论文部分内容阅读
0. 引言
数学教育家李玉琪在《数学教育概论》一书中写道:“如果说问题是数学的‘心脏’,方法是数学的‘行为规则’,知识是数学的‘躯体’,那么数学思想无疑是数学的‘灵魂’”. 在实际的教学过程中,在应试教育的压力下,很多教学都是急功近利的以题海战术､车轮战术､疲劳战术,催升学生的分数. 同时,也扼杀了对学生数学思想､数学能力的培养. 这应该不是作为传道授业解惑者所乐见的. 正是,鉴于这样的想法,谈一谈数列教学背景下的数学思想.
1. 数学思想
1.1数学思想的概念
数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中,经过思维活动而产生的结果. 它是对数学事实与数学理论的本质认识. 数学思想是人们对数学知识和数学方法的本质认识,是数学知识与数学方法的高度抽象与概括.对数学规律的理性认识范畴,从哲学的高度看,数学思想方法本质上是辩证法在数学科学中的体现,是思维方法与实践方法的概括,属于哲学思维方法的范畴.
中学的数学思想主要有严谨完整的函数思想､分类讨论思想､对应思想､坐标法思想､数的扩充思想､恒等变形思想､形数转换思想､极限思想等.
1.2数学思想､数学观点､数学方法之间的关系
数学思想､数学观点､数学方法三者密不可分. 如果人们站在某个位置,从某个角度并运用数学去观察和思考问题,那么数学思想也就成了一种观点. 而对于数学方法来说,思想是其相应的方法的精神实质和理论基础,方法则是实施有关思想的技术手段. 数学思想方法可以概括为三个方面:符号化与变换思想,集合与对应思想及公理化与结构思想,三者构成数学思想方法的最高层次.
2. 数列教学的特点
数列是高中数学教学的重要内容,是进行计算､推理等基本训练以及综合训练的重要题材,也是学习高等数学的基础. 它是高中数学各章中最富综合性的章节之一,处于数学知识､数学方法和数学思想的交会点,起着承前启后的作用. 纵观数列一章的整体内容,不难发现思维是支柱,运算是主体,应用是归宿.
2.1 数列的地位作用
(1) 数列有着广泛的实际应用,如储蓄､分期付款的有关计算要用到数列的一些知识.
(2) 数列起着承前启后的重要作用. 一方面,中学数学的许多内容在解决数列的某些问题中得到了充分运用,数列与前面学习的函数等知识有着密切的联系;另一方面,学习数列又为进一步学习数列的极限等内容作好了准备.
(3) 数列是培养学生数学能力的良好题材,要经常观察､分析､归纳､猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题,这些都有助于数学能力的提高.
从以上几点可以看出,数列教学在中学数学教学中的重要地位.
2.2数列的重点与难点
数列一章的重点是数列的概念,等差数列､等比数列的通项公式与前n项和公式. 难点是等差数列､等比数列的前n项和公式的推导以及公式的综合运用.
突破上述两个难点的关键是:
(1) 对于公式的推导要讲清思路和方法;
(2) 对于公式的综合运用要注意结合具体例子加以讲解,对于例题､作业题的选用要注意典型性､新颖性､针对性及适度性原则;
(3) 加强教学过程中对学生思维能力的培养和锻炼.
3. 数学思想在数列教学中的应用实例
培养学生的思维能力是高中数学教学的目的之一. 在数学教学中应以启发学生积极思维为核心,不仅要教给学生知识,还要教会学生如何思维,这对培养学生学习能力尤为重要. 古语有云“授人以鱼,不如授人以渔”,如是然者也. 为了让大家能够清晰地理解笔者所强调的数学思想应用,现在就教学过程中的几个实例,谈一谈几种重要的数学思想.
3.1严谨完整的思想
数学是一门十分严谨的学科门类. 它可以培养学生思维的严谨性和完整性. 但是,很多学生由于缺乏独立的思维能力,在解题过程中就会体现出种种问题. 下面举一例加以说明.
例 设{an}为等比数列,a1 = 8,q = ■,则a6与a8的等比中项是 ( ).
A. ■B. ±■C. ■ D. ±■
分析 当观察a6 = 8 × ■5 ,a8 = 8 × ■7,学生很容易会误选A. 笔者在抽样中发现误选A的有48.5 %(16人选,全班共33人). 这是明显的“以偏概全,顾此失彼”的思维缺陷.
3.2函数的思想
从函数观点看,数列是定义域为正整数集N或它的有限子集{1, 2,…,n}的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值. 与函数的性质比较,数列具有单调性､周期性､有界性.
由于数列可以看成是定义在自然数集N或其子集{1,2,…,n}上的函数f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,从而运用函数的观点看待数列,借用函数的研究方法来研究数列的某些性质,就体现了特殊与一般的关系.
如等差数列前n项和公式可描述为Sn = ■n2+a1 - ■n,当d ≠ 0时,Sn 是n的二次函数,于是可以运用二次函数的观点和方法来认识“等差数列前n项的和”的有关问题. 例如,可以根据二次函数的图像了解的增､减变化及最值等问题;又如等比数列前n项和公式当q ≠ 1时Sn = ■ = -■qn + ■,即Sn = Aqn - A,可看成由一个指数式与一个常数的和构成,从而可以利用指数函数的有关性质来研究等比数列.
3.3分类讨论的思想
人们解决问题都是在一定的范围内进行的,这个范围就是问题的讨论域. 当在整个讨论域内讨论问题遇到困难时,往往把讨论域分成若干种情况一一解答. 由于划分后每次解决问题的范围小了,且各自情况都有各自的特性,因此解决划分的问题往往容易,这就是分类讨论的思想方法.
例 设n∈Z,求f(x) = |n - 1| + |n - 2| + … + |n - 100|的最小值.
分析 这里去绝对值是解决问题的关键,如果将整个数集分成若干个部分,在若干个部分上化去绝对值符号, f(n)便成为一个关于整数集上的分段函数. 然后求出该部分函数的最小值. 再在各个部分上的最小值中找出最小值,便为所求f(n)的最小值.
Ⅰ. 当n≥100时,且n∈Z时,求得f(n)min = 4950;
Ⅱ. 当n≤1时,且n∈Z时,求得f(n)min = 4950;
Ⅲ. 当1 综合以上Ⅰ､Ⅱ､Ⅲ三种情况,可知 f(n)min = 2500.
4. 结论
数学思想方法是指人们在研究数学过程中对其内容､方法､结构思维方式及其意义的基本看法和本质的认识. 数列问题普遍包含了中学常见的几种数学思想方法,本文就笔者在实际教学中的几点收获和大家一起分享,不足之处,敬请同行批评指正.
【参考文献】
[1] 顾冷沉.数学思想方法[M].北京:中央广播电视大学出版杜,2004.
[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验稿)[M].北京:北京人民教育出版社,2003.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
数学教育家李玉琪在《数学教育概论》一书中写道:“如果说问题是数学的‘心脏’,方法是数学的‘行为规则’,知识是数学的‘躯体’,那么数学思想无疑是数学的‘灵魂’”. 在实际的教学过程中,在应试教育的压力下,很多教学都是急功近利的以题海战术､车轮战术､疲劳战术,催升学生的分数. 同时,也扼杀了对学生数学思想､数学能力的培养. 这应该不是作为传道授业解惑者所乐见的. 正是,鉴于这样的想法,谈一谈数列教学背景下的数学思想.
1. 数学思想
1.1数学思想的概念
数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中,经过思维活动而产生的结果. 它是对数学事实与数学理论的本质认识. 数学思想是人们对数学知识和数学方法的本质认识,是数学知识与数学方法的高度抽象与概括.对数学规律的理性认识范畴,从哲学的高度看,数学思想方法本质上是辩证法在数学科学中的体现,是思维方法与实践方法的概括,属于哲学思维方法的范畴.
中学的数学思想主要有严谨完整的函数思想､分类讨论思想､对应思想､坐标法思想､数的扩充思想､恒等变形思想､形数转换思想､极限思想等.
1.2数学思想､数学观点､数学方法之间的关系
数学思想､数学观点､数学方法三者密不可分. 如果人们站在某个位置,从某个角度并运用数学去观察和思考问题,那么数学思想也就成了一种观点. 而对于数学方法来说,思想是其相应的方法的精神实质和理论基础,方法则是实施有关思想的技术手段. 数学思想方法可以概括为三个方面:符号化与变换思想,集合与对应思想及公理化与结构思想,三者构成数学思想方法的最高层次.
2. 数列教学的特点
数列是高中数学教学的重要内容,是进行计算､推理等基本训练以及综合训练的重要题材,也是学习高等数学的基础. 它是高中数学各章中最富综合性的章节之一,处于数学知识､数学方法和数学思想的交会点,起着承前启后的作用. 纵观数列一章的整体内容,不难发现思维是支柱,运算是主体,应用是归宿.
2.1 数列的地位作用
(1) 数列有着广泛的实际应用,如储蓄､分期付款的有关计算要用到数列的一些知识.
(2) 数列起着承前启后的重要作用. 一方面,中学数学的许多内容在解决数列的某些问题中得到了充分运用,数列与前面学习的函数等知识有着密切的联系;另一方面,学习数列又为进一步学习数列的极限等内容作好了准备.
(3) 数列是培养学生数学能力的良好题材,要经常观察､分析､归纳､猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题,这些都有助于数学能力的提高.
从以上几点可以看出,数列教学在中学数学教学中的重要地位.
2.2数列的重点与难点
数列一章的重点是数列的概念,等差数列､等比数列的通项公式与前n项和公式. 难点是等差数列､等比数列的前n项和公式的推导以及公式的综合运用.
突破上述两个难点的关键是:
(1) 对于公式的推导要讲清思路和方法;
(2) 对于公式的综合运用要注意结合具体例子加以讲解,对于例题､作业题的选用要注意典型性､新颖性､针对性及适度性原则;
(3) 加强教学过程中对学生思维能力的培养和锻炼.
3. 数学思想在数列教学中的应用实例
培养学生的思维能力是高中数学教学的目的之一. 在数学教学中应以启发学生积极思维为核心,不仅要教给学生知识,还要教会学生如何思维,这对培养学生学习能力尤为重要. 古语有云“授人以鱼,不如授人以渔”,如是然者也. 为了让大家能够清晰地理解笔者所强调的数学思想应用,现在就教学过程中的几个实例,谈一谈几种重要的数学思想.
3.1严谨完整的思想
数学是一门十分严谨的学科门类. 它可以培养学生思维的严谨性和完整性. 但是,很多学生由于缺乏独立的思维能力,在解题过程中就会体现出种种问题. 下面举一例加以说明.
例 设{an}为等比数列,a1 = 8,q = ■,则a6与a8的等比中项是 ( ).
A. ■B. ±■C. ■ D. ±■
分析 当观察a6 = 8 × ■5 ,a8 = 8 × ■7,学生很容易会误选A. 笔者在抽样中发现误选A的有48.5 %(16人选,全班共33人). 这是明显的“以偏概全,顾此失彼”的思维缺陷.
3.2函数的思想
从函数观点看,数列是定义域为正整数集N或它的有限子集{1, 2,…,n}的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值. 与函数的性质比较,数列具有单调性､周期性､有界性.
由于数列可以看成是定义在自然数集N或其子集{1,2,…,n}上的函数f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,从而运用函数的观点看待数列,借用函数的研究方法来研究数列的某些性质,就体现了特殊与一般的关系.
如等差数列前n项和公式可描述为Sn = ■n2+a1 - ■n,当d ≠ 0时,Sn 是n的二次函数,于是可以运用二次函数的观点和方法来认识“等差数列前n项的和”的有关问题. 例如,可以根据二次函数的图像了解的增､减变化及最值等问题;又如等比数列前n项和公式当q ≠ 1时Sn = ■ = -■qn + ■,即Sn = Aqn - A,可看成由一个指数式与一个常数的和构成,从而可以利用指数函数的有关性质来研究等比数列.
3.3分类讨论的思想
人们解决问题都是在一定的范围内进行的,这个范围就是问题的讨论域. 当在整个讨论域内讨论问题遇到困难时,往往把讨论域分成若干种情况一一解答. 由于划分后每次解决问题的范围小了,且各自情况都有各自的特性,因此解决划分的问题往往容易,这就是分类讨论的思想方法.
例 设n∈Z,求f(x) = |n - 1| + |n - 2| + … + |n - 100|的最小值.
分析 这里去绝对值是解决问题的关键,如果将整个数集分成若干个部分,在若干个部分上化去绝对值符号, f(n)便成为一个关于整数集上的分段函数. 然后求出该部分函数的最小值. 再在各个部分上的最小值中找出最小值,便为所求f(n)的最小值.
Ⅰ. 当n≥100时,且n∈Z时,求得f(n)min = 4950;
Ⅱ. 当n≤1时,且n∈Z时,求得f(n)min = 4950;
Ⅲ. 当1
4. 结论
数学思想方法是指人们在研究数学过程中对其内容､方法､结构思维方式及其意义的基本看法和本质的认识. 数列问题普遍包含了中学常见的几种数学思想方法,本文就笔者在实际教学中的几点收获和大家一起分享,不足之处,敬请同行批评指正.
【参考文献】
[1] 顾冷沉.数学思想方法[M].北京:中央广播电视大学出版杜,2004.
[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验稿)[M].北京:北京人民教育出版社,2003.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”