液相平均法向相对位移φ（U3 -u3）。
2.4 饱和土与基岩分界面处
（1）法向固相位移连续：un3=u3。
（2）切向固相位移连续：un1=ul
（3）法向正应力保持连续：σ33 =σ33+r
（4）切应力保持连续：σn13 =σ13
（5）基岩不透水条件：φ（U3 -u3）=O
3 传递矩阵
3.1 海水层
海水层速度势波幅矢H1和压力一速度矢S1如下所示：
Hi=（Epl，Fpl）T
（13）
Sl =（P，V）T（14）
由（4）可得
Sl一Ts1 H1
（15）
其中，Ts1見附录
3.2 饱和土体
假设饱和土体中第j层波幅矢Hj和应力一位移矢Sj如下
Hj=（Eplj，Fplj，Ep2j，Fp2j，E，j，Fsj）T
（16）
Sj=（u3j，Ulj，σ33j+ιj，σ13j，Pi，φj（U3j -u3j））T，
j=2，…，n-1
（17）则，应力一位移矢与波幅矢存在如下关系
Sj=Tsj Hj
（18）式中转换矩阵Tsj见附录。
对于相邻的（歹+1）层，有
Sj+l=Tj+lHj+l
（19）
按照图1所示的局部坐标系，饱和土体中相邻层间必须满足如下的位移和应力的连续条件
Sj |x3=hj=sj+l|x3=0
（20）将式（18）、（19）代人（20）得到
Tsj|x3=hj Hj=ts（j+1）|x3=0Hj+l
（21）
经整理，相邻层波幅矢Hj+l和Hj之间的转换关系可用传递矩阵Tj表示
所以根据递推公式（22）可以将饱和士中任意层的波幅矢和首层饱和土的波幅矢联系起来
Hj=Tj2 H2
（23）其中
Tj2=Tj-l Tj-2…T2
（24）
Tj2为6×6方阵，其中，元素tjk与饱和土第二到第j层介质的力学性质、层厚、频率等有关。所以若已知饱和土首层波幅矢H2，即可通过传递矩阵得到饱和土体中任意层波幅矢Hj。
3.3 弹性基岩
令基岩中波幅矢Hn和应力一位移矢Sn如下：
Hn=（Epn，Fpn，Esn，Fsn）T
（25）
Sn=（uex3，uex1，σ33，σe13）T
（26）
由式（11）和（12）可得
S=TsnHn
（27）其中Tsn见附录。
根据海水自由表面压力为零的条件（1个）、海水与饱和土界面连续条件（4个）及饱和土与基岩界面处的连续条件（5个），可以形成1 0个方程，而方程组中涉及海水层上行波波幅系数Hi中两个波幅系数，首层饱和土H2中6个波幅系数，以及基岩层中的反射波幅系数Fpn，Fsn（当P波入射时Epn已知，Esn=O; SV波入射时Epn=O，Esn已知）共1 0个未知量。因此，可以联立方程组进行求解，从而得到海水层的波幅系数Epl，Fpl，首层饱和土的波幅系数Ep12，Fp12，Ep22，Fp22，Es2，Fs2，以及基岩层的下行波波幅系数Fpn，Fsn。再由首层饱和土波幅系数H2与成层饱和土间的传递矩阵Tj2，可以求得任意层饱和土的波幅系数，从而可求得饱和土层的稳态响应。根据海水层波幅系数Epl，Fpl，可得到海水层的稳态响应，再经过FFT逆变换，可得到海水一饱和土一基岩体系的瞬态响应。 4 算例验证
4.1 海水一弹性土体
若基岩半空间（密度为pz，压缩波速为C2）上覆深度为h1，密度为Pl，压缩波速为c1的海水层时，P波垂直入射情形下海水与基岩分界面处的竖向位移记为Ub;而不考虑海水层时，基岩表面处的竖向位移记为ua。Ua和Ub分别为ua和Ub的傅里叶谱。则Ua和Ub之间存在如下关系[31-32]
式中 厂为频率（Hz），
，相位ξ可以由下
P2C2式求得
为了验证本文方法的有效性，这里取海水深度为20 m，密度1000 kg/m3，压缩波速1500 m/s，基岩半空间密度为2500 kg/m3，压缩波速458 m/s。考虑图2所示的单位脉冲P波垂直入射，时间步距dt=0. 015 s，脉冲宽度t0 =0.2 s，步数n=213（本文所有模型输入均采用此脉冲）。其时间步距dt满足
奈奎斯特定理
为信号中最高频率，从图2（b）中可知约为18 Hz。得到海水与基岩界面处的竖向位移时程Ub与基岩半空间自由面处的竖向位移时程ua，经傅里叶变换后二者的比值与公式（28）计算所得的解析解对比如图3所示，两者完全重合，本算例验证了本文方法在分析平面波入射海水一弹性土体系动力响应时的有效性。
4.2 海水一饱和土一基岩
为了进一步验证该方法在分析海水一饱和土层一弹性基岩体系时的有效性，设计如下对比模型。模型1：由上覆海水层（如表1所示），饱和土层（表2所示），下卧基岩半空间（表3所示）所组成。模型2：由上覆饱和土（如表2所示）和基岩半空间（如表3所示）组成。
SV波从弹性基岩垂直入射时，由于海水不能承受切应力，理论上两种模型的响应相同。输入荷载采用图2所示的脉冲。图4为两模型中饱和土表面处的水平位移。图5为两模型中基岩表面处的水平位移，从图4和5中可以看出，相应位置处的响应完全重合，与理论相符。
现考虑P波垂直入射时模型1的响应，图6为海水与饱和土界面处的动水压力与孔隙水压力，两者完全相等，满足界面处水压力连续条件。图7分别为海水与饱和土界面处的海水动压力与土体法向总应力，两者数值相等（符号相反是因为海水中压力以压为正，饱和土中应力以拉为正），满足界面应力连续条件。图8分别为海水与饱和土界面处的海水竖向速度与饱和土固液相相对平均流速，两者完全相等，满足界面处的速度连续条件。因此海水与饱和土界面处的连续条件完全满足。图9为海水压力随深度的变化，在自由面处（x3 =0）压力为零，满足自由表面边界条件。综合上述SV波和P波入射的结果，可证明本文方法和程序的正确性。射角度的影响时，取海水层厚度为10 m。
5.1 入射角度的影响
根据基岩参数，可计算得到基岩中剪切波速。当时，基岩层的反射P波转化为沿着分界面传播的面波。图10给出了不同角度的SV波入射时，
5 参数分析
為了探讨平面波入射角度及海水层厚度对海水一饱和土一基岩体系响应的影响，考虑总层厚为1 0m的成层饱和土层上覆海水层，下卧弹性基岩。成层饱和土参数见表4，孔隙水密度Pf =1000 kg/m3，动力黏度u=O.O01 Pa·s，体积模量Kt =1. 38X109 Pa;下卧弹性基岩密度p=3000 kg/m3，u=3.O×l09 Pa，λn=2.20×l09 Pa;上覆海水密度pw=1000 kg/m3，压缩波速Cp =1500 m/s。当考虑入饱和土层表面及基岩表面的位移，从图中可以看出，入射角度对位移响应的影响较大，当入射角超过37°时，所得结果有违背因果律的情况，即零时刻便出现位移值，且时程尾部单调渐进趋向于零。
图11为海水与饱和土界面处的海水压力与速度。从图中可以看出，θ=0时（SV波垂直入射），海水层无响应，压力与各方向速度均为O。SV波斜入射时，当入射角度小于临界角度，随着入射角度的增大海水压力和速度也随之增大。
图1 2为不同角度的P波入射时，饱和土层表面及基岩表面的位移。从图中可以看出，随着入射角度增大，水平位移将逐渐增大;竖向位移则逐渐减小。
从图1 3中可以看出，P波斜入射情况下，入射角度的改变对海水压力及其竖向流速影响较小，而水平方向速度却变化比较明显。由式（4）知，海水各方向流速与该方向的波数几乎成正比，而水平方向k1与竖向波数k3为：
。当入射角从20°增大至38°时，k1增大为20°时的1.8倍，k3降为20°时的0.84，即水平速度增大1.8倍，而竖向速度降为20 °时的0. 84。图13 （c）中显示入射角从20°增大为3 80过程中，水平速度峰值由0. 01166m/s增大为0.01958 m/s，约增大1.7倍;竖向速度峰值由0. 0357 m/s降为0.029 m/s，约为0.8倍，与理论值相符。
5.2 流体层厚度
为了考察上覆海水深度对饱和多孔介质与海水层自由场响应的影响，考虑4种不同的深度：h=0，8，16，20 m，当h=O时，表示海水一饱和土一基岩模型退化为饱和土一基岩模型。海水、饱和土层及基岩参数同5.1，考虑P/SV波以2 0 0从基岩层斜入射。
如图1 4所示，SV波斜入射时，海水层的存在会对饱和土表面处的位移有放大作用。海水层厚度为O时，其水平位移峰值约为6. 605×10-4 m，而海水层具有一定深度后，水平位移峰值最大能达到1.8×10-3 m，幅值放大2.7倍，而竖向位移放大约2倍且土体运动方向相反。由此可见，平面波入射时，海域场地与陆地场地动力响应差异较大，故在海洋地震灾害分析时，不能完全以陆地地震记录作为参考。同时从图14 （c）中可以得知，上覆海水层的厚度对饱和土表面处的压力影响较为显著。
如图15所示，P波斜入射情况下，考虑上覆海水时，饱和土表面的水平位移与无海水时的水平位移相位相反，竖向位移响应比无海水情形稍微偏大，海水压力随入射角度增大而逐渐增大。 6 結 论
基于势流理论与Biot多孔介质模型，利用传递矩阵方法分析了平面波入射时海水一饱和海床一弹性基岩体系的动力响应。通过相关算例验证了本文方法的有效性，同时讨论了入射角度、海水深度等因素对体系响应的影响。数值结果表明，平面波入射角度对海床表面地震动有较大影响，海水层的存在对土层表面地震动的影响较大，即海底地震动与陆地地震动有较大差别。对于复杂海底地形以及海水一海床一结构的地震反应分析，需要通过有限元等数值方法进行分析，本文方法可为其提供自由场输入。
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关键词：饱和海床;传递矩阵方法;自由场分析;P-SV波;海底地震动
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文献标志码：A
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DOI：10. 16 385/j. cnki. issn. 1004-4523. 2019. 06. 005
引言
随着中国海洋工程的发展，海洋平台、海上风力机、跨海大桥以及海底隧道的抗震设计问题备受关注，需要提供海底地震动设计参数，如峰值加速度、反应谱、地面运动时程曲线等。相对陆地记录而言，海底强震记录较缺乏，使得海底地震动特性研究进展缓慢。一些研究者对世界范围内有限的海底强震记录进行了相关分析。Atakan等[1]统计分析了挪威北海（North Sea）北部的一些临时海底强震仪和Oseberg海洋平台附近的永久性海底强震仪采集到的海底强震记录。Boore和Srriit[2]，Diao等[3]对美国南加利福尼亚海底地震观察系统（ SEMS）强震记录进行了分析，发现海底与陆地地震动存在较大差异。Chen等[4]应用日本K-net（Kyoshin net-work）台网中海底与相邻陆地台站采集到的强震记录，通过对比反应谱，发现海底与陆地地震动特性存在差异，特别是在短周期范围内海底竖向地震动明显低于陆地，并且震中距和海底场地条件对海底地震动有影响。由于观测条件的限制，目前还没有积累足够的海底地震动资料。因此，经验预报方法或者经验模拟方法还不适合于预测海底地面运动。
一些学者尝试利用解析方法分析海底地震动特性。以海洋领域的地震勘探为目的，早期的研究主要集中在海底地震波传播特性及相关影响因素。Deresiewlcz等[5-8]分析了上覆海水层的饱和半空间面波频散关系。Stoll和Kan[9]分析了地震波在海洋沉积土交界面处的折射和反射问题，丰富了海洋领域的地震勘探资料。Brekhovskikh和Godin[10]介绍了弹性波在理想流体一固体交界面上透射与反射现象。Santos等[11]分析了黏滞系数对平面波在流体与孔隙介质交界面处位移和能量透反射系数的影响。Feng等[12]采用改进的传递矩阵方法对平面波在水一饱和土一基岩体系中的透射与反射系数进行了分析。Chen等[13]考虑海床为气液固三相的多孔介质，讨论了P波入射时入射角度、含气量及海床厚度对位移放大系数等的影响。
在地震工程领域主要考虑海水对设计地震动的影响以及地震引起的动水压力。郑天愉等[14]考虑基岩上覆海水层模型，采用广义反射、透射系数矩阵和离散波数法计算海底的格林函数。文献[15 -16]对海底地震动进行了初步探讨，讨论了海水、地形等对海底地震动特性的影响。W ang等[17-18]通过将海水视为理想流体，海床沉积土及其下卧基岩看成是饱和多孔介质与单相土的组合，分析了P-SV波入射时海水中的动压变化特性。Li等[19]基于流体动力学方程和一维波动理论，以解析的方法建立包括基岩、含孔隙土层和海水层的海底场地，模拟海底地震动的传播过程。Iida等[20]以水深较浅的东京湾海域为研究对象，建立2D模型，分析了强地震作用下海水层对地震動的影响。Nakamura等[21-22]通过有限差分法，建立考虑真实海底覆盖层（地形与地质条件）的大尺寸海底场地模型，模拟地震波的传播。Petukhin等[23]同样利用有限差分法建立海底构造的三维模型，分析海水层、海底沉积层等对强震动的影响。
对于平面地震波入射时海底复杂地形的地震反应分析，以及海水一海床一结构体系的地震反应分析问题，需要先求解海水一水平成层海床在地震波入射时的响应，即自由场响应，以作为上述两种问题的输入。在文献[24]的基础上，考虑海水为无黏、无旋、可压缩的理想流体，海床沉积土为水平成层的饱和多孔介质，基岩层为单相弹性土或饱和多孔介质两种情况，采用传递矩阵方法[25-27]对海水一海床一基岩体系在P-SV波入射时的动力响应进行分析，并探讨入射角度、海水厚度等因素对流体中动水压力及饱和土层响应的影响。
1 基本方程
考虑成层饱和土，上覆深度为h的海水，下卧基岩半空间，如图1所示。平面P波或SV波从基岩层入射，入射角为θ。
1.1 海水层
将海水视为无黏、无旋的理想流体，其声波方程可由速度势表示如下
式中 CO为海水中的压缩波速，▽2为拉普拉斯算子。
速度V与动压P可由速度势ψ=（x，y，z，t）表示
式中 pm为海水密度。
方程（1）的解可以写成如下形式
式中 Epl，Fpl分别表示入射波幅系数与反射波幅系数，w11，w13表示单位方向向量在xl，x3方向的分量，w为频率，δ1为波数。
将式（3）代入式（2），可得到以波幅矢（Ep1，Fp1）表示的速度和压力
式中 Vl，V3为海水水平方向与竖直方向的流速。
1.2 饱和多孔介质
根据Biotc28-30]多孔介质理论，用u表示固相位移，用U表示液相位移，饱和多孔介质运动方程可以表示如下 式中 D，N，Q，R为非负弹性常数;P11，P12，P22介质密度;n为衰减函数。考虑到实际工程应用中多处于低频段，衰减函数可以简化为：
，其中u为流体动力黏度，ψ为孔隙率，ko。为渗透率。
根据Helmholtz分解，方程（5）的势函数可写成
式中 ψ1为SV波的位势;ψ1，ψ2分别表示为Pl波、P2波的位势。Eplj，Ep2j，Esj分别为上行波位势幅值;F plj，Fp2j，Fsj分别为下行波位势幅值;wk1，wk3表示单位方向向量在xl，x3。两方向的分量。假设入射波从基岩以θ角入射，根据斯奈尔定理，各平面谐波沿x1轴的水平波数相同，
所以
可以表示如下
固、液相位移可以由位势表示为
式中 βl，β2，ao分别为P1，P2或S波中液相位移和固相位移之间的比例系数。
固、液相应力可以表示为
式中 δij巧表示克罗内克系数，ekk =▽·u，εkk =▽·U，p为孔压。
1.3 基岩半空间
弹性介质的波动方程为
式中 un为位移，λn，un为拉梅常数，Pn为基岩密度。
根据Helmhoz分解，方程（10）的位势ψn，ψn可以表示为
式中 ψn，ψn可以分别表示基岩中P波、SV波的位势;Epn，Esn为上行波位势幅值;Fpn，Fsn为下行波位势幅值。
当P波入射时，
当SV波入射时，
其中，Cpn为P波波速，cm为SV波波速。
位移、应力用位势可表达为
2 边界条件
考虑由海水、水平成层饱和土、基岩半空间组成的成层介质体系，如图1所示，其界面连续条件如下。
2.1 海水自由表面处
压力为零：P=O
2.2 海水与饱和土分界面处
（1）固、液相相对平均速度与海水法向流速连续：（1-φ）u3+φU3=V3
。
（2）法向正应力与海水压力连续：σ33+r=-P
（3）孑L压与海水压力连续：p=P
（4）饱和土体切应力为零：σ13 =0
2.3 成层饱和土分界面处
饱和土层分界面上，以下6个物理量保持连续：固相法向位移u3、固相切向位移u1、正应力σ33+r、剪应力σ13、孔压p、固液相平均法向相对位移φ（U3 -u3）。
2.4 饱和土与基岩分界面处
（1）法向固相位移连续：un3=u3。
（2）切向固相位移连续：un1=ul
（3）法向正应力保持连续：σ33 =σ33+r
（4）切应力保持连续：σn13 =σ13
（5）基岩不透水条件：φ（U3 -u3）=O
3 传递矩阵
3.1 海水层
海水层速度势波幅矢H1和压力一速度矢S1如下所示：
Hi=（Epl，Fpl）T
（13）
Sl =（P，V）T（14）
由（4）可得
Sl一Ts1 H1
（15）
其中，Ts1見附录
3.2 饱和土体
假设饱和土体中第j层波幅矢Hj和应力一位移矢Sj如下
Hj=（Eplj，Fplj，Ep2j，Fp2j，E，j，Fsj）T
（16）
Sj=（u3j，Ulj，σ33j+ιj，σ13j，Pi，φj（U3j -u3j））T，
j=2，…，n-1
（17）则，应力一位移矢与波幅矢存在如下关系
Sj=Tsj Hj
（18）式中转换矩阵Tsj见附录。
对于相邻的（歹+1）层，有
Sj+l=Tj+lHj+l
（19）
按照图1所示的局部坐标系，饱和土体中相邻层间必须满足如下的位移和应力的连续条件
Sj |x3=hj=sj+l|x3=0
（20）将式（18）、（19）代人（20）得到
Tsj|x3=hj Hj=ts（j+1）|x3=0Hj+l
（21）
经整理，相邻层波幅矢Hj+l和Hj之间的转换关系可用传递矩阵Tj表示
所以根据递推公式（22）可以将饱和士中任意层的波幅矢和首层饱和土的波幅矢联系起来
Hj=Tj2 H2
（23）其中
Tj2=Tj-l Tj-2…T2
（24）
Tj2为6×6方阵，其中，元素tjk与饱和土第二到第j层介质的力学性质、层厚、频率等有关。所以若已知饱和土首层波幅矢H2，即可通过传递矩阵得到饱和土体中任意层波幅矢Hj。
3.3 弹性基岩
令基岩中波幅矢Hn和应力一位移矢Sn如下：
Hn=（Epn，Fpn，Esn，Fsn）T
（25）
Sn=（uex3，uex1，σ33，σe13）T
（26）
由式（11）和（12）可得
S=TsnHn
（27）其中Tsn见附录。
根据海水自由表面压力为零的条件（1个）、海水与饱和土界面连续条件（4个）及饱和土与基岩界面处的连续条件（5个），可以形成1 0个方程，而方程组中涉及海水层上行波波幅系数Hi中两个波幅系数，首层饱和土H2中6个波幅系数，以及基岩层中的反射波幅系数Fpn，Fsn（当P波入射时Epn已知，Esn=O; SV波入射时Epn=O，Esn已知）共1 0个未知量。因此，可以联立方程组进行求解，从而得到海水层的波幅系数Epl，Fpl，首层饱和土的波幅系数Ep12，Fp12，Ep22，Fp22，Es2，Fs2，以及基岩层的下行波波幅系数Fpn，Fsn。再由首层饱和土波幅系数H2与成层饱和土间的传递矩阵Tj2，可以求得任意层饱和土的波幅系数，从而可求得饱和土层的稳态响应。根据海水层波幅系数Epl，Fpl，可得到海水层的稳态响应，再经过FFT逆变换，可得到海水一饱和土一基岩体系的瞬态响应。 4 算例验证
4.1 海水一弹性土体
若基岩半空间（密度为pz，压缩波速为C2）上覆深度为h1，密度为Pl，压缩波速为c1的海水层时，P波垂直入射情形下海水与基岩分界面处的竖向位移记为Ub;而不考虑海水层时，基岩表面处的竖向位移记为ua。Ua和Ub分别为ua和Ub的傅里叶谱。则Ua和Ub之间存在如下关系[31-32]
式中 厂为频率（Hz），
，相位ξ可以由下
P2C2式求得
为了验证本文方法的有效性，这里取海水深度为20 m，密度1000 kg/m3，压缩波速1500 m/s，基岩半空间密度为2500 kg/m3，压缩波速458 m/s。考虑图2所示的单位脉冲P波垂直入射，时间步距dt=0. 015 s，脉冲宽度t0 =0.2 s，步数n=213（本文所有模型输入均采用此脉冲）。其时间步距dt满足
奈奎斯特定理
为信号中最高频率，从图2（b）中可知约为18 Hz。得到海水与基岩界面处的竖向位移时程Ub与基岩半空间自由面处的竖向位移时程ua，经傅里叶变换后二者的比值与公式（28）计算所得的解析解对比如图3所示，两者完全重合，本算例验证了本文方法在分析平面波入射海水一弹性土体系动力响应时的有效性。
4.2 海水一饱和土一基岩
为了进一步验证该方法在分析海水一饱和土层一弹性基岩体系时的有效性，设计如下对比模型。模型1：由上覆海水层（如表1所示），饱和土层（表2所示），下卧基岩半空间（表3所示）所组成。模型2：由上覆饱和土（如表2所示）和基岩半空间（如表3所示）组成。
SV波从弹性基岩垂直入射时，由于海水不能承受切应力，理论上两种模型的响应相同。输入荷载采用图2所示的脉冲。图4为两模型中饱和土表面处的水平位移。图5为两模型中基岩表面处的水平位移，从图4和5中可以看出，相应位置处的响应完全重合，与理论相符。
现考虑P波垂直入射时模型1的响应，图6为海水与饱和土界面处的动水压力与孔隙水压力，两者完全相等，满足界面处水压力连续条件。图7分别为海水与饱和土界面处的海水动压力与土体法向总应力，两者数值相等（符号相反是因为海水中压力以压为正，饱和土中应力以拉为正），满足界面应力连续条件。图8分别为海水与饱和土界面处的海水竖向速度与饱和土固液相相对平均流速，两者完全相等，满足界面处的速度连续条件。因此海水与饱和土界面处的连续条件完全满足。图9为海水压力随深度的变化，在自由面处（x3 =0）压力为零，满足自由表面边界条件。综合上述SV波和P波入射的结果，可证明本文方法和程序的正确性。射角度的影响时，取海水层厚度为10 m。
5.1 入射角度的影响
根据基岩参数，可计算得到基岩中剪切波速。当时，基岩层的反射P波转化为沿着分界面传播的面波。图10给出了不同角度的SV波入射时，
5 参数分析
為了探讨平面波入射角度及海水层厚度对海水一饱和土一基岩体系响应的影响，考虑总层厚为1 0m的成层饱和土层上覆海水层，下卧弹性基岩。成层饱和土参数见表4，孔隙水密度Pf =1000 kg/m3，动力黏度u=O.O01 Pa·s，体积模量Kt =1. 38X109 Pa;下卧弹性基岩密度p=3000 kg/m3，u=3.O×l09 Pa，λn=2.20×l09 Pa;上覆海水密度pw=1000 kg/m3，压缩波速Cp =1500 m/s。当考虑入饱和土层表面及基岩表面的位移，从图中可以看出，入射角度对位移响应的影响较大，当入射角超过37°时，所得结果有违背因果律的情况，即零时刻便出现位移值，且时程尾部单调渐进趋向于零。
图11为海水与饱和土界面处的海水压力与速度。从图中可以看出，θ=0时（SV波垂直入射），海水层无响应，压力与各方向速度均为O。SV波斜入射时，当入射角度小于临界角度，随着入射角度的增大海水压力和速度也随之增大。
图1 2为不同角度的P波入射时，饱和土层表面及基岩表面的位移。从图中可以看出，随着入射角度增大，水平位移将逐渐增大;竖向位移则逐渐减小。
从图1 3中可以看出，P波斜入射情况下，入射角度的改变对海水压力及其竖向流速影响较小，而水平方向速度却变化比较明显。由式（4）知，海水各方向流速与该方向的波数几乎成正比，而水平方向k1与竖向波数k3为：
。当入射角从20°增大至38°时，k1增大为20°时的1.8倍，k3降为20°时的0.84，即水平速度增大1.8倍，而竖向速度降为20 °时的0. 84。图13 （c）中显示入射角从20°增大为3 80过程中，水平速度峰值由0. 01166m/s增大为0.01958 m/s，约增大1.7倍;竖向速度峰值由0. 0357 m/s降为0.029 m/s，约为0.8倍，与理论值相符。
5.2 流体层厚度
为了考察上覆海水深度对饱和多孔介质与海水层自由场响应的影响，考虑4种不同的深度：h=0，8，16，20 m，当h=O时，表示海水一饱和土一基岩模型退化为饱和土一基岩模型。海水、饱和土层及基岩参数同5.1，考虑P/SV波以2 0 0从基岩层斜入射。
如图1 4所示，SV波斜入射时，海水层的存在会对饱和土表面处的位移有放大作用。海水层厚度为O时，其水平位移峰值约为6. 605×10-4 m，而海水层具有一定深度后，水平位移峰值最大能达到1.8×10-3 m，幅值放大2.7倍，而竖向位移放大约2倍且土体运动方向相反。由此可见，平面波入射时，海域场地与陆地场地动力响应差异较大，故在海洋地震灾害分析时，不能完全以陆地地震记录作为参考。同时从图14 （c）中可以得知，上覆海水层的厚度对饱和土表面处的压力影响较为显著。
如图15所示，P波斜入射情况下，考虑上覆海水时，饱和土表面的水平位移与无海水时的水平位移相位相反，竖向位移响应比无海水情形稍微偏大，海水压力随入射角度增大而逐渐增大。 6 結 论
基于势流理论与Biot多孔介质模型，利用传递矩阵方法分析了平面波入射时海水一饱和海床一弹性基岩体系的动力响应。通过相关算例验证了本文方法的有效性，同时讨论了入射角度、海水深度等因素对体系响应的影响。数值结果表明，平面波入射角度对海床表面地震动有较大影响，海水层的存在对土层表面地震动的影响较大，即海底地震动与陆地地震动有较大差别。对于复杂海底地形以及海水一海床一结构的地震反应分析，需要通过有限元等数值方法进行分析，本文方法可为其提供自由场输入。
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