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数学教学中，动手操作无疑是最常用的一种方法。学生在经历亲身操作后，对所学知识有了比较深刻的印象，同时，也提高学生学习的兴趣。但是，动手操作作为教学的一种手段，用得好，事半功倍；用得不好，适得其反。因此，怎样在教学设计中，安排有效的操作，对于教师而言，就显得尤为重要。纵观小学阶段数学知识的结构，有许多内容在教学设计中，教师都会安排一定的动手操作，企图让学生在动手操作中，进一步感受知识的形成过程，或者更为深刻地认识到数学的本质。但是，在设计安排过程中，也出现了一些问题。下面以《三角形和四边形的认识》这一节课为例加以说明。
课堂实例
本节课的教学内容为《三角形和四边形的认识》。教材安排在二年级第二学期的几何小实验中进行教学。对于二年级的学生而言，图形并不陌生，在一年级的时候，学生已经学习了部分图形，但只是对几何形体进行外部的直观认识。到了二年级以后，对于几何的学习进入其内部的要素认识和性质研究。就《三角形和四边形认识》的教学而言，主要的教学任务是帮助学生认识图形构成的基本要素“边”和“角”，并从“边”和“角”的角度来判断认识图形。
从教材编排看，原本安排两节课分别进行认识多边形和三角形。通过课前测试的结果显示，学生对于多边形有一定的认识，基于这样的基础，我们尝试着把判断图形的这两个要素的教学进行整合，放在一节课内进行教学。
确定教学内容之后，前后进行了两次教学设计。第一次从新基础的理念出发，通过两次分类进行教学设计，从课堂效果来看，有利有弊。利的是学生对于这两部分的内容掌握得比较扎实；弊的是由于方法的单一，显得整节课太理性，突显不出学习数学的乐趣，课堂气氛不够活跃。第一次执教之后，教师指出了不足，也提了一些改进的想法。所以在教学设计上进行了比较大的改革，在不失数学思想的同时，把课堂设计的轻松愉悦，让更多的孩子自主、自愿参与课堂的教学之中。
第二次设计，我们依旧从学生原有基础出发，设计一些动手操作环节，力图彰显几何教学有序、有趣的一面。开放导入中“把长方形的纸片剪去一个角，能得到哪些图形？”这样的问题描述改成了“把长方形的纸片直直地剪一刀，能得到哪些图形？（对折后再剪一刀）”修改之后，对剪的要求作了调整。“直直地剪一刀”排出了非直边的可能性。对剪的方法有一定的预设：对折后剪一刀开拓学生思维，丰富有效资源的生成。
明晰研究方向
核心过程推进中，第一次试教由于资源的不足，在进行分类时，学生没能有一个比较清晰的逻辑概念。不知从什么角度，进行分类。由于对于第一个提问的修改，使得学生有更多的空间，也产生了较多的资源。在教学过程中，充分利用丰富的资源，把四边形作为教学结构的部分，引导学生从边的数量对图形进行观察。当学生明晰研究角度之后，用所教方法，对其他多边形进行归纳，总结其含义。
对于研究图形的一个方向即对“边”的要素研究有一定的认识。在对于三角形的研究中，通过学生对角的认识，让其在三角形中判断角的情况，进行填表统计。通过填表后，对不同三角形中3个角的情况，进行分类，区别锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。在辨析中，突出能否在一个三角形中有2个直角、2个钝角，巩固学生对三角形的认识。
第一次试教的问题
第一次试教基于新基础的设计理念，进行两次分类。从学生对于知识的掌握情况而言，还是比较有效的。但也出现不少的问题。
一是步步为营，挤压学生思维的空间。在第一次设计中，我们紧扣新基础的理念，从比较理性的角度出发，设计了二次分类，试图让学生通过这二次理性的分类中，获取多边形的一般概念和三角形的不同分类。可以说，这样的设计是基于严谨的数学思考，充分显示出数学独特的思维方式。但是，从设计的各个环节来看，显得过于“步步为营”。就好比老师无形中为学生铺设了一条轨道，教师所要做的就是把学生的思维引入这一条事前铺好的道路上。这样的教学设计对于学生而言，思维的空间被挤压，导致的后果往往容易形成思维的定式。从课堂的表现来看，大部分学生在老师的引导下知道怎么做，却不知道为什么这么做。其次，对于研究图形的方法的认识，不够清晰，留于表面。二是过分理性，降低学生学习热情。由于设计的思考基于理性的分析，整节课给人的感觉就是理性有余，热情不足。其中，教学设计中的动手操作环节，本意是想让学生能够主动地参与学习，增加学习的兴趣。但是从课堂的教学效果来看，设计的不够开放，导致整个环节产生有效资源不足，没能引发学生自主的学习兴趣。其次，在进行二次分类时，对于学生而言，把分类的标准用比较简洁的数学语言进行表达是件相当困难的事情。许多学生能够进行分类，但对于分类的标准“无从下手”。对于二年级的孩子而言，这一要求确实在大部分人的能力之上，因此，在课堂上花了比较多的精力概括分类的标准，使整节课的学生参与度和热情度降低了。
第二次设计的改进
第二次设计中，笔者把新基础的理念作为理解教材的重要背景资料，抓住本节课的重点，在活动设计和知识探究中以学生已有的知识体系为基础，在内容和方法上进行调整，努力在彰显数学严谨的学科特征的同时，赋予数学概念课新的活力。
一是内容的整合符合学生认知能力。教材中四边形的认识作为单独的一课，置于三角形的认识之前进行教学，教材这样安排，是想让学生对多边形整个概念有一个整体认识之后，也就是对图形“边”的充分认识后，再根据图形“角”的特点，对多边形之一三角形的种类进行再研究。上课之前，我们对班级内学生进行了一次抽样调查，调查显示学生对于多边形已经有了一定的认识，主要表现在能够指出哪些图形是五边形、四边形或是六边形等。学生不清楚的主要是一些图形和四边形的关系，比如菱形、梯形和长方形等。此次调查中也涉及了对三角形按角分的认识，调查表明学生对于三角形的分类基本是空白。
基于这样的学前分析，笔者把这个两个内容进行有机整合。多边形的认识中，以四边形的认识为基础，通过对四边形的认识延伸至对多边形的整体认知，突出多边形的研究主要是以图形中“边”的这一要素进行的，并且强调“长方形、正方形是特殊的四边形”突出特殊与一般的关系。整合后的重点放在对三角形的认识。通过科学判断，进行填表，根据表格进行观察，得到三角形按“角”的特点，可分成三种不同的三角形。
二是有效的动手操作提高学习乐趣。在研究四边形时，主要是想让学生从图形“边”的这一要素进行研究，所以从学生已学的长方形和正方形入手，让学生进行动手操作，在动手操作的要求上做了一些调整“直直地剪一刀，你能得到哪些直边围成的图形”。这里“直直的剪一刀”就是排除了曲线图形的出现，使资源的出现为之后“以边的数量”进行分类作铺垫，让学生能够把关注点集中到“边”的数量，这也是为了突出研究的方向。
学生在研究三角形时，笔者设计了一个表格，让学生通过对三角形三个角特点的判断，进行填表。学生已经知道对于图形的研究可以从“边” 的情况入手，下面的研究，学生就会找寻新的研究方向，这时作为图形重要要素的“角”自然进入学生的视野。两次不同的操作，充分考虑了学生可动手操作性，让每个学生有事做，能做事。这样学生的参与度势必大大地提升，学习的兴趣被激发。
三是方法的科学指导突出数学本质。通过两次有效的操作后，学生能够自发的总结研究图形的方法，即从“边”和“角”两个要素入手。这种研究的方法和思路形成是本节课的关键所在。在判断角的过程中，首先让学生通过肉眼进行初判，这也是基于学生认识习惯进行的，再用三角尺进行验证，即突出肉眼判断的灵活性又体现科学的严谨性。特别是对于某些肉眼难以确定的角，凸现用尺验证的必要性。学生在这种方法的指导下，就能比较迅速而又准确的判定出每个三角形三个角的情况。作为教师，科学方法的指导是对学生渗透数学本质一个不容忽视的重要内容，数学课不是简单的解题做题，数学的思维才是我们最该传授给学生的。
结束语
动手操作环节在教学设计中一定是为教学内容本身而服务的。动手操作的有效性主要体现在学生通过这样的活动，在操作中提出问题，并在解决问题的过程中，通过动手，感悟知识本身的内涵。这节课中，学生动手活动的设计带有明显的目的，学生只有明白自己要做什么，才能想办法解决它。简单说，教学设计中的有效操作是以学生原有知识为起点，真正让学生投入活动中，感受数学本质，体验研究过程。
（作者单位：上海市闵行区实验小学）
课堂实例
本节课的教学内容为《三角形和四边形的认识》。教材安排在二年级第二学期的几何小实验中进行教学。对于二年级的学生而言，图形并不陌生，在一年级的时候，学生已经学习了部分图形，但只是对几何形体进行外部的直观认识。到了二年级以后，对于几何的学习进入其内部的要素认识和性质研究。就《三角形和四边形认识》的教学而言，主要的教学任务是帮助学生认识图形构成的基本要素“边”和“角”，并从“边”和“角”的角度来判断认识图形。
从教材编排看，原本安排两节课分别进行认识多边形和三角形。通过课前测试的结果显示，学生对于多边形有一定的认识，基于这样的基础，我们尝试着把判断图形的这两个要素的教学进行整合，放在一节课内进行教学。
确定教学内容之后，前后进行了两次教学设计。第一次从新基础的理念出发，通过两次分类进行教学设计，从课堂效果来看，有利有弊。利的是学生对于这两部分的内容掌握得比较扎实；弊的是由于方法的单一，显得整节课太理性，突显不出学习数学的乐趣，课堂气氛不够活跃。第一次执教之后，教师指出了不足，也提了一些改进的想法。所以在教学设计上进行了比较大的改革，在不失数学思想的同时，把课堂设计的轻松愉悦，让更多的孩子自主、自愿参与课堂的教学之中。
第二次设计，我们依旧从学生原有基础出发，设计一些动手操作环节，力图彰显几何教学有序、有趣的一面。开放导入中“把长方形的纸片剪去一个角，能得到哪些图形？”这样的问题描述改成了“把长方形的纸片直直地剪一刀，能得到哪些图形？（对折后再剪一刀）”修改之后，对剪的要求作了调整。“直直地剪一刀”排出了非直边的可能性。对剪的方法有一定的预设：对折后剪一刀开拓学生思维，丰富有效资源的生成。
明晰研究方向
核心过程推进中，第一次试教由于资源的不足，在进行分类时，学生没能有一个比较清晰的逻辑概念。不知从什么角度，进行分类。由于对于第一个提问的修改，使得学生有更多的空间，也产生了较多的资源。在教学过程中，充分利用丰富的资源，把四边形作为教学结构的部分，引导学生从边的数量对图形进行观察。当学生明晰研究角度之后，用所教方法，对其他多边形进行归纳，总结其含义。
对于研究图形的一个方向即对“边”的要素研究有一定的认识。在对于三角形的研究中，通过学生对角的认识，让其在三角形中判断角的情况，进行填表统计。通过填表后，对不同三角形中3个角的情况，进行分类，区别锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。在辨析中，突出能否在一个三角形中有2个直角、2个钝角，巩固学生对三角形的认识。
第一次试教的问题
第一次试教基于新基础的设计理念，进行两次分类。从学生对于知识的掌握情况而言，还是比较有效的。但也出现不少的问题。
一是步步为营，挤压学生思维的空间。在第一次设计中，我们紧扣新基础的理念，从比较理性的角度出发，设计了二次分类，试图让学生通过这二次理性的分类中，获取多边形的一般概念和三角形的不同分类。可以说，这样的设计是基于严谨的数学思考，充分显示出数学独特的思维方式。但是，从设计的各个环节来看，显得过于“步步为营”。就好比老师无形中为学生铺设了一条轨道，教师所要做的就是把学生的思维引入这一条事前铺好的道路上。这样的教学设计对于学生而言，思维的空间被挤压，导致的后果往往容易形成思维的定式。从课堂的表现来看，大部分学生在老师的引导下知道怎么做，却不知道为什么这么做。其次，对于研究图形的方法的认识，不够清晰，留于表面。二是过分理性，降低学生学习热情。由于设计的思考基于理性的分析，整节课给人的感觉就是理性有余，热情不足。其中，教学设计中的动手操作环节，本意是想让学生能够主动地参与学习，增加学习的兴趣。但是从课堂的教学效果来看，设计的不够开放，导致整个环节产生有效资源不足，没能引发学生自主的学习兴趣。其次，在进行二次分类时，对于学生而言，把分类的标准用比较简洁的数学语言进行表达是件相当困难的事情。许多学生能够进行分类，但对于分类的标准“无从下手”。对于二年级的孩子而言，这一要求确实在大部分人的能力之上，因此，在课堂上花了比较多的精力概括分类的标准，使整节课的学生参与度和热情度降低了。
第二次设计的改进
第二次设计中，笔者把新基础的理念作为理解教材的重要背景资料，抓住本节课的重点，在活动设计和知识探究中以学生已有的知识体系为基础，在内容和方法上进行调整，努力在彰显数学严谨的学科特征的同时，赋予数学概念课新的活力。
一是内容的整合符合学生认知能力。教材中四边形的认识作为单独的一课，置于三角形的认识之前进行教学，教材这样安排，是想让学生对多边形整个概念有一个整体认识之后，也就是对图形“边”的充分认识后，再根据图形“角”的特点，对多边形之一三角形的种类进行再研究。上课之前，我们对班级内学生进行了一次抽样调查，调查显示学生对于多边形已经有了一定的认识，主要表现在能够指出哪些图形是五边形、四边形或是六边形等。学生不清楚的主要是一些图形和四边形的关系，比如菱形、梯形和长方形等。此次调查中也涉及了对三角形按角分的认识，调查表明学生对于三角形的分类基本是空白。
基于这样的学前分析，笔者把这个两个内容进行有机整合。多边形的认识中，以四边形的认识为基础，通过对四边形的认识延伸至对多边形的整体认知，突出多边形的研究主要是以图形中“边”的这一要素进行的，并且强调“长方形、正方形是特殊的四边形”突出特殊与一般的关系。整合后的重点放在对三角形的认识。通过科学判断，进行填表，根据表格进行观察，得到三角形按“角”的特点，可分成三种不同的三角形。
二是有效的动手操作提高学习乐趣。在研究四边形时，主要是想让学生从图形“边”的这一要素进行研究，所以从学生已学的长方形和正方形入手，让学生进行动手操作，在动手操作的要求上做了一些调整“直直地剪一刀，你能得到哪些直边围成的图形”。这里“直直的剪一刀”就是排除了曲线图形的出现，使资源的出现为之后“以边的数量”进行分类作铺垫，让学生能够把关注点集中到“边”的数量，这也是为了突出研究的方向。
学生在研究三角形时，笔者设计了一个表格，让学生通过对三角形三个角特点的判断，进行填表。学生已经知道对于图形的研究可以从“边” 的情况入手，下面的研究，学生就会找寻新的研究方向，这时作为图形重要要素的“角”自然进入学生的视野。两次不同的操作，充分考虑了学生可动手操作性，让每个学生有事做，能做事。这样学生的参与度势必大大地提升，学习的兴趣被激发。
三是方法的科学指导突出数学本质。通过两次有效的操作后，学生能够自发的总结研究图形的方法，即从“边”和“角”两个要素入手。这种研究的方法和思路形成是本节课的关键所在。在判断角的过程中，首先让学生通过肉眼进行初判，这也是基于学生认识习惯进行的，再用三角尺进行验证，即突出肉眼判断的灵活性又体现科学的严谨性。特别是对于某些肉眼难以确定的角，凸现用尺验证的必要性。学生在这种方法的指导下，就能比较迅速而又准确的判定出每个三角形三个角的情况。作为教师，科学方法的指导是对学生渗透数学本质一个不容忽视的重要内容，数学课不是简单的解题做题，数学的思维才是我们最该传授给学生的。
结束语
动手操作环节在教学设计中一定是为教学内容本身而服务的。动手操作的有效性主要体现在学生通过这样的活动，在操作中提出问题，并在解决问题的过程中，通过动手，感悟知识本身的内涵。这节课中，学生动手活动的设计带有明显的目的，学生只有明白自己要做什么，才能想办法解决它。简单说，教学设计中的有效操作是以学生原有知识为起点，真正让学生投入活动中，感受数学本质，体验研究过程。
（作者单位：上海市闵行区实验小学）