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摘要： 自适应噪声辅助集成经验模态分解（Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise， CEEMDAN）解决了集成经验模态分解在集成平均过程中的分解不完备问题，但噪声残留和虚假分量问题仍然存在。针对CEEMDAN的不足，提出了自适应噪声加权优选经验模态分解（Weighted Mean?optimized Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise， WMEMDAN）。该方法用改进的均值曲线构造方式提取内禀模态函数（IMF），以正交性最小为依据，从不同权重的迭代筛分结果中选取出最优IMF，改善了CEEMDAN的分解能力，同时通过对不同权重下的分解结果进行筛选，确保每一阶的IMF分量都是整体最优，减少虚假分量和残留噪声。仿真和实验信号分析结果表明，WMEMDAN在减少虚假分量和提高分解精度等方面具有优势。将所提方法应用于滚动轴承和齿轮的故障诊断，分析结果表明了方法的有效性和优越性。
关键词： 故障诊断; 轴承; 齿轮; CEEMDAN; 均值优选
引 言
Huang等[1]提出的经验模态分解（Empirical mode decomposition， EMD）是一种基于数据驱动的自适应分解方法，可以将信号从高频到低频自适应地分解为一系列内禀模态函数（Intrinsic mode function， IMF）和趋势项之和[2?4]。EMD被广泛应用于诸多领域，但也存在着模态混叠[5?7]、端点效应[8?9]、包络过冲和不足[10?11]等缺陷。为了克服模态混叠，WU等[12]利用高斯白噪声辅助分解，提出了集成经验模态分解（Ensemble empirical mode decomposition， EEMD）。EEMD通过添加高斯白噪声能够抑制模态混叠，但其也带来了噪声残留的问题[13?15]。Yeh等[16]针对EEMD残余噪声问题提出了补充总体平均经验模态分解（Complementary Ensemble Empirical Mode Decomposition， CEEMD）。CEEMD通过添加符号为正负的高斯白噪声后，对分解结果集成平均，可以达到减少噪声残余的目的。
然而，不论是EEMD还是CEEMD，在信号加入不同高斯白噪声后，分解结果的数目都很难保持一致，致使在集成平均过程中不能保证分解的完备性。鉴于此，自适应噪声完整集成经验模态分解[17?21]被提出，其解决了分解结果数量不一致的问题，并具有分解完备性。但是，CEEMDAN仍然存在一些问题有待解决：（1）端点效应和包络过冲与不足问题;（2）易得到虚假分量;（3）残余噪声影响分解结果的精度。
CEEMDAN对极值点进行三次样条曲线插值拟合来构造均值曲线，然后将均值曲线从信号中迭代筛分，且不断更新，而每次筛分采用的均值曲线都是基于上一次迭代的剩余信号[22]，从而自适应地分解信号。鉴于均值曲线的构造和迭代筛分在CEEMDAN算法中起着决定性作用，考虑对这两个核心部分加以改进，以解决CEEMDAN存在的问题。针对插值拟合导致的端点效应和包络过冲与不足等问题，考虑对信号进行延拓，同时对相邻三个极值点加权平均，均匀极值点的分布，来抑制包络的过冲和不足问题。在迭代筛分过程中，考虑在均值曲线还未迭代更新之前，将均值曲线从当前剩余信号中尽可能完全筛分出[22]，在筛分过程中引入不同的权重，以正交性作为衡量筛分是否彻底的依据，从不同权重下的筛分结果中选取出最优结果，最大程度地减少筛分结果中的噪声残留。对每次筛分过程都加以优选，在经过多次迭代更新后，可以確保IMF分量达到整体最优，以减少虚假分量的存在，提高分解的精度。
1 自适应噪声加权优选经验模态分解
1.1 CEEMDAN方法
CEEMDAN在每一阶段添加特定的白噪声，对每一阶段的分解结果进行集成平均，解决了EEMD集成平均过程中分解结果数量不一致的问题，在不增加计算量的前提下，降低了信号的重构误差，具有更好的分解完备性。在CEEMDAN方法中，设原始信号为x（t），ωm （t）为第m次向信号添加的白噪声序列，定义算子Ep（·）为EMD的第p个IMF分量，具体方法描述如下：
1.2 WMEMDAN方法
WMEMDAN的关键在于均值曲线的构造和优选。在均值曲线构造方面，不同于CEEMDAN直接对极值点进行包络拟合，WMEMDAN先对相邻极值点加权平均，再对加权平均后的极值点进行包络拟合。在均值曲线优选方面，为了尽可能从信号中分离出均值曲线，在不同权重下，以最小正交性为依据选取整体最优的分解结果。正交性越小意味着分解结果的分解正交性越好，每一阶分量之间的混淆程度越低，越能准确地反映真实的物理过程。此外，WMEMDAN还对原始信号进行端点延拓，在分解出结果后去除延拓部分，避免端点效应的影响。该方法具体步骤如下：
WMEMDAN引入了不同权重β，将不同权重的均值曲线从信号中分离，并计算分解结果的正交性指标。正交性指标越小，说明分解结果中每一阶IMF分量彼此之间的混淆程度越低，越能反映信号中的故障冲击特征，有利于提取故障特征，因此从不同的权重分解结果中优选出正交性最小的分解结果作为WMEMDAN方法的最终IMF分量。引入权重的目的是为了从不同权重下获得整体最优的IMF分量，如果权重β过大，均值曲线被过度分离，导致信号X（t）中包含的有用信息被剔除，IMF分量呈现失真情况。如果权重β个数太少的话，难以确保所得IMF分量的整体最优性。综合考虑之下，令权重β在0到2之间以0.1为步长取值。在此范围内，权重β最大值为2，不容易出现过度分离的情况。以一定步长取值，权重值连续变化，不会因为权重值的缺少而导致分解结果的整体最优性无法保证，当然步长越小，权重个数越多，理论上能够获得更好的整体最优性，但增加的计算量和提高的整体最优性的实际性价比不高，因此，论文以0.1为步长进行取值。 在WMEMDAN方法中，改进的均值曲线构造方式抑制了过冲和不足，利用端点延拓减少端点效应的影响，优选均值曲线能使结果达到整体最优的状态，因此，理论上能够提高分解能力，解决CEEMDAN在噪声残留和虚假分量方面的缺陷。
1.3 加权因子α
式（5）中引入了加权因子α，本节将分析α对分解结果的影响。在0.5?4的范围内以0.05为步长取值作为α的样本，采用下式的叠加信号为例进行分析。
信号x（t）由幅值为2的随机噪声x1（t）、调幅信号x2（t）以及余弦信号x3（t）叠加而成。计算不同α下分解结果的正交性指标和前三个分量的误差能量比，如图1和2所示。
不同加权因子α下的正交性指标大致呈现先下降再上升的趋势，大约在2范围内，正交性指标数值较小，分解正交性更好。对比不同分量的误差能量比，当加权因子α<2.5时，各个分量的误差能量比基本趋于平稳，波动不大，而加权因子α>3时，各个分量的误差能量比有了明显地增长趋势，和真实分量的吻合程度开始下降。综合正交性指标和误差能量比，可以认为加权因子α不适宜过小或者过大，在2附近是一个比较合适的选取范围，既能够实现平缓极值点波动，其正交性指标和误差能量比都能够获得较好的数值，确保分解结果的分解正交性和分解精度。
经过多次试验分析都验证了该范围是一个合适的选取区域，所以论文在2附近选取α，同时为了获得最好的分解效果，从中以正交性最小依据进行选取。
2 仿真分析
2.1 叠加仿真信号分析
为了验证WMEMDAN的优越性，不失一般性，仍考虑式（10）所示的叠加信号，其时域波形图如图3所示。用WMEMDAN对叠加信号进行分解，添加的噪声幅值为0.25，集成次数为50，分解个数设置为5，加权因子取2，其结果如图4所示。为了便于对比，图5中给出相同参数条件下CEEMDAN的分解结果。从图4和5可知，WMEMDAN和CEEMDAN都能够分解叠加信号，WMEMDAN前三个IMF分量分别对应真实分量x1（t），x2（t），x3（t），而CEEMDAN中对应真实分量的是IMF1，IMF3和IMF5，中间存在着x1（t）和x2（t）的虚假分量IMF2与IMF4，两者的幅值很大。对于叠加信号而言，相比于CEEMDAN，所提出的方法有效地减少了虚假分量。再考虑两种方法的分解精度，表1中给出了IMF分量的正交性指标（IO）和相关系数（Cor）。在相同参数条件下，WMEMDAN具有更小的IO，这意味着分解结果的模态混叠程度更低，分解效果更优。WMEMDAN前三个分量的相关系数Cor分别为0.8576，0.9511和0.9835，都大于CEEMDAN的相关系数0.8101，0.8617和0.9833，这意味着WMEMDAN的分解结果和真实分量相关性大，更与真实分量吻合。两种方法分解结果和分解精度的对比，验证了WMEMDAN在减少虚假分量的同时，能够获得更优的分解精度。
2.2 滚动轴承故障仿真信号
再考虑构造滚动轴承内圈故障模型来验证WMEMDAN的优势。滚动轴承内圈故障信号S（t）可以看做是实际故障特征信号Sfault（t）和噪声信号Snoise（t）的叠加，即
在冲击信号Sfault（t）中，δ为阻尼系数，fn为固有频率，ff为故障特征频率，Fs为采样频率，frf为转频，Q为载荷，G为滚珠质量系数，N为采样点数，u为采样频率Fs和故障特征频率ff的整数比。
设置采样频率Fs=12 kHz，固有频率fn=1500 Hz，采样点数N=4096，载荷Q=5 kN，滚珠质量系数G=2，转频frf和内圈故障特征频率ff分别为5 Hz和27 Hz，如图6所示。分别采用CEEMDAN和WMEMDAN两种方法分解仿真信号，添加的噪声幅值为0.25 dB，集成次数为200次，设置分解结果为10，加权因子为2，结果如图7所示。在前4个IMF分量中，WMEMDAN峭度最大的分量是IMF3，而CEEMDAN是IMF4。分别对两个分量进行幅值谱和功率谱分析，如图8所示。CEEDMAN中幅值最大的谱线为202 Hz的干扰信号，而故障特征频率淹没在大量的干扰频率中。WMEMDAN中故障特征频率所在谱线最为明显，干扰频率被很好地抑制，故障特征频率的识别效果更好。
通过上述分析，对于叠加信号和轴承故障仿真信号而言，WMEMDAN能够有效地分解信号，同时减少虚假分量、提高分解精度，该方法的优势得到初步的验证。
3 实测信号分析
为了进一步验证所提出方法的优越性，将WMEMDAN应用于轴承故障诊断和齿轮故障诊断中。所用轴承故障信号由图9所示的ID?25/30型轴承全寿命试验台采集，测试轴承为6206?2RSJ/C3深沟球轴承。齿轮故障诊断信号由图10所示装置采集，采用模数为2.5，齿数为37的标准齿轮作为测试齿轮。
3.1 轴承故障诊断
3.1.1 轴承内圈故障
轴承故障直径为0.4 mm，主轴转速为1500 r/min，转频?ri=25 Hz，负载7 kN，采样频率为8192 Hz，内圈故障特征频率为?i=135 Hz。内圈故障信号的时域图如图11所示。先采用WMEMDAN方法对信号进行分解，添加的噪声幅值为0.25，集成次数为50，分解个数设置为6，加权因子取1.98，其分解结果如图12（a）所示，如无特殊说明，分解结果只取前4个分量（下同），对分量做包络谱分析，如图12（b）所示。图13中是相同参数条件下CEEMDAN的分解结果和包络谱分析。
从图12（b）和13（b）中可以看出，WMEMDAN和CEEMDAN前两个分量中都存在故障特征频率和转频，能够有效地识别，但是IMF3和IMF4分量却有效地说明WMEMDAN方法的优越性。WMEMDAN的IMF3中转频和故障特征频率所在谱线非常明显，干扰信号被很好地抑制，能够准确地识别，而CEEMDAN的IMF3中故障特征频率幅值小，无法识别，且存在39.3，59，83.6 Hz等明显的干扰频率。WMEMDAN和CEEMDAN的IMF4分量中都存在转频，但是前者低频段的无关频率少，转频谱线明显，后者出现了14.7和34.4 Hz的两个干扰频率。上述结果表明，WMEMDAN能夠有效地分解内圈故障信号，同时抑制干扰信号的效果优于CEEMDAN方法。为了量化说明WMEMDAN方法在分解精度方面的优越性，用下式所示的SNRd来衡量信噪比的大小。 IMF3和IMF4的SNRd如表2所示。不论是IMF3还是IMF4中，WMEMDAN的SNRd都小于CEEMDAN的SNRd，这意味着干扰信号所占的比重少，抑制效果更佳。
3.1.2 轴承外圈故障
低速轴承故障信号因其振动频率低，诊断故障的难度更大，以低速轴承外圈故障信号为例加以分析。轴承故障直径为0.3 mm，主轴转速为150 r/min，转频?ro=2.5 Hz，负载为5 kN，采样频率为8192 Hz，故障特征频率为?o=8.92 Hz。低速外圈故障信号的时域图如图14所示。在与内圈故障设置相同参数的条件下，仍采用WMEMDAN和CEEMDAN方法对低速故障信号加以分解，其结果和相应的包络谱分析如图15和16所示。在图16（b）中只存在两倍转频，故障特征频率无法辨识，这意味着CEEMDAN对于低速故障信号的分解能力不够，而WMEMDAN的IMF4中出现了故障特征频率和两倍转频，和干扰频率的区分度高，能够准确诊断出外圈故障。仍用式（15）的SNRd来量化地说明WMEMDAN在低速外圈轴承故障诊断中的优势。CEEMDAN的包络谱中并未出现明显的故障特征频率，只是出现了两倍转频，WMEMDAN中在IMF4分量中出现了故障特征频率和两倍的转频，为此，分别计算IMF4中故障频率和转频的SNRd，如表3所示。不论是故障特征频率还是转频，WMEMDAN的SNRd都小于CEEMDAN，因此，所提出方法的分解效果更好。
3.2 齿轮故障分析
为了验证WMEMDAN方法的有效性，以齿轮断齿故障为例进行分析。齿轮故障分析中主轴转速为720 r/min，采样频率为2048 Hz，齿轮故障特征频率fg= 12 Hz。故障信号如图17所示。添加的噪声幅值为0.3，集成次数为100，分解个数为7，加权因子取2，两种方法的分解结果和包络谱分析如图18?19所示。对比图18（b）和19（b）可知，CEEMDAN的故障特征頻率隐藏于干扰频率中，准确地提取故障特征频率比较困难。虽然IMF2中出现了2倍故障特征频率，但是该倍频和干扰频率的区分度不高。在图18（b）的IMF2中，出现了故障特征频率，其谱线幅值明显高于其余频率，有利于判断故障类型。如表4中所示，前三个IMF分量中，WMEMDAN的SNRd略低于CEEMDAN，尤其是IMF2分量中，两者SNRd的差值最大，与包络谱分析结果相吻合。虽然IMF4中，WMEMDAN的优势不够明显，但并不影响WMEMDAN方法识别齿轮故障特征频率，因此，可以认为所提出的方法在有效地识别齿轮故障的同时，抑制了干扰信号，能够获得更好的分解精度。
综上所述，轴承内圈故障、低速轴承外圈故障以及齿轮故障实测分析都验证了，相比于CEEMDAN，所提出的WMEMDAN方法在抑制虚假分量和干扰信号方面具有优势。
4 结 论
（1） WMEMDAN在改善CEEMDAN分解能力的同时，减少分解过程中产生的虚假分量，抑制残留噪声对分解结果的影响，分解精度更高。
（2） 将所提出的方法应用于轴承内圈故障、低速轴承外圈故障和齿轮故障诊断中，相比CEEMDAN，具有更好的故障诊断能力。不论是方法理论分析还是实验数据分析，都验证了所提出方法的优越性，有效地改进了CEEMDAN的缺陷。
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然而，不论是EEMD还是CEEMD，在信号加入不同高斯白噪声后，分解结果的数目都很难保持一致，致使在集成平均过程中不能保证分解的完备性。鉴于此，自适应噪声完整集成经验模态分解[17?21]被提出，其解决了分解结果数量不一致的问题，并具有分解完备性。但是，CEEMDAN仍然存在一些问题有待解决：（1）端点效应和包络过冲与不足问题;（2）易得到虚假分量;（3）残余噪声影响分解结果的精度。
CEEMDAN对极值点进行三次样条曲线插值拟合来构造均值曲线，然后将均值曲线从信号中迭代筛分，且不断更新，而每次筛分采用的均值曲线都是基于上一次迭代的剩余信号[22]，从而自适应地分解信号。鉴于均值曲线的构造和迭代筛分在CEEMDAN算法中起着决定性作用，考虑对这两个核心部分加以改进，以解决CEEMDAN存在的问题。针对插值拟合导致的端点效应和包络过冲与不足等问题，考虑对信号进行延拓，同时对相邻三个极值点加权平均，均匀极值点的分布，来抑制包络的过冲和不足问题。在迭代筛分过程中，考虑在均值曲线还未迭代更新之前，将均值曲线从当前剩余信号中尽可能完全筛分出[22]，在筛分过程中引入不同的权重，以正交性作为衡量筛分是否彻底的依据，从不同权重下的筛分结果中选取出最优结果，最大程度地减少筛分结果中的噪声残留。对每次筛分过程都加以优选，在经过多次迭代更新后，可以確保IMF分量达到整体最优，以减少虚假分量的存在，提高分解的精度。
1 自适应噪声加权优选经验模态分解
1.1 CEEMDAN方法
CEEMDAN在每一阶段添加特定的白噪声，对每一阶段的分解结果进行集成平均，解决了EEMD集成平均过程中分解结果数量不一致的问题，在不增加计算量的前提下，降低了信号的重构误差，具有更好的分解完备性。在CEEMDAN方法中，设原始信号为x（t），ωm （t）为第m次向信号添加的白噪声序列，定义算子Ep（·）为EMD的第p个IMF分量，具体方法描述如下：
1.2 WMEMDAN方法
WMEMDAN的关键在于均值曲线的构造和优选。在均值曲线构造方面，不同于CEEMDAN直接对极值点进行包络拟合，WMEMDAN先对相邻极值点加权平均，再对加权平均后的极值点进行包络拟合。在均值曲线优选方面，为了尽可能从信号中分离出均值曲线，在不同权重下，以最小正交性为依据选取整体最优的分解结果。正交性越小意味着分解结果的分解正交性越好，每一阶分量之间的混淆程度越低，越能准确地反映真实的物理过程。此外，WMEMDAN还对原始信号进行端点延拓，在分解出结果后去除延拓部分，避免端点效应的影响。该方法具体步骤如下：
WMEMDAN引入了不同权重β，将不同权重的均值曲线从信号中分离，并计算分解结果的正交性指标。正交性指标越小，说明分解结果中每一阶IMF分量彼此之间的混淆程度越低，越能反映信号中的故障冲击特征，有利于提取故障特征，因此从不同的权重分解结果中优选出正交性最小的分解结果作为WMEMDAN方法的最终IMF分量。引入权重的目的是为了从不同权重下获得整体最优的IMF分量，如果权重β过大，均值曲线被过度分离，导致信号X（t）中包含的有用信息被剔除，IMF分量呈现失真情况。如果权重β个数太少的话，难以确保所得IMF分量的整体最优性。综合考虑之下，令权重β在0到2之间以0.1为步长取值。在此范围内，权重β最大值为2，不容易出现过度分离的情况。以一定步长取值，权重值连续变化，不会因为权重值的缺少而导致分解结果的整体最优性无法保证，当然步长越小，权重个数越多，理论上能够获得更好的整体最优性，但增加的计算量和提高的整体最优性的实际性价比不高，因此，论文以0.1为步长进行取值。 在WMEMDAN方法中，改进的均值曲线构造方式抑制了过冲和不足，利用端点延拓减少端点效应的影响，优选均值曲线能使结果达到整体最优的状态，因此，理论上能够提高分解能力，解决CEEMDAN在噪声残留和虚假分量方面的缺陷。
1.3 加权因子α
式（5）中引入了加权因子α，本节将分析α对分解结果的影响。在0.5?4的范围内以0.05为步长取值作为α的样本，采用下式的叠加信号为例进行分析。
信号x（t）由幅值为2的随机噪声x1（t）、调幅信号x2（t）以及余弦信号x3（t）叠加而成。计算不同α下分解结果的正交性指标和前三个分量的误差能量比，如图1和2所示。
不同加权因子α下的正交性指标大致呈现先下降再上升的趋势，大约在2范围内，正交性指标数值较小，分解正交性更好。对比不同分量的误差能量比，当加权因子α<2.5时，各个分量的误差能量比基本趋于平稳，波动不大，而加权因子α>3时，各个分量的误差能量比有了明显地增长趋势，和真实分量的吻合程度开始下降。综合正交性指标和误差能量比，可以认为加权因子α不适宜过小或者过大，在2附近是一个比较合适的选取范围，既能够实现平缓极值点波动，其正交性指标和误差能量比都能够获得较好的数值，确保分解结果的分解正交性和分解精度。
经过多次试验分析都验证了该范围是一个合适的选取区域，所以论文在2附近选取α，同时为了获得最好的分解效果，从中以正交性最小依据进行选取。
2 仿真分析
2.1 叠加仿真信号分析
为了验证WMEMDAN的优越性，不失一般性，仍考虑式（10）所示的叠加信号，其时域波形图如图3所示。用WMEMDAN对叠加信号进行分解，添加的噪声幅值为0.25，集成次数为50，分解个数设置为5，加权因子取2，其结果如图4所示。为了便于对比，图5中给出相同参数条件下CEEMDAN的分解结果。从图4和5可知，WMEMDAN和CEEMDAN都能够分解叠加信号，WMEMDAN前三个IMF分量分别对应真实分量x1（t），x2（t），x3（t），而CEEMDAN中对应真实分量的是IMF1，IMF3和IMF5，中间存在着x1（t）和x2（t）的虚假分量IMF2与IMF4，两者的幅值很大。对于叠加信号而言，相比于CEEMDAN，所提出的方法有效地减少了虚假分量。再考虑两种方法的分解精度，表1中给出了IMF分量的正交性指标（IO）和相关系数（Cor）。在相同参数条件下，WMEMDAN具有更小的IO，这意味着分解结果的模态混叠程度更低，分解效果更优。WMEMDAN前三个分量的相关系数Cor分别为0.8576，0.9511和0.9835，都大于CEEMDAN的相关系数0.8101，0.8617和0.9833，这意味着WMEMDAN的分解结果和真实分量相关性大，更与真实分量吻合。两种方法分解结果和分解精度的对比，验证了WMEMDAN在减少虚假分量的同时，能够获得更优的分解精度。
2.2 滚动轴承故障仿真信号
再考虑构造滚动轴承内圈故障模型来验证WMEMDAN的优势。滚动轴承内圈故障信号S（t）可以看做是实际故障特征信号Sfault（t）和噪声信号Snoise（t）的叠加，即
在冲击信号Sfault（t）中，δ为阻尼系数，fn为固有频率，ff为故障特征频率，Fs为采样频率，frf为转频，Q为载荷，G为滚珠质量系数，N为采样点数，u为采样频率Fs和故障特征频率ff的整数比。
设置采样频率Fs=12 kHz，固有频率fn=1500 Hz，采样点数N=4096，载荷Q=5 kN，滚珠质量系数G=2，转频frf和内圈故障特征频率ff分别为5 Hz和27 Hz，如图6所示。分别采用CEEMDAN和WMEMDAN两种方法分解仿真信号，添加的噪声幅值为0.25 dB，集成次数为200次，设置分解结果为10，加权因子为2，结果如图7所示。在前4个IMF分量中，WMEMDAN峭度最大的分量是IMF3，而CEEMDAN是IMF4。分别对两个分量进行幅值谱和功率谱分析，如图8所示。CEEDMAN中幅值最大的谱线为202 Hz的干扰信号，而故障特征频率淹没在大量的干扰频率中。WMEMDAN中故障特征频率所在谱线最为明显，干扰频率被很好地抑制，故障特征频率的识别效果更好。
通过上述分析，对于叠加信号和轴承故障仿真信号而言，WMEMDAN能够有效地分解信号，同时减少虚假分量、提高分解精度，该方法的优势得到初步的验证。
3 实测信号分析
为了进一步验证所提出方法的优越性，将WMEMDAN应用于轴承故障诊断和齿轮故障诊断中。所用轴承故障信号由图9所示的ID?25/30型轴承全寿命试验台采集，测试轴承为6206?2RSJ/C3深沟球轴承。齿轮故障诊断信号由图10所示装置采集，采用模数为2.5，齿数为37的标准齿轮作为测试齿轮。
3.1 轴承故障诊断
3.1.1 轴承内圈故障
轴承故障直径为0.4 mm，主轴转速为1500 r/min，转频?ri=25 Hz，负载7 kN，采样频率为8192 Hz，内圈故障特征频率为?i=135 Hz。内圈故障信号的时域图如图11所示。先采用WMEMDAN方法对信号进行分解，添加的噪声幅值为0.25，集成次数为50，分解个数设置为6，加权因子取1.98，其分解结果如图12（a）所示，如无特殊说明，分解结果只取前4个分量（下同），对分量做包络谱分析，如图12（b）所示。图13中是相同参数条件下CEEMDAN的分解结果和包络谱分析。
从图12（b）和13（b）中可以看出，WMEMDAN和CEEMDAN前两个分量中都存在故障特征频率和转频，能够有效地识别，但是IMF3和IMF4分量却有效地说明WMEMDAN方法的优越性。WMEMDAN的IMF3中转频和故障特征频率所在谱线非常明显，干扰信号被很好地抑制，能够准确地识别，而CEEMDAN的IMF3中故障特征频率幅值小，无法识别，且存在39.3，59，83.6 Hz等明显的干扰频率。WMEMDAN和CEEMDAN的IMF4分量中都存在转频，但是前者低频段的无关频率少，转频谱线明显，后者出现了14.7和34.4 Hz的两个干扰频率。上述结果表明，WMEMDAN能夠有效地分解内圈故障信号，同时抑制干扰信号的效果优于CEEMDAN方法。为了量化说明WMEMDAN方法在分解精度方面的优越性，用下式所示的SNRd来衡量信噪比的大小。 IMF3和IMF4的SNRd如表2所示。不论是IMF3还是IMF4中，WMEMDAN的SNRd都小于CEEMDAN的SNRd，这意味着干扰信号所占的比重少，抑制效果更佳。
3.1.2 轴承外圈故障
低速轴承故障信号因其振动频率低，诊断故障的难度更大，以低速轴承外圈故障信号为例加以分析。轴承故障直径为0.3 mm，主轴转速为150 r/min，转频?ro=2.5 Hz，负载为5 kN，采样频率为8192 Hz，故障特征频率为?o=8.92 Hz。低速外圈故障信号的时域图如图14所示。在与内圈故障设置相同参数的条件下，仍采用WMEMDAN和CEEMDAN方法对低速故障信号加以分解，其结果和相应的包络谱分析如图15和16所示。在图16（b）中只存在两倍转频，故障特征频率无法辨识，这意味着CEEMDAN对于低速故障信号的分解能力不够，而WMEMDAN的IMF4中出现了故障特征频率和两倍转频，和干扰频率的区分度高，能够准确诊断出外圈故障。仍用式（15）的SNRd来量化地说明WMEMDAN在低速外圈轴承故障诊断中的优势。CEEMDAN的包络谱中并未出现明显的故障特征频率，只是出现了两倍转频，WMEMDAN中在IMF4分量中出现了故障特征频率和两倍的转频，为此，分别计算IMF4中故障频率和转频的SNRd，如表3所示。不论是故障特征频率还是转频，WMEMDAN的SNRd都小于CEEMDAN，因此，所提出方法的分解效果更好。
3.2 齿轮故障分析
为了验证WMEMDAN方法的有效性，以齿轮断齿故障为例进行分析。齿轮故障分析中主轴转速为720 r/min，采样频率为2048 Hz，齿轮故障特征频率fg= 12 Hz。故障信号如图17所示。添加的噪声幅值为0.3，集成次数为100，分解个数为7，加权因子取2，两种方法的分解结果和包络谱分析如图18?19所示。对比图18（b）和19（b）可知，CEEMDAN的故障特征頻率隐藏于干扰频率中，准确地提取故障特征频率比较困难。虽然IMF2中出现了2倍故障特征频率，但是该倍频和干扰频率的区分度不高。在图18（b）的IMF2中，出现了故障特征频率，其谱线幅值明显高于其余频率，有利于判断故障类型。如表4中所示，前三个IMF分量中，WMEMDAN的SNRd略低于CEEMDAN，尤其是IMF2分量中，两者SNRd的差值最大，与包络谱分析结果相吻合。虽然IMF4中，WMEMDAN的优势不够明显，但并不影响WMEMDAN方法识别齿轮故障特征频率，因此，可以认为所提出的方法在有效地识别齿轮故障的同时，抑制了干扰信号，能够获得更好的分解精度。
综上所述，轴承内圈故障、低速轴承外圈故障以及齿轮故障实测分析都验证了，相比于CEEMDAN，所提出的WMEMDAN方法在抑制虚假分量和干扰信号方面具有优势。
4 结 论
（1） WMEMDAN在改善CEEMDAN分解能力的同时，减少分解过程中产生的虚假分量，抑制残留噪声对分解结果的影响，分解精度更高。
（2） 将所提出的方法应用于轴承内圈故障、低速轴承外圈故障和齿轮故障诊断中，相比CEEMDAN，具有更好的故障诊断能力。不论是方法理论分析还是实验数据分析，都验证了所提出方法的优越性，有效地改进了CEEMDAN的缺陷。
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