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【摘要】 培养学生反思,是学好数学的关键所在,也是数学思维活动的核心与动力。反思不仅仅是回顾过去,更重要的是在反思中学习新知识,提高学习效率.本文主要从数学概念与定理的形成过程、知识间的内在联系、解题的全过程、课堂笔记与错题本四个方面引导学生反思,以提高学生的数学学习能力。
【关键词】 数学教学 反思性学习 思维能力 数学学习能力
【中图分类号】G424 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)06(a)-0055-01
在传统初中数学教学过程中,学生在中考的压力下只知道埋头做题,机械记忆,很少有时间去反思学习过程,缺乏自主探索、自我反思的机会,不利于学生反思能力的培养。新课标下初中数学对“反思”也给予了关注:人们在学习数学和运用数学解决问题时,不断地经历直观感知、反思与构建等思维过程,这些过程是数学思维能力的具体体现。
1 教学过程中培养学生反思性学习能力的必要性
在推进新课改的大潮中,我们的课堂教学改革可谓动足了脑筋、想足了办法,但我们往往偏重于对教学方法、教学模式的研究,使学生在大容量获取数学知识的同时,却忽视了对学生反思意识和能力的培养。甚至还有相当一部分学生在学习中对所学知识的拓展延伸,举一反三缺乏反思、对所求问题用生活经验来检验缺乏反思、对各个知识点的内在联系缺乏反思等,总之,数学反思是目前数学教学中最薄弱的环节之一。从以下几个案例我们可以清楚地看出学生数学反思学习的现状。
1.1 反思做题过程,重视解题思路的改变
学生的解题过程,发散性较差,思维过程比较单一,很难把系统知识进行统一,迁移,中考题目中其实有好多类似之处,只要善于总结,将知识进行筛选,提炼,举一反三,多题一解,将会达到事倍功半的效果。例1:例:如图1等腰Rt△ABC中,P是斜边BC的中点,以P为顶点的直角的两边分别与边AB,AC交于点E,F,连接EF。当∠EPF绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合),△PEF也始终是等腰直角三角形,请你说明理由。
1.2 反思错误,提高纠错能力
在数学学习中,学生对知识结构掌握不够完善、缺乏严谨的逻辑推理,在求解问题时“想当然”,导致出错。如“分类不清”是典型错误。
例2.如在学习利用平方差公式分解因式时,可造出下列问题:
这些错误的式子,让学生发现其错误问题,这样能使学生对平方差公式的特点有了较深的印象,从而培养了思维的深刻性。
1.3 反思变式,提高思维能力
解题的关键是从已知和未知中寻找解题途径,学生在做完一道题后的反思,不仅是简单回顾或检验,而应根据题目的基本特征与特殊因素,进行多角度、多方位的观察、联想。
例3.如图10,已知梯形ABCD的上底AD=1cm,下底BC长为4cm,对角线AC长4cm,BD长3cm,求梯形的面积。
初出示此题,就有学生提出要作梯形的高线,当然求梯形的面积确实需要“高”,于是过A作梯形的高AE,但这条高线的长度是多少呢？学生沉默了,于是又有同学提出来过D作梯形的高DF,就可通过列方程来解了,于是得出了一解。
解:分别过点A、点D作梯形的高AE、DF,设AE、DF为xcm,BE为ycm,
在RtΔAEC中由勾股定理得AE2+CE2=AC2,即x2+(4-y)2=42,
同理在RtΔDBF中得x2+(1+y)2=32,即:x2+(4-y)2=42①解得:x=12/5,
x2+(1+y)2=32②y=4/5,
∴高線AE=12/5,梯形ABCD的面积=1/2(1+4)×12/5=6(cm2)。
通过学生反思、讨论,于是有些学生发现了两条对角线的长度,与上、下底长度和的特殊关系,并结合图形提出可能AC⊥BD,同时经过学生分析、讨论,此时梯形将被分割成四个直角三角形,梯形的面积是两个都以AC为底的ΔADC与ΔABC的面积和,而它们的高的和就是BD,于是梯形的面积就是对角线积的一半。同时发现和菱形求面积方法一致。
2 创设学生反思的机会
如下图,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线分别交⊙O于D、BC于E,连结BD,
根据题目条件,找出图中每对相似三角形,并给出证明。
通过教师指导和学生思考,能得到以下三角形相似。
①△AEC～△BED
②△AEC～△ABD
③△BED～△ABD
将此题继续引伸供学生课外思考:如再连接DC呢？激发学生去思考,
不难发现④△ABE～△CDE;⑤△ACD～△CED;⑥△ABE～△ACD。
通过以上相似再引伸,在上述条件下你能证明下列结论吗？(Ⅰ)AB·AC=AE·AD;(Ⅱ)AE·DE=BE·CE ;(Ⅲ)AB·CD=AD·BE;(Ⅳ)AC·BE=AE·DC;(Ⅴ)AB·EC=AE·BD;(Ⅵ)2CD=AD·DE…
在此基础上又可引伸,你能证:AB·AC=2AE+AD·DE…显然此题通过上述引伸、完善,加强了学生课后反思的能力,深化了知识,锻炼了学生的创造思维,激发了其探究能力和数学学习的兴趣。
3 结论
反思,就是能够以自己及其行为为对象来进行审视和思考;反思,也是一种可贵的思维方式。
参考文献
[1] 周小山,严先元《农村教师专业发展导引武汉》华中师范大学出版社,2006.5.
[2] 郑君文,张思华著:《数学学习论》,广西,广西教育出版社, 1996年.
【关键词】 数学教学 反思性学习 思维能力 数学学习能力
【中图分类号】G424 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)06(a)-0055-01
在传统初中数学教学过程中,学生在中考的压力下只知道埋头做题,机械记忆,很少有时间去反思学习过程,缺乏自主探索、自我反思的机会,不利于学生反思能力的培养。新课标下初中数学对“反思”也给予了关注:人们在学习数学和运用数学解决问题时,不断地经历直观感知、反思与构建等思维过程,这些过程是数学思维能力的具体体现。
1 教学过程中培养学生反思性学习能力的必要性
在推进新课改的大潮中,我们的课堂教学改革可谓动足了脑筋、想足了办法,但我们往往偏重于对教学方法、教学模式的研究,使学生在大容量获取数学知识的同时,却忽视了对学生反思意识和能力的培养。甚至还有相当一部分学生在学习中对所学知识的拓展延伸,举一反三缺乏反思、对所求问题用生活经验来检验缺乏反思、对各个知识点的内在联系缺乏反思等,总之,数学反思是目前数学教学中最薄弱的环节之一。从以下几个案例我们可以清楚地看出学生数学反思学习的现状。
1.1 反思做题过程,重视解题思路的改变
学生的解题过程,发散性较差,思维过程比较单一,很难把系统知识进行统一,迁移,中考题目中其实有好多类似之处,只要善于总结,将知识进行筛选,提炼,举一反三,多题一解,将会达到事倍功半的效果。例1:例:如图1等腰Rt△ABC中,P是斜边BC的中点,以P为顶点的直角的两边分别与边AB,AC交于点E,F,连接EF。当∠EPF绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合),△PEF也始终是等腰直角三角形,请你说明理由。
1.2 反思错误,提高纠错能力
在数学学习中,学生对知识结构掌握不够完善、缺乏严谨的逻辑推理,在求解问题时“想当然”,导致出错。如“分类不清”是典型错误。
例2.如在学习利用平方差公式分解因式时,可造出下列问题:
这些错误的式子,让学生发现其错误问题,这样能使学生对平方差公式的特点有了较深的印象,从而培养了思维的深刻性。
1.3 反思变式,提高思维能力
解题的关键是从已知和未知中寻找解题途径,学生在做完一道题后的反思,不仅是简单回顾或检验,而应根据题目的基本特征与特殊因素,进行多角度、多方位的观察、联想。
例3.如图10,已知梯形ABCD的上底AD=1cm,下底BC长为4cm,对角线AC长4cm,BD长3cm,求梯形的面积。
初出示此题,就有学生提出要作梯形的高线,当然求梯形的面积确实需要“高”,于是过A作梯形的高AE,但这条高线的长度是多少呢？学生沉默了,于是又有同学提出来过D作梯形的高DF,就可通过列方程来解了,于是得出了一解。
解:分别过点A、点D作梯形的高AE、DF,设AE、DF为xcm,BE为ycm,
在RtΔAEC中由勾股定理得AE2+CE2=AC2,即x2+(4-y)2=42,
同理在RtΔDBF中得x2+(1+y)2=32,即:x2+(4-y)2=42①解得:x=12/5,
x2+(1+y)2=32②y=4/5,
∴高線AE=12/5,梯形ABCD的面积=1/2(1+4)×12/5=6(cm2)。
通过学生反思、讨论,于是有些学生发现了两条对角线的长度,与上、下底长度和的特殊关系,并结合图形提出可能AC⊥BD,同时经过学生分析、讨论,此时梯形将被分割成四个直角三角形,梯形的面积是两个都以AC为底的ΔADC与ΔABC的面积和,而它们的高的和就是BD,于是梯形的面积就是对角线积的一半。同时发现和菱形求面积方法一致。
2 创设学生反思的机会
如下图,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线分别交⊙O于D、BC于E,连结BD,
根据题目条件,找出图中每对相似三角形,并给出证明。
通过教师指导和学生思考,能得到以下三角形相似。
①△AEC～△BED
②△AEC～△ABD
③△BED～△ABD
将此题继续引伸供学生课外思考:如再连接DC呢？激发学生去思考,
不难发现④△ABE～△CDE;⑤△ACD～△CED;⑥△ABE～△ACD。
通过以上相似再引伸,在上述条件下你能证明下列结论吗？(Ⅰ)AB·AC=AE·AD;(Ⅱ)AE·DE=BE·CE ;(Ⅲ)AB·CD=AD·BE;(Ⅳ)AC·BE=AE·DC;(Ⅴ)AB·EC=AE·BD;(Ⅵ)2CD=AD·DE…
在此基础上又可引伸,你能证:AB·AC=2AE+AD·DE…显然此题通过上述引伸、完善,加强了学生课后反思的能力,深化了知识,锻炼了学生的创造思维,激发了其探究能力和数学学习的兴趣。
3 结论
反思,就是能够以自己及其行为为对象来进行审视和思考;反思,也是一种可贵的思维方式。
参考文献
[1] 周小山,严先元《农村教师专业发展导引武汉》华中师范大学出版社,2006.5.
[2] 郑君文,张思华著:《数学学习论》,广西,广西教育出版社, 1996年.