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2007年，牡丹江市升学考数学卷有这样一道中考题（以下简称考题）：
已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120o，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交DA、DC（或它们的延长线）于E、F。
当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF。
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。
这是一个典型的线段和差问题，这个问题可以通过图形的旋转变换的思路加以解决。这里不再赘述。以下我们着重探讨如何利用几何画板对这个问题的结果进行验证，并且对这个问题进行进一步的探究。
一、构图
我们首先利用几何画板构造图1。
1．启动几何画板，选取点工具，在画板上描出两个点C、D，并构造直线CD。
2．标记点D，将直线CD和点C旋转－60°，得到直线AD。
3．过点C构造CD的垂线，过点A构造AD的垂线，并构造两垂线的交点B。
4．隐藏直线BC和直线BA，并构造线段BC和线段BA。
5．在线段AB上构造一个点P，依次选取点B和点P，构造⊙B。
6．隐藏点P，在⊙B上构造一个点N，将点N移动到∠ABC的内部，构造直线BN，并构造直线BN和直线CD的交点F。
7．标记点B，将点N旋转60°得点M，构造直线BM，并构造直线BM和AD的交点E。隐藏M和⊙B，移动点N，使直线BE∥CD。（如图4）
由于这个问题的解决思路是图形的旋转变换，为了验证这个问题的结果，所以我们对图4进行进一步的构造。
8．选取点A、B、E，构造ΔABE的内部，显示颜色通过“其它”调整为白色。同法构造ΔBCF的内部，选择蓝色，然后调淡；构造ΔBEF的内部，选择红色。
9．标记∠ABC，将ΔABE的内部和点E旋转标记角，得ΔBCG的内部，选择蓝色，构造线段BG完成构图1。（如图5）
选取点N，单击“显示”菜单，单击“动画”，我们便可以看到∠EBF绕点B旋转，同时图5的形状也随之不断改变。如果∠EBF绕点B旋转的效果不够理想，可以在运动控制台上调节点N的运动速度。
观察动画的结果，当∠EBF绕点B旋转时，不管图5的形状如何变化，点F、C、G始终在同一条直线上，且ΔBFE≌ΔBFG，即EF=GF，所以线段AE、CF、EF始终保持着线段和差的关系。另外，在旋转过程中我们除了可以看到考题中出现的各种图形外，还看到了一种与之不同的图形。（如图6）
在图6中，E是∠NBM的边BM的反向延长线与∠ADC的边DA的交点，其他条件与考题相同，此时线段EA、FC、EF之间的关系是：AE+CF=EF。由此，我们得到：
推广1：如图7，已知：B是ΔDEF内部一点，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=∠EBF=120°，求证：AE+CF=EF。
另外，由于ΔBFE≌ΔBFG，所以∠BFE=∠BFG，所以，点B在∠DFE的角平分线上，又由于AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，所以，点B又在∠ADC的角平分线上，所以，点B是ΔABC的内心，于是可得：
推广2：如图7，已知：B是ΔDEF内部一点，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=∠EBF=120°，试判断EF与以B为圆心，AB为半径的圆的位置关系。
事实上，当∠EBF绕点B旋转时，容易发现，点E可以是边BM和边DA的交点，也可以是它们的反向延长线的交点，即直线BM和直线AD的交点，而F可以是直线BN和直线CD的交点，此时，线段AE、CF、EF总能维持线段和差的关系，只不过和差关系随∠EBF旋转而变化。因此，考题中的E、F两点可以设定为：当∠EBF绕点B旋转时，边BM（或反向延长线）与直线AD相交于点E，边BN（或反向延长线）与直线CD相交于点F。
二、联想
在考题中，条件∠ABC=120°，∠MBN=60°保证了∠MBN是∠ABC的一半的关系。那么，将条件∠ABC=120°，∠MBN=60°改为∠MBN是∠ABC的一半，其他条件不变，结果又将如何呢？
三、再构图
由考题中的条件AB⊥AD，BD⊥CD，AB=BC可知，点B在∠ADC的角平分线上，所以，我们可以利用角平分线进行构图。
1．新建画板，选取点工具，在画板上描出三点，点A1、C1、D1，并构造直线C1D1。
2．在直线C1D1上构造点D，并构造直线DA1。
3．构造∠A1DC1的角平分线，并在角平分线上构造一点B。
4．过点B构造C1D的垂线，并构造它们的交点C。同法构造点A。
5．隐藏角平分线、垂线和点A1、C1、D1，并构造线段BA、BC。
6．按构图中第5、6两个步骤构造点N、直线BN和点F。
7．标记∠CBD，标记点B，将点N旋转标记角得点M，构造直线BM，并构造直线BM与AD的交点E，然后构造线段EF。
8．隐藏点M，然后按构图中的第8、9两个步骤进行构图。
9．度量∠ADC，移动点D，使∠ADC=60°；移动点N，使直线BE∥CD，完成构图2。（如图5）
四、再探
在构图2中，将点D向左或向右偏移一小段，然后与构图1一样，选取点N作为动点，观察构图2的图形变化。发现与考题的情形完全相同，只是，这里的∠ABC≠120°，但∠MBN始终是∠ABC的一半。于是我们可得：
推广3：已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BD⊥CD，AB=BC，∠MBN是∠ABC的一半，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交DA、DC（或它们的延长线）于E、F。
当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF。
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。
五、再联想
在考题中，条件AB⊥AD，BD⊥CD保证了∠A与∠C互补。那么，将条件AB⊥AD，BD⊥CD也改为∠A与∠C互补，
结果又会怎样？
六、三构图
在构图前先看图8，当点B在∠ADC的角平分线上，且BA=BC时，容易证明∠BAG=∠BCH，即∠BAD与∠BCD互补。基于此，我们再一次重新构图。
1．同再构图中的第1、2、3三个步骤构造一个点B。
2．在直线C1D1上构造点C，依次选取点B、C，构造⊙B，并构造⊙B与直线A1D的交点A、A2，隐藏点A1、C1、D1。（如图9）
3．在⊙B上构造一个点K，构造直线BK，构造直线BK与⊙B的交点N，移动点K使点N落在∠ABC的内部，再构造直线BK和直线CD的交点F。
4．隐藏角平分线DB、⊙B和点A2，构造线段BC和AB。
5．构造∠CBA的平分线，并构造角平分线与直线CD的交点H。
6．标记∠CBH，标记点B，将点N旋转标记角得点M，构造直线BM，并构造直线BM和AD的交点E。
7．隐藏角平分线、点H、点N和点M，构造线段EF。
8．按构图中的第6、7两个步骤进行构图。
9．度量∠BCD和∠ADC，移动点D，使∠ADC约为60°，移动点C使∠BCD约为90°，移动点F，使直线BE∥CD，完成构图3。（如图10）
七、三探
在构图3中，将点C向左偏移（如图10）。将点K作为动点，观察构图3的图形变化，依次得到不同的图形（如图11~16）。以下图形隐藏了三角形的内部、线段BG和点G。
如果将点C再向左移（如图17），还能得到与图11~16不同的图形（如图18）。但无论图形如何变化，点F、C、G却还是在同一条直线上，而且ΔBFE和ΔBFG的全等关系也不变，可见线段AE、CF、EF还保持着线段和差的关系。通过对这些图形的分析探究，得出一个有趣的结果：以点A和点C为分界线，当点E和点F分别越过点A和点C时，线段AE、CF、EF的关系也随着发生变化，并出现三种不同的结果。
1．当点E和点F都在点D的同侧或都在点D的异侧时，线段AE、CF、EF的关系为：EA+FC=EF。
2．当点E与点D异侧，同时点F与点D同侧时，它们关系为：FC－AE=EF。
3．当点E与点D同侧，同时点F与点D异侧时，它们关系为：AE－FC=EF。
于是，我们可以将考题进一步推广。
推广4：已知四边形ABCD中，∠BAD与∠BCD互补，AB=BC，∠MBN是∠ABC的一半，∠MBN绕B点旋转，边BM（或反向延长线）与直线AD相交于点E，边BN（或反向延长线）与直线CD相交于点F，得图11~16。问：图11~16中线段AE、CF、EF有怎样的数量关系？通过分析你能得出怎样的结论？
将点C继续向左移动，使点A越过点D（如图19），把点K设为动点，可以得到各种不同图形，通过分析可知与推广4有类似结果。但这时，∠BAD=∠BCD，于是得推广5。
推广5：如图19，已知：∠BAD=∠BCD，AB=BC，∠EBF是∠ABC的一半，求证：CF－EA=EF。
其他图形可作类似推广，不再重复。
八、小结
将考题作为母题，通过几何画板的几何关系不变性，衍生出许许多多的子题，可以为考生提供源源不断的新题。几何画板用于数学探究，展现了信息技术的魅力所在。这个考题如能结合几何画板运用于教学，将图形的旋转变换的思路展示给学生，定能收到不同寻常的效果。■
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120o，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交DA、DC（或它们的延长线）于E、F。
当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF。
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。
这是一个典型的线段和差问题，这个问题可以通过图形的旋转变换的思路加以解决。这里不再赘述。以下我们着重探讨如何利用几何画板对这个问题的结果进行验证，并且对这个问题进行进一步的探究。
一、构图
我们首先利用几何画板构造图1。
1．启动几何画板，选取点工具，在画板上描出两个点C、D，并构造直线CD。
2．标记点D，将直线CD和点C旋转－60°，得到直线AD。
3．过点C构造CD的垂线，过点A构造AD的垂线，并构造两垂线的交点B。
4．隐藏直线BC和直线BA，并构造线段BC和线段BA。
5．在线段AB上构造一个点P，依次选取点B和点P，构造⊙B。
6．隐藏点P，在⊙B上构造一个点N，将点N移动到∠ABC的内部，构造直线BN，并构造直线BN和直线CD的交点F。
7．标记点B，将点N旋转60°得点M，构造直线BM，并构造直线BM和AD的交点E。隐藏M和⊙B，移动点N，使直线BE∥CD。（如图4）
由于这个问题的解决思路是图形的旋转变换，为了验证这个问题的结果，所以我们对图4进行进一步的构造。
8．选取点A、B、E，构造ΔABE的内部，显示颜色通过“其它”调整为白色。同法构造ΔBCF的内部，选择蓝色，然后调淡；构造ΔBEF的内部，选择红色。
9．标记∠ABC，将ΔABE的内部和点E旋转标记角，得ΔBCG的内部，选择蓝色，构造线段BG完成构图1。（如图5）
选取点N，单击“显示”菜单，单击“动画”，我们便可以看到∠EBF绕点B旋转，同时图5的形状也随之不断改变。如果∠EBF绕点B旋转的效果不够理想，可以在运动控制台上调节点N的运动速度。
观察动画的结果，当∠EBF绕点B旋转时，不管图5的形状如何变化，点F、C、G始终在同一条直线上，且ΔBFE≌ΔBFG，即EF=GF，所以线段AE、CF、EF始终保持着线段和差的关系。另外，在旋转过程中我们除了可以看到考题中出现的各种图形外，还看到了一种与之不同的图形。（如图6）
在图6中，E是∠NBM的边BM的反向延长线与∠ADC的边DA的交点，其他条件与考题相同，此时线段EA、FC、EF之间的关系是：AE+CF=EF。由此，我们得到：
推广1：如图7，已知：B是ΔDEF内部一点，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=∠EBF=120°，求证：AE+CF=EF。
另外，由于ΔBFE≌ΔBFG，所以∠BFE=∠BFG，所以，点B在∠DFE的角平分线上，又由于AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，所以，点B又在∠ADC的角平分线上，所以，点B是ΔABC的内心，于是可得：
推广2：如图7，已知：B是ΔDEF内部一点，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=∠EBF=120°，试判断EF与以B为圆心，AB为半径的圆的位置关系。
事实上，当∠EBF绕点B旋转时，容易发现，点E可以是边BM和边DA的交点，也可以是它们的反向延长线的交点，即直线BM和直线AD的交点，而F可以是直线BN和直线CD的交点，此时，线段AE、CF、EF总能维持线段和差的关系，只不过和差关系随∠EBF旋转而变化。因此，考题中的E、F两点可以设定为：当∠EBF绕点B旋转时，边BM（或反向延长线）与直线AD相交于点E，边BN（或反向延长线）与直线CD相交于点F。
二、联想
在考题中，条件∠ABC=120°，∠MBN=60°保证了∠MBN是∠ABC的一半的关系。那么，将条件∠ABC=120°，∠MBN=60°改为∠MBN是∠ABC的一半，其他条件不变，结果又将如何呢？
三、再构图
由考题中的条件AB⊥AD，BD⊥CD，AB=BC可知，点B在∠ADC的角平分线上，所以，我们可以利用角平分线进行构图。
1．新建画板，选取点工具，在画板上描出三点，点A1、C1、D1，并构造直线C1D1。
2．在直线C1D1上构造点D，并构造直线DA1。
3．构造∠A1DC1的角平分线，并在角平分线上构造一点B。
4．过点B构造C1D的垂线，并构造它们的交点C。同法构造点A。
5．隐藏角平分线、垂线和点A1、C1、D1，并构造线段BA、BC。
6．按构图中第5、6两个步骤构造点N、直线BN和点F。
7．标记∠CBD，标记点B，将点N旋转标记角得点M，构造直线BM，并构造直线BM与AD的交点E，然后构造线段EF。
8．隐藏点M，然后按构图中的第8、9两个步骤进行构图。
9．度量∠ADC，移动点D，使∠ADC=60°；移动点N，使直线BE∥CD，完成构图2。（如图5）
四、再探
在构图2中，将点D向左或向右偏移一小段，然后与构图1一样，选取点N作为动点，观察构图2的图形变化。发现与考题的情形完全相同，只是，这里的∠ABC≠120°，但∠MBN始终是∠ABC的一半。于是我们可得：
推广3：已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BD⊥CD，AB=BC，∠MBN是∠ABC的一半，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交DA、DC（或它们的延长线）于E、F。
当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF。
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。
五、再联想
在考题中，条件AB⊥AD，BD⊥CD保证了∠A与∠C互补。那么，将条件AB⊥AD，BD⊥CD也改为∠A与∠C互补，
结果又会怎样？
六、三构图
在构图前先看图8，当点B在∠ADC的角平分线上，且BA=BC时，容易证明∠BAG=∠BCH，即∠BAD与∠BCD互补。基于此，我们再一次重新构图。
1．同再构图中的第1、2、3三个步骤构造一个点B。
2．在直线C1D1上构造点C，依次选取点B、C，构造⊙B，并构造⊙B与直线A1D的交点A、A2，隐藏点A1、C1、D1。（如图9）
3．在⊙B上构造一个点K，构造直线BK，构造直线BK与⊙B的交点N，移动点K使点N落在∠ABC的内部，再构造直线BK和直线CD的交点F。
4．隐藏角平分线DB、⊙B和点A2，构造线段BC和AB。
5．构造∠CBA的平分线，并构造角平分线与直线CD的交点H。
6．标记∠CBH，标记点B，将点N旋转标记角得点M，构造直线BM，并构造直线BM和AD的交点E。
7．隐藏角平分线、点H、点N和点M，构造线段EF。
8．按构图中的第6、7两个步骤进行构图。
9．度量∠BCD和∠ADC，移动点D，使∠ADC约为60°，移动点C使∠BCD约为90°，移动点F，使直线BE∥CD，完成构图3。（如图10）
七、三探
在构图3中，将点C向左偏移（如图10）。将点K作为动点，观察构图3的图形变化，依次得到不同的图形（如图11~16）。以下图形隐藏了三角形的内部、线段BG和点G。
如果将点C再向左移（如图17），还能得到与图11~16不同的图形（如图18）。但无论图形如何变化，点F、C、G却还是在同一条直线上，而且ΔBFE和ΔBFG的全等关系也不变，可见线段AE、CF、EF还保持着线段和差的关系。通过对这些图形的分析探究，得出一个有趣的结果：以点A和点C为分界线，当点E和点F分别越过点A和点C时，线段AE、CF、EF的关系也随着发生变化，并出现三种不同的结果。
1．当点E和点F都在点D的同侧或都在点D的异侧时，线段AE、CF、EF的关系为：EA+FC=EF。
2．当点E与点D异侧，同时点F与点D同侧时，它们关系为：FC－AE=EF。
3．当点E与点D同侧，同时点F与点D异侧时，它们关系为：AE－FC=EF。
于是，我们可以将考题进一步推广。
推广4：已知四边形ABCD中，∠BAD与∠BCD互补，AB=BC，∠MBN是∠ABC的一半，∠MBN绕B点旋转，边BM（或反向延长线）与直线AD相交于点E，边BN（或反向延长线）与直线CD相交于点F，得图11~16。问：图11~16中线段AE、CF、EF有怎样的数量关系？通过分析你能得出怎样的结论？
将点C继续向左移动，使点A越过点D（如图19），把点K设为动点，可以得到各种不同图形，通过分析可知与推广4有类似结果。但这时，∠BAD=∠BCD，于是得推广5。
推广5：如图19，已知：∠BAD=∠BCD，AB=BC，∠EBF是∠ABC的一半，求证：CF－EA=EF。
其他图形可作类似推广，不再重复。
八、小结
将考题作为母题，通过几何画板的几何关系不变性，衍生出许许多多的子题，可以为考生提供源源不断的新题。几何画板用于数学探究，展现了信息技术的魅力所在。这个考题如能结合几何画板运用于教学，将图形的旋转变换的思路展示给学生，定能收到不同寻常的效果。■
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”