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摘要：板书作为一种重要的教学手段，可以起到导学和助学的作用。小学数学教学中，常见的设计思路有：分类与提炼——厘清本质;直观与抽象——把握特征;递进与沟通——梳理关系;归纳与运用——经历过程;比较与优化——简化思维;数形与生成——领悟内涵。
关键词：板书;设计思路;小学数学
板书，从动态层面理解，是教师上课时在黑板上书写文字、符号等来传递信息的一种言语活动方式;从静态层面理解，是教师在教学过程中利用黑板或多媒体设备以凝练的图文呈现的教学信息的总称。小学数学教学中，板书作为一种重要的教学手段，可以起到导学和助学的作用。恰当的板书有利于实现学生的思维与教学过程同步，有助于学生更好地把握教学内容的脉络。何为恰当的板书？笔者以为，是在一定的思路指导下展开，反映一定的价值取向，体现教学导向的板书。以下分享几个板书设计思路。
一、分类与提炼——厘清本质
分类是按照一定的标准对学习材料进行分组，通过分组厘清每组学习材料所蕴含的本质与非本质属性，进而提炼并理解相应的数学概念的本质。
例如，人教版小学数学五年级下册《质数与合数》一课，采用的是分类与提炼的板书设计思路。教师先让学生找出1—20各数的因数，并说说这些数因数的个数有什么不同。根据学生的回答，教师在黑板上画出表格并板书分类标准：只有一个因数，只有1和它本身两个因数，有两个以上因数。然后，教师让学生把1—20各数按这样的标准分类，并根据学生的回答将各数填入表格中。接着，教师引导学生在交流的基础上提炼：只有两个因数的数叫作质数（素数）;有两个以上因数的数叫作合数;1只有一个因数，既不是质数，也不是合数。并将“质数（素数）”“合数”“既不是质数，也不是合数”分别板书在表格下方。此处还可让学生判断一些数字是质数还是合数来巩固概念。然后，师生一起交流提炼“非0自然数包括质数、合数和1”，并在黑板上画出相应的集合图。最后，让学生找100以内的质数。有学生提出，把不是质数的数划掉，剩下来的就是质数。按照学生的思路，师生一起把1划掉，把除2以外的偶数划掉，把除5以外的5的倍数划掉，把除3以外的3的倍数划掉，把除7以外的7的倍数也划掉，剩下25个质数。教师在黑板上画出相应的集合图。最终板书如图1所示。
一定意义上来说，板书设计思路其实与教学思路是一致的。本节课，先根据因数的个数把1—20各数分成三类，在明晰这三类数本质属性的基础上进行数学化提炼，从而让学生明白质数与合数的本质。分类与提炼的过程既是教学的过程，又是板书产生的过程，更是学生理解概念的过程。
二、直观与抽象——把握特征
小学生的思维以具体形象思维为主，逐渐向抽象思维发展。图形与几何知识对小学生来说具有一定的抽象性，需要借助一定的直观材料，让学生清楚地把握图形的特征。因此，在设计图形与几何内容的板书时，应努力以直观的方式呈现，以促进学生空间观念的建立。
例如，人教版小学数学五年级下册《长方体的认识》一课，采用的是直观与抽象的板书设计思路。教师先在黑板上画好一个长方体的示意图，预示今天要学习的内容。接着，教师引导学生借助实物模型认识到长方体的面是平的，知道“从一个方向看，最多看到3个面”（这也是示意图画法的原理），将结论板书在长方体示意图的上表面。教师继续引导学生借助实物模型认识到：长方体有6个面，相对的面完全相同，每个面都是长方形（有时有2个相对的面是正方形）。并将结论板书在长方体示意图的正面。接着，教师带领学生明确面和面相交的线段是棱，并将定义板书在一条棱附近，同样借助实物模型让学生明白：长方体有12条棱，相对的棱长度相等（有时有8条棱长度相等）;所有的棱可以分成3组，每组有4条棱。教师将这一结论板书在“面的特征”下方。教师继续带着学生认识棱和棱的交点是顶点，将定义板书在一个顶点附近，并将长方体“有8个顶点”的结论板书在“棱的特征”之下。然后，教师引出长方体的长、宽、高，明确长方体有4条长、4条宽、4条高，相应板书。最后，以一个实际长方体模型为例求它的棱长总和，提炼计算公式并板书“长方体棱长总和=（长+宽+高）×4”。最终板书如图2所示。
利用板书直观呈现长方体的示意图，学生借助示意图及学具可以清晰地把握长方体的特征并抽象成文字。这样的板书，学生自然印象深刻。
三、递进与沟通——梳理关系
小学生的认知路径是层层递进的，前一層次认知是后一层次认知的基础，后一层次认知是前一层次认知的发展。教师可根据教学内容及学生认知特点设计递进式板书，在递进的过程中沟通知识之间的关系。
例如，人教版小学数学五年级下册《分数与除法》一课，采用的是递进与沟通的板书设计思路。教师先让学生口答“6个月饼平均分给2个人，每人分得多少个？”“1个月饼平均分给2个人，每人分得多少个？”“1个月饼平均分给3个人，每人分得多少个？”指名学生上台板演算式，并画图验证后两个问题，在此基础上提炼并板书“平均分用除法计算”这一结论。接着，教师出示“把3块月饼平均分给4人，每人分得多少块？”并在黑板上画出示意图，写出学生列出的算式“3÷4=34（块）”。教师请学生上黑板画图验证。学生画出3个圆，涂色表示出3个圆的14;再画出1个圆，涂色表示出1个圆的34。通过画图，学生明白“3块的14=1块的34”，从而验证了刚才的“34（块）”是正确的。在此基础上，教师引导学生发现“3块的14就是3÷4”，表示把3块月饼平均分成4份，取其中的一份，这就是34（块）的“除法意义”;“1块的34”表示把1块月饼平均分成4份，取其中的3份，这就是34（块）的“分数意义”。教师同步板书“除法意义”和“分数意义”。接着，教师让学生说说除法和分数之间的关系，使学生明白“被除数相当于分子，除数相当于分母”，得到文字公式“被除数÷除数=被除数除数”并在黑板上写出来。师生一起分析并板书标注出除法与分数之间的联系：被除数相当于分子，除号相当于分数线，除数相当于分母，商相当于分数值。最后，教师引导学生用字母“a÷b=ab（b≠0）”来表示除法与分数之间的关系，顺势让学生明确除法和分数之间的区别：除法是一种运算，分数是一种数（有时也表示两个量之间的关系）。最终板书如图3所示。 上述过程明显分成3个层次：一是借助实物明白平均分的意义;二是利用实物及直观图明白3块的14与1块的34是相等的;三是根据等式得出分数与除法之间的关系式，进而明白分数与除法之间的联系与区别。通过这样的递进与沟通，学生对知识的形成过程及知识之间的关系就比较清楚了。
四、归纳与运用——经历过程
归纳是一种数学思想，也是学习数学的重要手段。在运用中归纳，在归纳中运用，是学习数学的有效方法。有些教学内容的板书设计时，可渗透归纳与运用的思想，让学生经历知识的产生及运用过程，从而明白知识的来龙去脉。
例如，人教版小学数学五年级下册《真分数与假分数》一课，采用的是归纳与运用的板书设计思路。教师板书“13、34和56”，让学生说说这3个分数有什么特点，提炼出“分子比分母小”这一特征并板书后，揭示这样的分数就是“真分数”并板书。在学生得出真分数小于1的直观感受后，教师板书“<1”。接着，教师在黑板上画出表示44和74的示意图，并让学生说一说分母为什么是4（其中的一个圆平均分成4份，分母就是4）。同理，让学生画出115。在此基础上，教师让学生观察这3个分数的特点，根据学生的回答板书“分子大于分母”“分子和分母相等”，揭示这样的分数就是假分数并板书“假分数”。然后，教师引导学生观察这3个假分数和1的关系。借助板书学生会明白44=1，74=1+34，就是一又四分之三，115=2+15，就是二又五分之一，从而让学生明白假分数大于或等于1，相应板书。接着，师生一起分析假分数的实质不是整数就是带分数，而带分数又是“整数+真分数”，通过板书让学生明白假分数“假”在何处。在此基础上，教师让学生思考上述3个假分数化成整数或带分数的方法，并把其中的过程补充完整，从而得出转化的方法——分子除以分母。然后，教师让学生把155和175转化成整数或假分数并指名学生上台板演。最后，以一道习题为例，师生一起把题中的七个分数在数轴上表示出来，让学生再次感受真分数和假分数的特征。最终板书如图4所示。
本节课经历三次归纳过程：一是真分数与假分数特征的归纳;二是假分数化成整数或真分数方法的归纳;三是真分数和假分数在数轴上位置的归纳。三次归纳都与运用结合，促使学生更好地领会教学内容，形成对真分数和假分数数理的深刻认识。
五、比较与优化——简化思维
比较是一种数学思想，也是学习数学的重要方法。把相同或相近的知识或方法进行直观比较，可以发现最简洁、最优化的解决方法。
例如，人教版小学数学五年级下册《最小公倍数》一课，采用的是比较与优化的板书设计思路。教师先让学生在本子上写出4和6各自的倍数并找出哪些倍数是公有的，然后在黑板上画出集合图将学生的回答写进去。在此基础上，教师揭示公倍数和最小公倍数的概念，让学生明白这种方法是“集合法”，并认识到两个数没有最大公倍数。接下来，师生一起书写6和8各自的倍数，并把公倍数用虚线圈起来，写出“6和8的最小公倍数是24”这个结论，让学生明白这种方法是“比较法”。然后，师生一起用筛选法寻找6和8的最小公倍数，教师根据学生的回答将过程板书下来。接着，师生一起用短除法求6和8的最小公倍数，让学生明白最小公倍数是公有质因数和独有质因数的乘积，相应板书下来。在此基础上，教师引导学生比较这四种方法的优劣，明确要根据数据灵活选择方法。最后，教师让学生求出四组数的最小公倍数并找规律，顺势提炼并板书：较大数是较小数的倍数，较大数是它们的最小公倍数;互质的两个数的最小公倍数是它们的乘积。最终板书如图5所示。
本节课经历两次比较与优化的过程：一是将求两个数最小公倍数的四种方法全部呈现，呈现的过程就是学生感悟和比较的过程，学生在比较后会感受到筛选法和短除法的简洁;二是比较四组特殊数的最小公倍数，让学生再次感受优化的过程——特殊的数要用特殊的方法，从而让学生的思维更加灵活。
六、数形与生成——领悟内涵
数形结合是一种学习数学的有效方法，也是把深奥的数学道理直观化的重要手段。当我们把抽象的数学原理用直观的图形表达出来，就能够凸显知识内涵，学生就能够轻松理解深奥的内容;而通过对图形中蕴含的数量关系的刻畫，可以为学生认识图形的性质提供帮助。
例如，人教版小学数学五年级下册《折线统计图》一课，采用的是数形与生成的板书设计思路。教师先呈现机器人大赛参赛队伍统计表和条形统计图，让学生直观地感受到条形统计图能清楚地看出数量的多少。接着，教师提醒学生条形统计图还可以画成折线统计图，并在事先画好的格子图上标出横轴和纵轴，明确横轴表示年份，纵轴表示参赛队伍，单位是支。然后，教师画出纵轴上的刻度并强调：纵轴最下端画成折线形状表示省略。接着，教师根据学生回答写出标题，开始画图：先描好点，并在边上标出数据，再把所有的点顺次连接起来。教师引导学生根据画图体验提炼画折线统计图的一般方法：描好点→标数据→连成线（从第一个描好的点开始连）。教师将方法板书在折线图下方，让学生说说“描好点”中的“点”表示什么（表示数量的多少），“连成线”中的“线”表示什么（表示数量的增减变化）。在此基础上，教师让学生说说折线统计图的特点，顺势提炼并板书：折线统计图既表示数量的多少，又可以清楚地表示数量的增减变化。最后，教师带领学生观察整个折线统计图，明确：线段上升表示增加，线段下降表示减少，一升一降就产生变化，形成“折”，所以叫折线统计图。最终板书如图6所示。
借助直观的折线统计图绘制过程，学生可以生成画折线统计图的一般步骤和方法，同时根据折线统计图可以生成“点代表数量的多少，折线代表数量的变化”这一结论。可以说，数形与生成的板书过程可以让学生清晰地领悟复杂知识的内涵。
参考文献：
[1] 斯苗儿，俞正强.“浙江省中小学学科教学建议”案例解读（小学数学）[M].杭州：浙江教育出版社，2014.
关键词：板书;设计思路;小学数学
板书，从动态层面理解，是教师上课时在黑板上书写文字、符号等来传递信息的一种言语活动方式;从静态层面理解，是教师在教学过程中利用黑板或多媒体设备以凝练的图文呈现的教学信息的总称。小学数学教学中，板书作为一种重要的教学手段，可以起到导学和助学的作用。恰当的板书有利于实现学生的思维与教学过程同步，有助于学生更好地把握教学内容的脉络。何为恰当的板书？笔者以为，是在一定的思路指导下展开，反映一定的价值取向，体现教学导向的板书。以下分享几个板书设计思路。
一、分类与提炼——厘清本质
分类是按照一定的标准对学习材料进行分组，通过分组厘清每组学习材料所蕴含的本质与非本质属性，进而提炼并理解相应的数学概念的本质。
例如，人教版小学数学五年级下册《质数与合数》一课，采用的是分类与提炼的板书设计思路。教师先让学生找出1—20各数的因数，并说说这些数因数的个数有什么不同。根据学生的回答，教师在黑板上画出表格并板书分类标准：只有一个因数，只有1和它本身两个因数，有两个以上因数。然后，教师让学生把1—20各数按这样的标准分类，并根据学生的回答将各数填入表格中。接着，教师引导学生在交流的基础上提炼：只有两个因数的数叫作质数（素数）;有两个以上因数的数叫作合数;1只有一个因数，既不是质数，也不是合数。并将“质数（素数）”“合数”“既不是质数，也不是合数”分别板书在表格下方。此处还可让学生判断一些数字是质数还是合数来巩固概念。然后，师生一起交流提炼“非0自然数包括质数、合数和1”，并在黑板上画出相应的集合图。最后，让学生找100以内的质数。有学生提出，把不是质数的数划掉，剩下来的就是质数。按照学生的思路，师生一起把1划掉，把除2以外的偶数划掉，把除5以外的5的倍数划掉，把除3以外的3的倍数划掉，把除7以外的7的倍数也划掉，剩下25个质数。教师在黑板上画出相应的集合图。最终板书如图1所示。
一定意义上来说，板书设计思路其实与教学思路是一致的。本节课，先根据因数的个数把1—20各数分成三类，在明晰这三类数本质属性的基础上进行数学化提炼，从而让学生明白质数与合数的本质。分类与提炼的过程既是教学的过程，又是板书产生的过程，更是学生理解概念的过程。
二、直观与抽象——把握特征
小学生的思维以具体形象思维为主，逐渐向抽象思维发展。图形与几何知识对小学生来说具有一定的抽象性，需要借助一定的直观材料，让学生清楚地把握图形的特征。因此，在设计图形与几何内容的板书时，应努力以直观的方式呈现，以促进学生空间观念的建立。
例如，人教版小学数学五年级下册《长方体的认识》一课，采用的是直观与抽象的板书设计思路。教师先在黑板上画好一个长方体的示意图，预示今天要学习的内容。接着，教师引导学生借助实物模型认识到长方体的面是平的，知道“从一个方向看，最多看到3个面”（这也是示意图画法的原理），将结论板书在长方体示意图的上表面。教师继续引导学生借助实物模型认识到：长方体有6个面，相对的面完全相同，每个面都是长方形（有时有2个相对的面是正方形）。并将结论板书在长方体示意图的正面。接着，教师带领学生明确面和面相交的线段是棱，并将定义板书在一条棱附近，同样借助实物模型让学生明白：长方体有12条棱，相对的棱长度相等（有时有8条棱长度相等）;所有的棱可以分成3组，每组有4条棱。教师将这一结论板书在“面的特征”下方。教师继续带着学生认识棱和棱的交点是顶点，将定义板书在一个顶点附近，并将长方体“有8个顶点”的结论板书在“棱的特征”之下。然后，教师引出长方体的长、宽、高，明确长方体有4条长、4条宽、4条高，相应板书。最后，以一个实际长方体模型为例求它的棱长总和，提炼计算公式并板书“长方体棱长总和=（长+宽+高）×4”。最终板书如图2所示。
利用板书直观呈现长方体的示意图，学生借助示意图及学具可以清晰地把握长方体的特征并抽象成文字。这样的板书，学生自然印象深刻。
三、递进与沟通——梳理关系
小学生的认知路径是层层递进的，前一層次认知是后一层次认知的基础，后一层次认知是前一层次认知的发展。教师可根据教学内容及学生认知特点设计递进式板书，在递进的过程中沟通知识之间的关系。
例如，人教版小学数学五年级下册《分数与除法》一课，采用的是递进与沟通的板书设计思路。教师先让学生口答“6个月饼平均分给2个人，每人分得多少个？”“1个月饼平均分给2个人，每人分得多少个？”“1个月饼平均分给3个人，每人分得多少个？”指名学生上台板演算式，并画图验证后两个问题，在此基础上提炼并板书“平均分用除法计算”这一结论。接着，教师出示“把3块月饼平均分给4人，每人分得多少块？”并在黑板上画出示意图，写出学生列出的算式“3÷4=34（块）”。教师请学生上黑板画图验证。学生画出3个圆，涂色表示出3个圆的14;再画出1个圆，涂色表示出1个圆的34。通过画图，学生明白“3块的14=1块的34”，从而验证了刚才的“34（块）”是正确的。在此基础上，教师引导学生发现“3块的14就是3÷4”，表示把3块月饼平均分成4份，取其中的一份，这就是34（块）的“除法意义”;“1块的34”表示把1块月饼平均分成4份，取其中的3份，这就是34（块）的“分数意义”。教师同步板书“除法意义”和“分数意义”。接着，教师让学生说说除法和分数之间的关系，使学生明白“被除数相当于分子，除数相当于分母”，得到文字公式“被除数÷除数=被除数除数”并在黑板上写出来。师生一起分析并板书标注出除法与分数之间的联系：被除数相当于分子，除号相当于分数线，除数相当于分母，商相当于分数值。最后，教师引导学生用字母“a÷b=ab（b≠0）”来表示除法与分数之间的关系，顺势让学生明确除法和分数之间的区别：除法是一种运算，分数是一种数（有时也表示两个量之间的关系）。最终板书如图3所示。 上述过程明显分成3个层次：一是借助实物明白平均分的意义;二是利用实物及直观图明白3块的14与1块的34是相等的;三是根据等式得出分数与除法之间的关系式，进而明白分数与除法之间的联系与区别。通过这样的递进与沟通，学生对知识的形成过程及知识之间的关系就比较清楚了。
四、归纳与运用——经历过程
归纳是一种数学思想，也是学习数学的重要手段。在运用中归纳，在归纳中运用，是学习数学的有效方法。有些教学内容的板书设计时，可渗透归纳与运用的思想，让学生经历知识的产生及运用过程，从而明白知识的来龙去脉。
例如，人教版小学数学五年级下册《真分数与假分数》一课，采用的是归纳与运用的板书设计思路。教师板书“13、34和56”，让学生说说这3个分数有什么特点，提炼出“分子比分母小”这一特征并板书后，揭示这样的分数就是“真分数”并板书。在学生得出真分数小于1的直观感受后，教师板书“<1”。接着，教师在黑板上画出表示44和74的示意图，并让学生说一说分母为什么是4（其中的一个圆平均分成4份，分母就是4）。同理，让学生画出115。在此基础上，教师让学生观察这3个分数的特点，根据学生的回答板书“分子大于分母”“分子和分母相等”，揭示这样的分数就是假分数并板书“假分数”。然后，教师引导学生观察这3个假分数和1的关系。借助板书学生会明白44=1，74=1+34，就是一又四分之三，115=2+15，就是二又五分之一，从而让学生明白假分数大于或等于1，相应板书。接着，师生一起分析假分数的实质不是整数就是带分数，而带分数又是“整数+真分数”，通过板书让学生明白假分数“假”在何处。在此基础上，教师让学生思考上述3个假分数化成整数或带分数的方法，并把其中的过程补充完整，从而得出转化的方法——分子除以分母。然后，教师让学生把155和175转化成整数或假分数并指名学生上台板演。最后，以一道习题为例，师生一起把题中的七个分数在数轴上表示出来，让学生再次感受真分数和假分数的特征。最终板书如图4所示。
本节课经历三次归纳过程：一是真分数与假分数特征的归纳;二是假分数化成整数或真分数方法的归纳;三是真分数和假分数在数轴上位置的归纳。三次归纳都与运用结合，促使学生更好地领会教学内容，形成对真分数和假分数数理的深刻认识。
五、比较与优化——简化思维
比较是一种数学思想，也是学习数学的重要方法。把相同或相近的知识或方法进行直观比较，可以发现最简洁、最优化的解决方法。
例如，人教版小学数学五年级下册《最小公倍数》一课，采用的是比较与优化的板书设计思路。教师先让学生在本子上写出4和6各自的倍数并找出哪些倍数是公有的，然后在黑板上画出集合图将学生的回答写进去。在此基础上，教师揭示公倍数和最小公倍数的概念，让学生明白这种方法是“集合法”，并认识到两个数没有最大公倍数。接下来，师生一起书写6和8各自的倍数，并把公倍数用虚线圈起来，写出“6和8的最小公倍数是24”这个结论，让学生明白这种方法是“比较法”。然后，师生一起用筛选法寻找6和8的最小公倍数，教师根据学生的回答将过程板书下来。接着，师生一起用短除法求6和8的最小公倍数，让学生明白最小公倍数是公有质因数和独有质因数的乘积，相应板书下来。在此基础上，教师引导学生比较这四种方法的优劣，明确要根据数据灵活选择方法。最后，教师让学生求出四组数的最小公倍数并找规律，顺势提炼并板书：较大数是较小数的倍数，较大数是它们的最小公倍数;互质的两个数的最小公倍数是它们的乘积。最终板书如图5所示。
本节课经历两次比较与优化的过程：一是将求两个数最小公倍数的四种方法全部呈现，呈现的过程就是学生感悟和比较的过程，学生在比较后会感受到筛选法和短除法的简洁;二是比较四组特殊数的最小公倍数，让学生再次感受优化的过程——特殊的数要用特殊的方法，从而让学生的思维更加灵活。
六、数形与生成——领悟内涵
数形结合是一种学习数学的有效方法，也是把深奥的数学道理直观化的重要手段。当我们把抽象的数学原理用直观的图形表达出来，就能够凸显知识内涵，学生就能够轻松理解深奥的内容;而通过对图形中蕴含的数量关系的刻畫，可以为学生认识图形的性质提供帮助。
例如，人教版小学数学五年级下册《折线统计图》一课，采用的是数形与生成的板书设计思路。教师先呈现机器人大赛参赛队伍统计表和条形统计图，让学生直观地感受到条形统计图能清楚地看出数量的多少。接着，教师提醒学生条形统计图还可以画成折线统计图，并在事先画好的格子图上标出横轴和纵轴，明确横轴表示年份，纵轴表示参赛队伍，单位是支。然后，教师画出纵轴上的刻度并强调：纵轴最下端画成折线形状表示省略。接着，教师根据学生回答写出标题，开始画图：先描好点，并在边上标出数据，再把所有的点顺次连接起来。教师引导学生根据画图体验提炼画折线统计图的一般方法：描好点→标数据→连成线（从第一个描好的点开始连）。教师将方法板书在折线图下方，让学生说说“描好点”中的“点”表示什么（表示数量的多少），“连成线”中的“线”表示什么（表示数量的增减变化）。在此基础上，教师让学生说说折线统计图的特点，顺势提炼并板书：折线统计图既表示数量的多少，又可以清楚地表示数量的增减变化。最后，教师带领学生观察整个折线统计图，明确：线段上升表示增加，线段下降表示减少，一升一降就产生变化，形成“折”，所以叫折线统计图。最终板书如图6所示。
借助直观的折线统计图绘制过程，学生可以生成画折线统计图的一般步骤和方法，同时根据折线统计图可以生成“点代表数量的多少，折线代表数量的变化”这一结论。可以说，数形与生成的板书过程可以让学生清晰地领悟复杂知识的内涵。
参考文献：
[1] 斯苗儿，俞正强.“浙江省中小学学科教学建议”案例解读（小学数学）[M].杭州：浙江教育出版社，2014.