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摘要： 针对特征优化图改进包络谱（Improved Envelope Spectrum via Feature Optimization?gram， IESFOgram）算法在轴承随机滑动的条件下不能有效揭示故障特征的问题，提出了一种基于设置特征频率容差因子的改进IESFOgram算法。该方法使用循环谱相关分析提取滚动轴承故障振动分量;基于轴承随机滑动特性设置特征频率容差，并计算特征频率各阶次谐波频率与边带积分比值之和，确定包含轴承故障信息最丰富的解调频带;包络谱分析辨识轴承故障特征。仿真数据、西储大学部分数据和实验数据的结果分析表明，所提出方法可有效解决IESFOgram算法在轴承随机滑动的条件下失效的缺陷。
关键词： 故障诊断; 滚动轴承; 快速谱峭度; 循环平稳; 特征包络谱
引 言
滚动轴承是旋转机械中最容易损坏的基础部件之一。当滚动轴承发生故障时，由于受到刚度非线性、摩擦力和外载荷等因素的影响，其振动信号往往表现出非平稳特征，如何从非平稳信号中提取故障特征信息，在滚动轴承故障诊断中显得尤为重要。
包络分析是轴承故障诊断中广泛应用的有效方法之一，其可从复杂信号中提取故障调制信息，抑制干扰成分，并准确判断故障部位和类型[1]。如何获取合适的解调频带一直是研究的热点之一，Antoni提出基于谱峭度自适应获取解调频带的快速谱峭度（Fast Kurtogram，FK）算法[2]，该算法近十年来得到广泛研究和应用。然而，在信噪比非常低或存在较强非高斯噪声的工况下，FK算法确定的解调频带可能无法有效揭示故障特征[3]。
近20年来，循环平稳分析技术得到迅速发展，并应用于滚动轴承故障特征提取[4]，例如：Antoni等研究了基于循环谱相关分析（Cyclic Spectral Correlation， CSC）[5]的滚动轴承故障特征提取方法。但该方法无法自适应获取包含故障特征最丰富的解调频带（通常取全频带平均值）。在干扰较大场合可能导致轴承故障特征提取失败。为解决CSC算法无法自适应选择故障特征最丰富解调频带的问题，Mauricio等提出了抗干扰能力强的特征优化图改进包络谱（Improved Envelope Spectrum via Feature Optimization?gram， IESFOgram）算法[6]，在轴承故障诊断中得到较好验证。本文在研究该算法及其在滚动轴承故障特征提取方面的应用中发现，IESFOgram算法中未考虑滚动轴承运行时滚動体与滚道间存在1%?2%随机滑动的影响[7]，可能导致该算法确定的解调频带依然不能清晰揭示故障特征。
为解决上述问题，本文在考虑轴承随机滑动的基础上提出了一种IESFOgram的滚动轴承故障特征提取的改进算法，以提高IESFOgram算法确定优化解调频带的鲁棒性。以仿真数据、西储大学部分轴承数据和实验数据为对象，将所提方法与FK和原IESFOgram算法对比分析，验证了所提方法的优势。
1 IESFOgram算法
根据统计特征函数周期性的不同，信号可分为一阶、二阶和高阶循环平稳信号。在齿轮箱中齿轮、轴等振动信号具有严格的周期性，属于一阶循环平稳信号。滚动轴承运行时具有随机滑动特性[2]，其信号属于二阶循环平稳信号。此外，背景噪声没有明显的周期性，属于高阶循环平稳信号。对于二阶循环平稳信号x（t），CSC的计算式可表示为[6]
为有效确定包含故障特征信息最丰富的优化解调频带，IESFOgram算法引入1/3?二叉树理论构建多级频带组，实现奈奎斯特频带的合理划分[2]，每个频带组包括子频带个数为2L，其中等级L=0，1，1.6，…，N-1，各级子频带的频带宽度为2-L-1f，中心频率fc=2-L-2?i?f，其中i=0，1，…，2L-1。为有效评价各子频带中故障信息的丰富程度，IESFOgram算法以子频带中包含轴承故障特征频率各阶次谐波频率k?αfault与边带积分比值之和作为评价指标，通常情况下，滚动轴承各部件故障理论特征频率αfault可通过转速和轴承参数确定，通过选择积分值DF最大时所对应的解调频带，即数值越大对应频带的信噪比越高，获取故障特征最丰富的优化解调频带。
IESFOgram算法对滚动轴承故障特征提取的主要步骤为：
1）采用式（1）提取滚动轴承故障振动分量，并应用式（2）削弱背景噪声分布不均匀对解调频带积分的影响[6]。
2）基于1/3?二叉树频带划分结构沿着频率轴f划分频带，获取各子频带的频带上下限F1和F2，其取值分别为i?2-L-1和 （i+1）?2-L-1，计算各子频带中IES，获得循环频率α的一维谱函数。
3）计算各子频带中故障特征频率各阶次谐波频率k?αfault与边带积分比值之和，计算如下[6]
4）选取DF最大时所对应的解调频带，获得中心频率fc和子频带频带宽度bw。
IESFOgram算法在滚动轴承故障特征提取上具有以下优势：
1） 通过选择包含故障信息最丰富的解调频带，可有效抑制背景噪声和其他干扰成分对轴承故障特征提取的干扰，以提高轴承故障信号的信噪比;
2） 对于FK算法而言，较强的背景噪声和齿轮啮合冲击等振动分量对优化解调频带选取具有较大干扰，导致获取的解调频带往往无法有效识别故障特征谱线。IESFOgram算法基于不同振动分量间循环周期特性不同，采用CSC提取具有二阶循环特性的轴承故障振动分量，可有效抑制背景噪声与齿轮啮合冲击等振动分量对轴承故障特征提取的干扰。
2 IESFOgram的改进
2.1 IESFOgram算法的不足
IESFOgram算法旨在选择各谐波阶次理论故障特征频率与边带积分比值之和最大时所对应的解调频带。然而，IESFOgram算法未考虑轴承随机滑动对式（4）积分值的影响，当滚动轴承特征频率理论值与实际值存在差异时，IESFOgram算法确定优化解调频带往往无法有效揭示滚动轴承故障特征谱线，导致轴承故障特征提取失败。 为清晰展示滚动轴承随机滑动对式（4）积分的影响，图1绘制了不同解调频带对应的第k阶谐波幅值谱线。如图1（a）和（c）所示，当滚动轴承故障特征频率理论值与实际值相同时，应用原IESFOgram对图1（a）和（c）分别积分可知，该算法可确定信噪比最高时所对应的解调频带。然而，当滚动轴承具有随机滑动时所对应的故障特征谱线分布如图1中（b）和（d）所示，即理论特征频率与实际特征频率存在差异，采用原IESFOgram分别对图1（b）和（d）积分可知，原IESFOgram算法无法获取信噪比最高时所对应的解调频带。本文通过设置如图1（b）和（d）所示的频率容差fdelta对特征频率可能出现频率范围进行积分，可有效抑制轴承故障频率理论与实际值之间的差异对积分值DF的影响。
2.2 考虑轴承滑动的IESFOgram算法
为消除理论与实际特征频率差异对IESFOgram算法选取优化解调频带的干扰，本文基于文献[7]提出的滚动轴承运行时存在1%?2%的随机滑动特性，提出设置特征频率容差fdelta对IESFOgram算法改进，以提高IESFOgram在工程应用中的鲁棒性，计算式如下
值得指出的是，式（6）表示信号在特定频带范围内的能量比，其可用于描述信号的信噪比，选择包含故障信息最丰富的解调频带。与式（4）相比，式（6）中两个积分操作旨在考虑滚动轴承随机滑动对DF值的影响，消除滚动轴承理论与实际特征频率差异导致IESFOgram算法失效的缺点。
改进IESFOgram算法需设置三个关键参数，分别是理论特征频率αfault、积分频带宽度fb和特征频率容差fdelta。其中，滚动轴承各部件故障理论特征频率αfault可通过转速和轴承参数确定。积分频带宽度fb取决于故障特征频率是否有调制，若有频率调制，fb小于1倍调制频率，若没有频率调制，fb可取1?2倍转频。此外，滚动轴承运行时存在1%?2%的随机滑动，为有效包含实际特征频率，fdelta可设置为0.02αfault。
3 基于改进IESFOgram的轴承故障特征提取
为实现滚动轴承故障特征有效提取，本文提出一种基于改进IESFOgram的滚动轴承故障特征提取方法，其技术路线如图2所示。步骤包括：a. 使用CSCoh提取与轴承故障相关的振动分量;b. 基于1/3?二叉树频带划分结构沿频率f划分频带;c. 基于改进式（6）计算各子频带的DF值;d. 选择DF值最大时对应的解调频带;e. 对所优选的解调频带包络分析，实现轴承故障特征提取。
值得指出的是，基于式（6）改进的IESFOgram算法对滚动轴承故障特征提取具有以下优势：（a） 通過对原IESFOgram算法改进，有效抑制轴承随机滑动对选取解调频带的干扰，提高原IESFOgram算法的鲁棒性;（b） 所提方法可选择出包含轴承故障信息最丰富的解调频带，实现滚动轴承故障特征的有效提取。
4 实验验证
4.1 仿真分析
4.1.1 数据说明
仿真实验设定采样频率fs=51.2 kHz，轴承故障特征频率αfault=100 Hz，固有频率fn=2 kHz，调制频率fA=10 Hz，故障周期T的微小波动Δt的标准差σ=0.01T。
4.1.2 特征提取
由以上参数仿真得到的时域波形如图3所示。
首先采用FK算法对仿真数据进行分析，所优选的解调频带如图4所示（fc： 1066 Hz， bw： 2133 Hz），对应的包络分析结果如图5所示，图中背景噪声谱线占优，轴承故障特征谱线识别较为困难。
其次，采用原IESFOgram获得的解调频带（fc： 25300 Hz， bw： 500 Hz）如图6所示，对应的包络分析结果如图7所示，可见轴承故障特征谱线基本淹没于其他干扰谱线，故障特征无法有效提取。
最后采用本文所提方法对信号进行分析，所获得的解调频带（fc： 1700 Hz， bw： 500 Hz）如图8所示，对应的包络分析结果如图9所示，图中可清晰辨识99.98 Hz故障特征谱线及其倍频（198.2 Hz和297.1 Hz），验证了本文所提方法的有效性。仿真信号中理论特征频率αfault =100 Hz，根据滚动轴承1%?2%滑动特性，本实验假设最大滑动为2%，特征频率容差fdelta为2 Hz;此外，仿真信号频率调制fA=10 Hz，设置积分频带宽度fb=10 Hz。
4.2 西储大学数据分析
4.2.1 数据说明
为验证本文所提方法的有效性，本部分采用如图10所示的美国西储大学轴承测试试验台上驱动端轴承测试数据（数据文件名为OR021@6_2）。为模拟滚动轴承外圈故障，在轴承外圈上用线切割方法加工一宽度约为0.53 mm，深度约为0.28 mm的小槽，故障轴承型号为SKF6205深沟球轴承，滚子直径d=7.94 mm，节圆直径D=39.04 mm，滚子数目n=9，接触角β=0。该实验驱动电机输入转速为1750 r/min，采样频率为48 kHz，其轴承外圈理论特征频率αfault计算如下
4.2.2 特征提取
信号时域波形如图11所示，首先使用FK算法对信号进行分析，所获得的解调频带（fc： 9750 Hz， bw： 1500 Hz）如图12所示，对应的包络分析结果如图13所示，图中与轴承故障相关谱线并不占优，其他谱线干扰其谱线的辨识。
其次采用原IESFOgram选择优化解调频带（fc： 10312 Hz， bw： 328 Hz）如图14所示，对应的包络分析结果如图15所示。图中轴承故障特征谱线基本淹没于背景噪声，无法有效识别轴承故障谱线。
最后采用本文所提方法进行分析，所选择的解调频带（fc： 19687 Hz， bw： 328 Hz）如图16所示，对应的包络分析结果如图17所示。图中频率为104.6 Hz特征谱线可清晰辨识（理论特征频率为104.3 Hz，两者误差为0.19%），验证了理论与实际特征频率差异可能误导DF指标（公式（4））解调频带的选择，导致原IESFOgram算法失效。实验中理论特征频率αfault=104.3 Hz，根据轴承1%?2%滑动特性，假设轴承滑动为2%，特征频率容差fdelta设置为2.1 Hz，轴承外圈没有调制频率，积分频带宽度fb设为转频29.17 Hz。 4.3 轴承数据分析
4.3.1 数据说明
为进一步验证本文所提方法的有效性，研究中以图18所示的QPZZ?Ⅱ型轴承测试平台进行验证。采用N205EM型号的圆柱滚子轴承为研究对象，为模拟轴承外圈故障，在滚动轴承外圈上用线切割方法加工一宽度约为1 mm，深度约为0.5 mm的小槽，如图19所示，滚子直径d=7.94 mm，节圆直径D=38.5 mm，滚子数目n=12，接触角β=0。该实验驱动电机输入转速为590 r/min，采样频率fs=25.6 kHz。由式（8）计算可知，轴承外圈故障理论特征频率αfault=46.8 Hz。
4.3.2 特征提取
采集轴承振动信号如图20所示。首先使用FK算法对该信号进行分析，获得解调频带（fc： 12533 Hz， bw： 533 Hz）如图21所示，对应的包络分析结果如图22所示，图中除故障特征谱线外，还存在较多较高干扰谱线，无法有效提取轴承故障特征。
随后采用原IESFOgram算法分析，获得的解调频带（fc： 4000 Hz， bw： 850 Hz）如图23所示，对应的包络分析结果如图24所示，图中故障特征谱线基本淹没于背景噪声，无法有效识别其故障特征谱线。
最后采用改进IESFOgram算法对数据进行分析，获得的解调频带（fc： 8750 Hz， bw： 300 Hz）如图25所示，进而对优选频带进行包络分析，如图26所示，图中可清晰辨识47.7 Hz故障特征谱线及其倍频，进一步验证了所提方法的有效性和优势。实验中理论特征频率αfault=46.8 Hz，假设轴承滑动为2%，特征频率容差fdelta设置为0.94 Hz;积分频带宽度fb设为转频9.8 Hz。
本文分别采用仿真信号、西储大学部分数据和实验数据为分析对象，对比FK算法（图5，13和22）、原IESFOgram算法（图7，15和24）和改进IESFOgram算法（图9，17和26），验证了改进IESFOgram算法通过设置频率容差fdelta对原IESFOgram算法改进的有效性，消除了滚动轴承随机滑动对原IESFOgram算法选取优化解调频带的干扰，提高IESFOgram算法的鲁棒性，实现滚动轴承故障特征的有效提取。
5 结 论
本文考虑滚动轴承随机滑动对IESFOgram算法获取解调频带参数的干扰，提出了一种设置特征频率容差对IESFOgram的改进算法，以提高IESFOgram算法的鲁棒性。通过选择优化解调频带并进行包络分析，实现滚动轴承故障特征的有效提取。以仿真数据、西储大学数据和实验数据验证了论文所作改进的优势。
参考文献：
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Guo Yu， Zheng Huawen， Gao Yan， et al. Envelope analysis of rolling bearing based on spectral kurtosis[J]. Vibration， Test and Diagnosis， 2011， 31（4）： 517-521.
[2] Antoni J. Fast computation of the kurtogram for the detection of transient faults[J]. Mechanical Systems Signal Processing， 2007， 21（1）：108-124.
[3] 代士超， 郭 瑜， 伍 星，等. 基于子频带谱峭度平均的快速谱峭度图算法改进[J]. 振动与冲击， 2015， 34（7）：98-102.
Dai Shichao， Guo Yu， Wu Xing， et al. Improvement of fast spectral kurtosis map algorithm based on sub-band spectral kurtosis average[J]. Journal of Vibration and Shock， 2015， 34 （7）： 98-102.
[4] Randall R B， Antoni J， Chobsaard S. The relationship between spectral correlation and envelope analysis in the diagnostics of bearing faults and other cyclostationary machine signals[J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2001， 15（5）：945-962.
[5] Antoni J， Xin G， Hamzaoui N. Fast computation of the spectral correlation[J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2017， 92：248-277.
[6] Mauricio A， Randall R B， Smith W， et al. Vibration based condition monitoring of planetary gearboxes operating under speed varying operating conditions based on cyclo-non-stationary analysis[C].International Conference on Rotor Dynamics，Springer， Cham， 2018： 265-279.
[7] Randall R B， Antoni J. Rolling element bearing diagnostics?a tutorial[J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2011， 25（2）：485-520.
关键词： 故障诊断; 滚动轴承; 快速谱峭度; 循环平稳; 特征包络谱
引 言
滚动轴承是旋转机械中最容易损坏的基础部件之一。当滚动轴承发生故障时，由于受到刚度非线性、摩擦力和外载荷等因素的影响，其振动信号往往表现出非平稳特征，如何从非平稳信号中提取故障特征信息，在滚动轴承故障诊断中显得尤为重要。
包络分析是轴承故障诊断中广泛应用的有效方法之一，其可从复杂信号中提取故障调制信息，抑制干扰成分，并准确判断故障部位和类型[1]。如何获取合适的解调频带一直是研究的热点之一，Antoni提出基于谱峭度自适应获取解调频带的快速谱峭度（Fast Kurtogram，FK）算法[2]，该算法近十年来得到广泛研究和应用。然而，在信噪比非常低或存在较强非高斯噪声的工况下，FK算法确定的解调频带可能无法有效揭示故障特征[3]。
近20年来，循环平稳分析技术得到迅速发展，并应用于滚动轴承故障特征提取[4]，例如：Antoni等研究了基于循环谱相关分析（Cyclic Spectral Correlation， CSC）[5]的滚动轴承故障特征提取方法。但该方法无法自适应获取包含故障特征最丰富的解调频带（通常取全频带平均值）。在干扰较大场合可能导致轴承故障特征提取失败。为解决CSC算法无法自适应选择故障特征最丰富解调频带的问题，Mauricio等提出了抗干扰能力强的特征优化图改进包络谱（Improved Envelope Spectrum via Feature Optimization?gram， IESFOgram）算法[6]，在轴承故障诊断中得到较好验证。本文在研究该算法及其在滚动轴承故障特征提取方面的应用中发现，IESFOgram算法中未考虑滚动轴承运行时滚動体与滚道间存在1%?2%随机滑动的影响[7]，可能导致该算法确定的解调频带依然不能清晰揭示故障特征。
为解决上述问题，本文在考虑轴承随机滑动的基础上提出了一种IESFOgram的滚动轴承故障特征提取的改进算法，以提高IESFOgram算法确定优化解调频带的鲁棒性。以仿真数据、西储大学部分轴承数据和实验数据为对象，将所提方法与FK和原IESFOgram算法对比分析，验证了所提方法的优势。
1 IESFOgram算法
根据统计特征函数周期性的不同，信号可分为一阶、二阶和高阶循环平稳信号。在齿轮箱中齿轮、轴等振动信号具有严格的周期性，属于一阶循环平稳信号。滚动轴承运行时具有随机滑动特性[2]，其信号属于二阶循环平稳信号。此外，背景噪声没有明显的周期性，属于高阶循环平稳信号。对于二阶循环平稳信号x（t），CSC的计算式可表示为[6]
为有效确定包含故障特征信息最丰富的优化解调频带，IESFOgram算法引入1/3?二叉树理论构建多级频带组，实现奈奎斯特频带的合理划分[2]，每个频带组包括子频带个数为2L，其中等级L=0，1，1.6，…，N-1，各级子频带的频带宽度为2-L-1f，中心频率fc=2-L-2?i?f，其中i=0，1，…，2L-1。为有效评价各子频带中故障信息的丰富程度，IESFOgram算法以子频带中包含轴承故障特征频率各阶次谐波频率k?αfault与边带积分比值之和作为评价指标，通常情况下，滚动轴承各部件故障理论特征频率αfault可通过转速和轴承参数确定，通过选择积分值DF最大时所对应的解调频带，即数值越大对应频带的信噪比越高，获取故障特征最丰富的优化解调频带。
IESFOgram算法对滚动轴承故障特征提取的主要步骤为：
1）采用式（1）提取滚动轴承故障振动分量，并应用式（2）削弱背景噪声分布不均匀对解调频带积分的影响[6]。
2）基于1/3?二叉树频带划分结构沿着频率轴f划分频带，获取各子频带的频带上下限F1和F2，其取值分别为i?2-L-1和 （i+1）?2-L-1，计算各子频带中IES，获得循环频率α的一维谱函数。
3）计算各子频带中故障特征频率各阶次谐波频率k?αfault与边带积分比值之和，计算如下[6]
4）选取DF最大时所对应的解调频带，获得中心频率fc和子频带频带宽度bw。
IESFOgram算法在滚动轴承故障特征提取上具有以下优势：
1） 通过选择包含故障信息最丰富的解调频带，可有效抑制背景噪声和其他干扰成分对轴承故障特征提取的干扰，以提高轴承故障信号的信噪比;
2） 对于FK算法而言，较强的背景噪声和齿轮啮合冲击等振动分量对优化解调频带选取具有较大干扰，导致获取的解调频带往往无法有效识别故障特征谱线。IESFOgram算法基于不同振动分量间循环周期特性不同，采用CSC提取具有二阶循环特性的轴承故障振动分量，可有效抑制背景噪声与齿轮啮合冲击等振动分量对轴承故障特征提取的干扰。
2 IESFOgram的改进
2.1 IESFOgram算法的不足
IESFOgram算法旨在选择各谐波阶次理论故障特征频率与边带积分比值之和最大时所对应的解调频带。然而，IESFOgram算法未考虑轴承随机滑动对式（4）积分值的影响，当滚动轴承特征频率理论值与实际值存在差异时，IESFOgram算法确定优化解调频带往往无法有效揭示滚动轴承故障特征谱线，导致轴承故障特征提取失败。 为清晰展示滚动轴承随机滑动对式（4）积分的影响，图1绘制了不同解调频带对应的第k阶谐波幅值谱线。如图1（a）和（c）所示，当滚动轴承故障特征频率理论值与实际值相同时，应用原IESFOgram对图1（a）和（c）分别积分可知，该算法可确定信噪比最高时所对应的解调频带。然而，当滚动轴承具有随机滑动时所对应的故障特征谱线分布如图1中（b）和（d）所示，即理论特征频率与实际特征频率存在差异，采用原IESFOgram分别对图1（b）和（d）积分可知，原IESFOgram算法无法获取信噪比最高时所对应的解调频带。本文通过设置如图1（b）和（d）所示的频率容差fdelta对特征频率可能出现频率范围进行积分，可有效抑制轴承故障频率理论与实际值之间的差异对积分值DF的影响。
2.2 考虑轴承滑动的IESFOgram算法
为消除理论与实际特征频率差异对IESFOgram算法选取优化解调频带的干扰，本文基于文献[7]提出的滚动轴承运行时存在1%?2%的随机滑动特性，提出设置特征频率容差fdelta对IESFOgram算法改进，以提高IESFOgram在工程应用中的鲁棒性，计算式如下
值得指出的是，式（6）表示信号在特定频带范围内的能量比，其可用于描述信号的信噪比，选择包含故障信息最丰富的解调频带。与式（4）相比，式（6）中两个积分操作旨在考虑滚动轴承随机滑动对DF值的影响，消除滚动轴承理论与实际特征频率差异导致IESFOgram算法失效的缺点。
改进IESFOgram算法需设置三个关键参数，分别是理论特征频率αfault、积分频带宽度fb和特征频率容差fdelta。其中，滚动轴承各部件故障理论特征频率αfault可通过转速和轴承参数确定。积分频带宽度fb取决于故障特征频率是否有调制，若有频率调制，fb小于1倍调制频率，若没有频率调制，fb可取1?2倍转频。此外，滚动轴承运行时存在1%?2%的随机滑动，为有效包含实际特征频率，fdelta可设置为0.02αfault。
3 基于改进IESFOgram的轴承故障特征提取
为实现滚动轴承故障特征有效提取，本文提出一种基于改进IESFOgram的滚动轴承故障特征提取方法，其技术路线如图2所示。步骤包括：a. 使用CSCoh提取与轴承故障相关的振动分量;b. 基于1/3?二叉树频带划分结构沿频率f划分频带;c. 基于改进式（6）计算各子频带的DF值;d. 选择DF值最大时对应的解调频带;e. 对所优选的解调频带包络分析，实现轴承故障特征提取。
值得指出的是，基于式（6）改进的IESFOgram算法对滚动轴承故障特征提取具有以下优势：（a） 通過对原IESFOgram算法改进，有效抑制轴承随机滑动对选取解调频带的干扰，提高原IESFOgram算法的鲁棒性;（b） 所提方法可选择出包含轴承故障信息最丰富的解调频带，实现滚动轴承故障特征的有效提取。
4 实验验证
4.1 仿真分析
4.1.1 数据说明
仿真实验设定采样频率fs=51.2 kHz，轴承故障特征频率αfault=100 Hz，固有频率fn=2 kHz，调制频率fA=10 Hz，故障周期T的微小波动Δt的标准差σ=0.01T。
4.1.2 特征提取
由以上参数仿真得到的时域波形如图3所示。
首先采用FK算法对仿真数据进行分析，所优选的解调频带如图4所示（fc： 1066 Hz， bw： 2133 Hz），对应的包络分析结果如图5所示，图中背景噪声谱线占优，轴承故障特征谱线识别较为困难。
其次，采用原IESFOgram获得的解调频带（fc： 25300 Hz， bw： 500 Hz）如图6所示，对应的包络分析结果如图7所示，可见轴承故障特征谱线基本淹没于其他干扰谱线，故障特征无法有效提取。
最后采用本文所提方法对信号进行分析，所获得的解调频带（fc： 1700 Hz， bw： 500 Hz）如图8所示，对应的包络分析结果如图9所示，图中可清晰辨识99.98 Hz故障特征谱线及其倍频（198.2 Hz和297.1 Hz），验证了本文所提方法的有效性。仿真信号中理论特征频率αfault =100 Hz，根据滚动轴承1%?2%滑动特性，本实验假设最大滑动为2%，特征频率容差fdelta为2 Hz;此外，仿真信号频率调制fA=10 Hz，设置积分频带宽度fb=10 Hz。
4.2 西储大学数据分析
4.2.1 数据说明
为验证本文所提方法的有效性，本部分采用如图10所示的美国西储大学轴承测试试验台上驱动端轴承测试数据（数据文件名为OR021@6_2）。为模拟滚动轴承外圈故障，在轴承外圈上用线切割方法加工一宽度约为0.53 mm，深度约为0.28 mm的小槽，故障轴承型号为SKF6205深沟球轴承，滚子直径d=7.94 mm，节圆直径D=39.04 mm，滚子数目n=9，接触角β=0。该实验驱动电机输入转速为1750 r/min，采样频率为48 kHz，其轴承外圈理论特征频率αfault计算如下
4.2.2 特征提取
信号时域波形如图11所示，首先使用FK算法对信号进行分析，所获得的解调频带（fc： 9750 Hz， bw： 1500 Hz）如图12所示，对应的包络分析结果如图13所示，图中与轴承故障相关谱线并不占优，其他谱线干扰其谱线的辨识。
其次采用原IESFOgram选择优化解调频带（fc： 10312 Hz， bw： 328 Hz）如图14所示，对应的包络分析结果如图15所示。图中轴承故障特征谱线基本淹没于背景噪声，无法有效识别轴承故障谱线。
最后采用本文所提方法进行分析，所选择的解调频带（fc： 19687 Hz， bw： 328 Hz）如图16所示，对应的包络分析结果如图17所示。图中频率为104.6 Hz特征谱线可清晰辨识（理论特征频率为104.3 Hz，两者误差为0.19%），验证了理论与实际特征频率差异可能误导DF指标（公式（4））解调频带的选择，导致原IESFOgram算法失效。实验中理论特征频率αfault=104.3 Hz，根据轴承1%?2%滑动特性，假设轴承滑动为2%，特征频率容差fdelta设置为2.1 Hz，轴承外圈没有调制频率，积分频带宽度fb设为转频29.17 Hz。 4.3 轴承数据分析
4.3.1 数据说明
为进一步验证本文所提方法的有效性，研究中以图18所示的QPZZ?Ⅱ型轴承测试平台进行验证。采用N205EM型号的圆柱滚子轴承为研究对象，为模拟轴承外圈故障，在滚动轴承外圈上用线切割方法加工一宽度约为1 mm，深度约为0.5 mm的小槽，如图19所示，滚子直径d=7.94 mm，节圆直径D=38.5 mm，滚子数目n=12，接触角β=0。该实验驱动电机输入转速为590 r/min，采样频率fs=25.6 kHz。由式（8）计算可知，轴承外圈故障理论特征频率αfault=46.8 Hz。
4.3.2 特征提取
采集轴承振动信号如图20所示。首先使用FK算法对该信号进行分析，获得解调频带（fc： 12533 Hz， bw： 533 Hz）如图21所示，对应的包络分析结果如图22所示，图中除故障特征谱线外，还存在较多较高干扰谱线，无法有效提取轴承故障特征。
随后采用原IESFOgram算法分析，获得的解调频带（fc： 4000 Hz， bw： 850 Hz）如图23所示，对应的包络分析结果如图24所示，图中故障特征谱线基本淹没于背景噪声，无法有效识别其故障特征谱线。
最后采用改进IESFOgram算法对数据进行分析，获得的解调频带（fc： 8750 Hz， bw： 300 Hz）如图25所示，进而对优选频带进行包络分析，如图26所示，图中可清晰辨识47.7 Hz故障特征谱线及其倍频，进一步验证了所提方法的有效性和优势。实验中理论特征频率αfault=46.8 Hz，假设轴承滑动为2%，特征频率容差fdelta设置为0.94 Hz;积分频带宽度fb设为转频9.8 Hz。
本文分别采用仿真信号、西储大学部分数据和实验数据为分析对象，对比FK算法（图5，13和22）、原IESFOgram算法（图7，15和24）和改进IESFOgram算法（图9，17和26），验证了改进IESFOgram算法通过设置频率容差fdelta对原IESFOgram算法改进的有效性，消除了滚动轴承随机滑动对原IESFOgram算法选取优化解调频带的干扰，提高IESFOgram算法的鲁棒性，实现滚动轴承故障特征的有效提取。
5 结 论
本文考虑滚动轴承随机滑动对IESFOgram算法获取解调频带参数的干扰，提出了一种设置特征频率容差对IESFOgram的改进算法，以提高IESFOgram算法的鲁棒性。通过选择优化解调频带并进行包络分析，实现滚动轴承故障特征的有效提取。以仿真数据、西储大学数据和实验数据验证了论文所作改进的优势。
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