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[摘 要]有效渗透数学思想方法有两条线，一条是明线，即数学知识的教学，一条是暗线，即数学思想方法的教学。数学思想方法是数学的精髓，是学生构建和完善认知结构的凭借，是知识转化为能力的桥梁，是培养学生良好的数学观念和创新思维的载体。教师必须重视渗透数学思想方法的教学。
[关键词]数学思想方法；植树问题；渗透；情境
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）32-0071-03
教学有两条线，一条是明线，一条是暗线。明线，即知识与技能的教学；暗线，即数学思想方法的教学。教学的目的就是让学生体验和感悟数学思想方法，从而向学生渗透數学思想方法。本文以“植树问题”为例，简要探讨数学思想方法的渗透。
【教材分析】
“植树问题”是人教版教材五年级上册“数学广角”的内容。教材将“植树问题”分为两端都栽、只栽一端、两端都不栽、环形等几种情况，本节课主要研究两端都栽的情况。教材以学生比较熟悉的植树活动为线索，让学生选用自己喜欢的方法来探究植树的棵数和间隔数之间的关系，经历猜想、试验、推理、验证等数学探索过程，渗透“数形结合”“一一对应”的数学思想，启发学生透过现象发现其中的规律，建立数学模型，帮助学生逐步积累数学活动经验，培养学生的应用能力和创新意识。同时，由规律回归生活，使学生在运用中体验模型思想，提高学生以数学思维分析实际问题的能力，培养学生形成有条理、有逻辑的思维习惯与表达能力，养成做事条理分明、严谨细致、严肃认真的个性品质。
【学情分析】
从学生的思维特点看，五年级学生仍以形象思维为主，但抽象思维能力已有了初步的发展，具备一定的分析综合、抽象概括、归纳梳理数学活动经验。
【教学目标】
1.通过动手操作，让学生发现间隔数与植树棵数之间的关系，并能够借助图形，找出规律。
2.通过小组合作、交流，培养学生从实际问题中发现规律、应用规律解决问题的能力，同时渗透数形结合、一一对应的数学思想方法，使学生的思维更具条理性与逻辑性。
3.通过实践活动激发学生热爱数学的情感，感受日常生活中处处有数学，体验学习成功的喜悦。
【教学重点】
1.引导学生在观察、操作和交流中探索两端都栽时，间隔数与植树棵数之间的规律，并能运用规律解决实际问题。
2.运用规律解决类似的实际问题。
【教学难点】
理解间隔数与棵数之间的关系，能运用关系模型解决抽象的植树问题。
【教学过程】
一、创设情境
师：第一次和同学们一起上课，谁愿意到前面来介绍一下自己？只要介绍名字和爱好就可以了。
（三位学生做了自我介绍）
师：这三位同学很勇敢，他们已经组成一支小分队了。瞧，他们的队伍前后相邻的两位同学之间——对！有一个空隙，或者说有间隔。请同学们观察一下，这支小分队有几个人、几个间隔？
（学生回答：3个人，2个间隔）
师：谁愿意加入这支队伍？
（有一位学生加入）
师：现在有几个人、几个间隔？
（学生回答：4个人，3个间隔）
师：如果老师加入这支队伍中呢？如果咱们全班同学组成这样的队伍，有几个人、几个间隔？
【设计意图：在植树问题教学中，“两端都植”是重点内容，而这一教学内容的关键落脚点在于教师要密切关注学生对“间隔”概念的理解，这是解决植树问题的基础和起点。教师从生活中创设熟悉的情境，让学生亲身体验与感悟理解间隔，初步渗透“数量与间隔”的一一对应思想，激发了学生的学习兴趣，为深入学习“植树问题”做好铺垫和准备。】
二、动手操作，初步感知
师：连日的雾霾给我们的生活带来了不便，为了净化空气、美化环境，学校准备请同学们设计植树方案。
（出示题目：在20米长的小路一边栽树，每隔5米栽1棵，要准备几棵树？）
（学生回答：4棵、5棵）
师：一名优秀的设计师会预设植树时可能出现的各种状况。到底要准备几棵树呢？用什么方法来验证？请大家用一条线段代表20米的小路，并用你认为最简洁的图案表示树，把你们设计的方案画一画。
（学生在作业纸上操作）
师：大部分同学都已经完成了，让我们一起欣赏几份设计方案吧！
（展示栽5棵树的方案）
师：根据他们的设计，一共需要5棵树。用一条线段表示小路，用小竖线表示树，把条件和问题呈现出来，这就是我们解决数学问题时常用的线段图，简洁明了。
（展示栽3棵树、4棵树的方案）
师：他们小组的设计原来并没有偷工减料，而是考虑了其他情况。为了表达方便，我们给这些方案分别起个名字吧，一定要名如其法。
（学生答：两端都栽、两端都不栽、一端栽一端不栽）
师：对于同一个要求，同学们竟然能设计出这么多不同的方案，真有创造力！看来你们都有成为设计师的潜质。今天我们就一起来研究两端都栽的植树问题，看这种方法里存在什么样的秘密！
三、合作探究，构建模型
师：只有4个间隔为什么栽5棵树呢？
生：1个间隔跟着1棵树，每棵树前都有1个间隔，有4个间隔就有4棵树。这时棵数和间隔是一一对应的，但有1棵树前面没有间隔，所以还要加上它，列式就是4 1=5。
师：通过分析线段图，我们用算式求出了两端都栽树时的棵数。如果将小路分别延长到25米、30米、35米，间隔长不变，棵数会随间隔数的变化而变化吗？
师：观察表格，你有什么发现？ ■
（生交流）
■
师：如果改变间隔长度，是否也存在这种规律呢？请大家小组合作，取出作业纸，根据两端都种的要求，设计一份植树方案。
（生交流、汇报）
师：通过汇报和验证，你能发现间隔长、间隔数、路全长之间的关系吗？请完成棵数与间隔数的表格（略），比一比谁的速度快。在两端都栽的情况下，8个间隔要栽几棵树？10个间隔栽几棵树？6棵树有几个间隔？10棵树有几个间隔？
【设计意图：数学模型是数学知识与数学应用之间的桥梁，通过观察和填写表格，引导学生发现植树问题中间隔数与棵数的关系，从而构建解题模型，使之深刻体会建模思想。】
四、开放练习，应用方法
师：在20米的小路上植树是个小工程，老师这里还有一个大工程，你们敢不敢挑战？在全长1000米的小路一边栽树，每隔10米栽1棵，两端都栽，一共需要多少棵树？你能列式解答吗？
（生列式计算）
师：这么个大工程，为什么同学们这么快就解决了呢？看来当我们遇到问题时，不妨从小方面入手，通过画图，找到规律，以此类推，就能迅速解决大问题。这就是我们研究问题时常用到的“以小见大”思想！
师：其实植树问题并不只与植树有关，生活中还有许多现象和植树问题类似。想一想，树可以换成什么？
（生举例：电线杆、桌椅……）
师：间隔的存在可以带给我们美的享受，也可以带给我们意想不到的震撼。例如我们生活中的队列问题、公交站牌问题、斑马线问题，它们在数学中被统称为“植树问题”。
师：你们掌握了今天的知识吗？能不能独立解决下面这些问题？
1.小路一旁有25棵柳树，每2棵柳树之间停1辆小汽车，一共停了（ ）辆小汽车。
2.在一条全长160米的街道一旁安装路灯（两端都安装），每隔8米安装1盏，一共要安装多少盏路灯？如果是两旁都装呢？
3.课间操排队时，每隔1米站1人，一列队伍有25人，那么这列队伍长多少米？
【设计意图：植树问题的模型是现实世界中一类相近事件的概括，它源于现实，又高于生活，在现实中有着重要的应用价值。由植树问题推广到与之相近的一些问题，可训练学生逆向思维的能力，培养学生把握数学知识的来龙去脉及举一反三的能力，使之形成有条理、有逻辑的思维习惯与表达能力，养成做事条理分明、严谨细致、严肃认真的个性品质。】
五、课堂小结，课外延伸
■
师：本节课我们学习了植树问题中两端都栽的情况，你有什么收获？知识重要，方法更重要。我们从生活中的植树问题入手，用“画、找、推”的方法构建解决问题的模型，并运用它去解决生活中的问题，这正是数学来源于生活并服务于我们的生活！其实植树问题里还有许多有趣的知识，如数学史上“有20棵树，若每行4棵，怎样种植，才能使行数更多？”的植树问题。古代的人们给出了两种方法（如图1、2）；20世纪时，人们利用电子技术找到了一种新的方法（如图3）。跨入21世纪，20棵树，每行4棵，你能想出新的方法吗？希望同学们能从小学好数学，掌握本领，勇攀科学高峰！
■
【设计意图：引入数学史上的植树问题，增强了植树问题的新颖性、丰富性、独特性、美观性，从而提高学生感受美、欣赏美、创造美的意识和能力。】
本节课蕴含的核心素养有：
1.模型思想
植树问题的模型是现实世界中一类相近事件的概括，它源于现实，又高于生活，在现实中有着广泛的应用。向学生渗透模型思想，可锻炼其推理、归纳、总结的能力，使之形成做事条理分明、严谨细致、严肃认真的个性品质。
2.一一对应思想
1个间隔跟着1棵树，每个间隔都跟着1棵树，有4个间隔就有4棵树。这时，树的数量和间隔是一一对应的，如果哪棵树前面没有间隔，就还要加上相应的数量。
3.渗透“以小见大”的数学思想方法
“授人以鱼不如授人以渔”，课程理念有个与时俱进的显著特点是对渗透数学思想方法的关注。在本课的教学过程中，要充分利用学生想检验大数目时遇到困难，如让学生开展观察、猜测、实验、推理与交流等活动，从而不失时机给学生渗透常用的数学思想方法，为后续的学习积累更丰富实用的思想经验。
4.数形结合思想
数形结合是数学解题中常用的思想方法，它能使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。在出示例题后，安排学生以小组为单位在一条线段上用小树的模型模拟植树的实践活动，将数与形有机结合，棵数和间隔数之间的关系便一目了然，问题自然迎刃而解。
总之，数学模型是数学知識与数学应用之间的桥梁，根据学生的年龄特征和实际认知水平，通过猜一猜、画一画、想一想的活动，让学生经历猜测、验证、归纳、推理的过程，从而向学生渗透解决问题的一般方法，同时使“一一对应”“化归”“数形结合”“模型思想”等数学思想方法真正内化到学生的认知结构中。
（责编 吴美玲）
[关键词]数学思想方法；植树问题；渗透；情境
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）32-0071-03
教学有两条线，一条是明线，一条是暗线。明线，即知识与技能的教学；暗线，即数学思想方法的教学。教学的目的就是让学生体验和感悟数学思想方法，从而向学生渗透數学思想方法。本文以“植树问题”为例，简要探讨数学思想方法的渗透。
【教材分析】
“植树问题”是人教版教材五年级上册“数学广角”的内容。教材将“植树问题”分为两端都栽、只栽一端、两端都不栽、环形等几种情况，本节课主要研究两端都栽的情况。教材以学生比较熟悉的植树活动为线索，让学生选用自己喜欢的方法来探究植树的棵数和间隔数之间的关系，经历猜想、试验、推理、验证等数学探索过程，渗透“数形结合”“一一对应”的数学思想，启发学生透过现象发现其中的规律，建立数学模型，帮助学生逐步积累数学活动经验，培养学生的应用能力和创新意识。同时，由规律回归生活，使学生在运用中体验模型思想，提高学生以数学思维分析实际问题的能力，培养学生形成有条理、有逻辑的思维习惯与表达能力，养成做事条理分明、严谨细致、严肃认真的个性品质。
【学情分析】
从学生的思维特点看，五年级学生仍以形象思维为主，但抽象思维能力已有了初步的发展，具备一定的分析综合、抽象概括、归纳梳理数学活动经验。
【教学目标】
1.通过动手操作，让学生发现间隔数与植树棵数之间的关系，并能够借助图形，找出规律。
2.通过小组合作、交流，培养学生从实际问题中发现规律、应用规律解决问题的能力，同时渗透数形结合、一一对应的数学思想方法，使学生的思维更具条理性与逻辑性。
3.通过实践活动激发学生热爱数学的情感，感受日常生活中处处有数学，体验学习成功的喜悦。
【教学重点】
1.引导学生在观察、操作和交流中探索两端都栽时，间隔数与植树棵数之间的规律，并能运用规律解决实际问题。
2.运用规律解决类似的实际问题。
【教学难点】
理解间隔数与棵数之间的关系，能运用关系模型解决抽象的植树问题。
【教学过程】
一、创设情境
师：第一次和同学们一起上课，谁愿意到前面来介绍一下自己？只要介绍名字和爱好就可以了。
（三位学生做了自我介绍）
师：这三位同学很勇敢，他们已经组成一支小分队了。瞧，他们的队伍前后相邻的两位同学之间——对！有一个空隙，或者说有间隔。请同学们观察一下，这支小分队有几个人、几个间隔？
（学生回答：3个人，2个间隔）
师：谁愿意加入这支队伍？
（有一位学生加入）
师：现在有几个人、几个间隔？
（学生回答：4个人，3个间隔）
师：如果老师加入这支队伍中呢？如果咱们全班同学组成这样的队伍，有几个人、几个间隔？
【设计意图：在植树问题教学中，“两端都植”是重点内容，而这一教学内容的关键落脚点在于教师要密切关注学生对“间隔”概念的理解，这是解决植树问题的基础和起点。教师从生活中创设熟悉的情境，让学生亲身体验与感悟理解间隔，初步渗透“数量与间隔”的一一对应思想，激发了学生的学习兴趣，为深入学习“植树问题”做好铺垫和准备。】
二、动手操作，初步感知
师：连日的雾霾给我们的生活带来了不便，为了净化空气、美化环境，学校准备请同学们设计植树方案。
（出示题目：在20米长的小路一边栽树，每隔5米栽1棵，要准备几棵树？）
（学生回答：4棵、5棵）
师：一名优秀的设计师会预设植树时可能出现的各种状况。到底要准备几棵树呢？用什么方法来验证？请大家用一条线段代表20米的小路，并用你认为最简洁的图案表示树，把你们设计的方案画一画。
（学生在作业纸上操作）
师：大部分同学都已经完成了，让我们一起欣赏几份设计方案吧！
（展示栽5棵树的方案）
师：根据他们的设计，一共需要5棵树。用一条线段表示小路，用小竖线表示树，把条件和问题呈现出来，这就是我们解决数学问题时常用的线段图，简洁明了。
（展示栽3棵树、4棵树的方案）
师：他们小组的设计原来并没有偷工减料，而是考虑了其他情况。为了表达方便，我们给这些方案分别起个名字吧，一定要名如其法。
（学生答：两端都栽、两端都不栽、一端栽一端不栽）
师：对于同一个要求，同学们竟然能设计出这么多不同的方案，真有创造力！看来你们都有成为设计师的潜质。今天我们就一起来研究两端都栽的植树问题，看这种方法里存在什么样的秘密！
三、合作探究，构建模型
师：只有4个间隔为什么栽5棵树呢？
生：1个间隔跟着1棵树，每棵树前都有1个间隔，有4个间隔就有4棵树。这时棵数和间隔是一一对应的，但有1棵树前面没有间隔，所以还要加上它，列式就是4 1=5。
师：通过分析线段图，我们用算式求出了两端都栽树时的棵数。如果将小路分别延长到25米、30米、35米，间隔长不变，棵数会随间隔数的变化而变化吗？
师：观察表格，你有什么发现？ ■
（生交流）
■
师：如果改变间隔长度，是否也存在这种规律呢？请大家小组合作，取出作业纸，根据两端都种的要求，设计一份植树方案。
（生交流、汇报）
师：通过汇报和验证，你能发现间隔长、间隔数、路全长之间的关系吗？请完成棵数与间隔数的表格（略），比一比谁的速度快。在两端都栽的情况下，8个间隔要栽几棵树？10个间隔栽几棵树？6棵树有几个间隔？10棵树有几个间隔？
【设计意图：数学模型是数学知识与数学应用之间的桥梁，通过观察和填写表格，引导学生发现植树问题中间隔数与棵数的关系，从而构建解题模型，使之深刻体会建模思想。】
四、开放练习，应用方法
师：在20米的小路上植树是个小工程，老师这里还有一个大工程，你们敢不敢挑战？在全长1000米的小路一边栽树，每隔10米栽1棵，两端都栽，一共需要多少棵树？你能列式解答吗？
（生列式计算）
师：这么个大工程，为什么同学们这么快就解决了呢？看来当我们遇到问题时，不妨从小方面入手，通过画图，找到规律，以此类推，就能迅速解决大问题。这就是我们研究问题时常用到的“以小见大”思想！
师：其实植树问题并不只与植树有关，生活中还有许多现象和植树问题类似。想一想，树可以换成什么？
（生举例：电线杆、桌椅……）
师：间隔的存在可以带给我们美的享受，也可以带给我们意想不到的震撼。例如我们生活中的队列问题、公交站牌问题、斑马线问题，它们在数学中被统称为“植树问题”。
师：你们掌握了今天的知识吗？能不能独立解决下面这些问题？
1.小路一旁有25棵柳树，每2棵柳树之间停1辆小汽车，一共停了（ ）辆小汽车。
2.在一条全长160米的街道一旁安装路灯（两端都安装），每隔8米安装1盏，一共要安装多少盏路灯？如果是两旁都装呢？
3.课间操排队时，每隔1米站1人，一列队伍有25人，那么这列队伍长多少米？
【设计意图：植树问题的模型是现实世界中一类相近事件的概括，它源于现实，又高于生活，在现实中有着重要的应用价值。由植树问题推广到与之相近的一些问题，可训练学生逆向思维的能力，培养学生把握数学知识的来龙去脉及举一反三的能力，使之形成有条理、有逻辑的思维习惯与表达能力，养成做事条理分明、严谨细致、严肃认真的个性品质。】
五、课堂小结，课外延伸
■
师：本节课我们学习了植树问题中两端都栽的情况，你有什么收获？知识重要，方法更重要。我们从生活中的植树问题入手，用“画、找、推”的方法构建解决问题的模型，并运用它去解决生活中的问题，这正是数学来源于生活并服务于我们的生活！其实植树问题里还有许多有趣的知识，如数学史上“有20棵树，若每行4棵，怎样种植，才能使行数更多？”的植树问题。古代的人们给出了两种方法（如图1、2）；20世纪时，人们利用电子技术找到了一种新的方法（如图3）。跨入21世纪，20棵树，每行4棵，你能想出新的方法吗？希望同学们能从小学好数学，掌握本领，勇攀科学高峰！
■
【设计意图：引入数学史上的植树问题，增强了植树问题的新颖性、丰富性、独特性、美观性，从而提高学生感受美、欣赏美、创造美的意识和能力。】
本节课蕴含的核心素养有：
1.模型思想
植树问题的模型是现实世界中一类相近事件的概括，它源于现实，又高于生活，在现实中有着广泛的应用。向学生渗透模型思想，可锻炼其推理、归纳、总结的能力，使之形成做事条理分明、严谨细致、严肃认真的个性品质。
2.一一对应思想
1个间隔跟着1棵树，每个间隔都跟着1棵树，有4个间隔就有4棵树。这时，树的数量和间隔是一一对应的，如果哪棵树前面没有间隔，就还要加上相应的数量。
3.渗透“以小见大”的数学思想方法
“授人以鱼不如授人以渔”，课程理念有个与时俱进的显著特点是对渗透数学思想方法的关注。在本课的教学过程中，要充分利用学生想检验大数目时遇到困难，如让学生开展观察、猜测、实验、推理与交流等活动，从而不失时机给学生渗透常用的数学思想方法，为后续的学习积累更丰富实用的思想经验。
4.数形结合思想
数形结合是数学解题中常用的思想方法，它能使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。在出示例题后，安排学生以小组为单位在一条线段上用小树的模型模拟植树的实践活动，将数与形有机结合，棵数和间隔数之间的关系便一目了然，问题自然迎刃而解。
总之，数学模型是数学知識与数学应用之间的桥梁，根据学生的年龄特征和实际认知水平，通过猜一猜、画一画、想一想的活动，让学生经历猜测、验证、归纳、推理的过程，从而向学生渗透解决问题的一般方法，同时使“一一对应”“化归”“数形结合”“模型思想”等数学思想方法真正内化到学生的认知结构中。
（责编 吴美玲）