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[摘 要]对于一些理论比较模糊的题目，课本上没有总结出明确具体的公式，但是却通过探究活动让学生归纳出抽象的规则，如面积最大、周长最小问题，学生只能大概感知到“两数和一定时，两数越接近，积越大”和“两数积一定时，两数越接近，和越小”，具体解决问题时，却无法应用公式，这时，运用列表法辅助理解不失为一个好办法。
[关键词]面积;最大;列表法;镜面成像
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）17-0027-02
苏教版教材第十二册总复习P91中有这样一道几何应用题：
用16根1米长的木条靠一堵墙围一块长方形菜地，怎样围面积最大？小组合作，用16根小棒围一围，算一算，把结果填入下表。
如果用24根这样的木条来围，怎样围面积最大？
在备课时，笔者就感到这一题非常眼熟，作为长期喜欢阅读教学专业期刊的书迷，笔者马上想到以前看过讨论这道题的文章，于是，迫不及待地翻出，进行深入的对比研究、综合分析，发现确实已经有人对这个问题做了相当完备的研究，且都提出了非常独到的观点。笔者借鉴其中的精华部分，对这一题型的教学进行再构建。
一、新旧观念的对抗
课上，笔者直接出示“用16根1米长的木条靠一堵墙围一块长方形菜地，怎样围面积最大？”的问题。学生独立思考，试图解答，然而从反馈的情况来看，效果并不理想。多数学生对这道题束手无策，绞尽脑汁也没有找到一点头绪，不过值得欣慰的是，有三位学生用拼凑的方法找出了最佳围法，并算出最大面积，为32平方米。笔者激动地请他们说一说理由，他们却一个个哑口无言，看来这是“瞎猫碰上死耗子”了。笔者开始犯难：到底该用先前所学的“独门秘籍”直接解题，还是让用拼凑法碰巧做对的学生上台演示他们的“偏方”？学生都目不转睛地盯着我，却没有一个人想到笔者先前所传授的“秘籍”，这说明笔者的想法超出了学生的接受能力范围，也超越了他们的理解极限。
在课程改革以前，为了灌输所谓绝对正确的知识和方法，一些教师总是压制那些课堂上怀有异议的人，稍有不合就打为反派，认为他们的想法和观点是荒唐可笑的，是旁门左道，即使有些道理，也是投机取巧，难登大雅之堂。渐渐地，学生变得众口一词，那就是老师教的就是标准正统的解法。久而久之，教师渐渐脱离学生，习惯将自己的理解方式强加给学生，学生也懒得动脑筋，只等教师送上现成的结论。这样一来，师生之间反而达成一种“默契”，大家都不用创新，也不用质疑，学生的批判精神和创造力被一点点磨灭。
教师用成人的观念，将标准化和最优化的答案“兜售”给学生，学生则甘愿放弃探究发现的机会，熄灭内心探索创造的动机和热情，将由独立思考而产生的个性化体验扼杀在萌芽状态。随着课程改革的实施，情形为之一变。教师要充分尊重学生对数学知识的原生态体验，给予学生最大的自由去实践操作，使学生从操作活动中充分地建构知识，形成自己的个性化体验，并帮助学生反思自己的经验和第一认知，建立正确的数学观念。思考至此，笔者请这几位学生上台展示他们的表格。
生1：
生2：
生3：我也是用列表的方法，只不过我的步骤要少一些。
二、转化思想，镜面成像原理
笔者和学生共同研讨生3的方法，介绍“折中列表”和“跨越式列表”。此时，几乎全班都掌握了解题方法，并形成了清晰明朗的解题思路和规范标准的解题策略，而且积累了一定的解题经验。接下来，笔者让学生再接再厉，完成“动物卡通小狗”提出的问题。此时所总结的方法只是粗浅的列举法，也就是最原始的推演法，将所有可能的方案一一列举出来，然后直观地比较辨析，看哪一种方案能使面积最大。这时，虽然展示的是学生的原生态思考，但是这种思维是具体的形象思维，还得依赖于实物表象的辅助，没有形成理性、抽象、具有逻辑性和条理性的高级思维活动，因此，要想帮助学生的思维获得生长和发展，必须进行适当的抽象处理。于是，笔者引导学生对表格中的数据进行分析，总结规律：只围三条边（一边靠墙）时，当且仅当“长是宽的2倍”，围成的长方形的面积最大。笔者还趁机向学生介绍用镜面成像原理来解决问题。镜面成像原理与转化思想相似，就是将问题转化成“没有围墙代替边”的情况：假设没有围墙，将围墙假想成一面平面镜，根据镜面成像原理（如图1），木条的总长度扩大为原来的2倍，由16米变成32米，接下来就先找出周长为32米的长方形面积最大的围法。长方形菜地的周长为32米，那么周长的一半[C2]=16，因此长 宽=16米，用字母表示是a b=16。而长方形菜地的面积S=ab，此时根据“两个数的和一定，两个数越接近，积越大”（其实是中学的基本不等式[a b2≥ab]的雏形），推知要使S=ab达到最大值，就要使a=b，因此a=b=16÷2=8（米），所以菜地的面积最大为[S最大=8×8=64]（平方米），此时围成的图形为边长是8米的正方形。此时的正方形是一个实像与虚像的组合体，因此，将“平面镜”撤下，只剩下一个长为8米（平面镜外完整保留的一边），宽为4米（撤去平面镜后的“半边”）的长方形（如图2）。
于是可以总结这种“围墙代边”的最大面积围法：先将总长扩大2倍，然后除以4，求出长方形的长，再将长除以2，求出宽。公式：长方形的长=（总长×2）÷4，长方形的宽=长÷2。
三、列表法策略的可行性
将学生的观察与思考、探索与发现、体验与收获、外显活动与内隐思维等紧密结合，用自己的方式重构知识，提升思维品质和数学素养。雖然教学过程与预设出入较大，出现许多始料未及的情况，但笔者还是比较赞同《对“都是‘一面墙’惹的祸”再思考》这篇文章中的观点：“对于小学生而言，列表法最现实。”一方面，这道题中，苏教版教材给出了表格，说明编者的用意也是倡导用列表法解题;另一方面，列表法是苏教版教材中一种常见的解题策略，在总复习中再次启用也是对这种策略的一种巩固与强调。此题用列表法解决符合学生的认知水平和知识基础，也与编者用意吻合。但在实际教学中，部分教师忽视列表法，认为是“硬凑”，费时低效，对此，笔者不敢苟同。课程标准也明确指出，数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得直接经验，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习。
只不过对于六年级学生而言，可以对列表法进行优化和升级，就像生3一样，将表格简化，引出“折中列表”和“跨越式列表”的思考方法。对于前面所述的理论推算法（镜面成像法），教师可以在列表法的基础上适度拓展，至于效果，就看学生的悟性了。教师应明确认识到，拓展“和积最大值定律”的推导法，目的在于对学生进行思想方法的引领，拓宽他们思维的维度，不应硬性要求学生使用。在小学阶段，学生能用列表法解决此类问题，已基本达标。教师切莫舍本逐末，舍近求远！
（责编 吴美玲）
[关键词]面积;最大;列表法;镜面成像
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）17-0027-02
苏教版教材第十二册总复习P91中有这样一道几何应用题：
用16根1米长的木条靠一堵墙围一块长方形菜地，怎样围面积最大？小组合作，用16根小棒围一围，算一算，把结果填入下表。
如果用24根这样的木条来围，怎样围面积最大？
在备课时，笔者就感到这一题非常眼熟，作为长期喜欢阅读教学专业期刊的书迷，笔者马上想到以前看过讨论这道题的文章，于是，迫不及待地翻出，进行深入的对比研究、综合分析，发现确实已经有人对这个问题做了相当完备的研究，且都提出了非常独到的观点。笔者借鉴其中的精华部分，对这一题型的教学进行再构建。
一、新旧观念的对抗
课上，笔者直接出示“用16根1米长的木条靠一堵墙围一块长方形菜地，怎样围面积最大？”的问题。学生独立思考，试图解答，然而从反馈的情况来看，效果并不理想。多数学生对这道题束手无策，绞尽脑汁也没有找到一点头绪，不过值得欣慰的是，有三位学生用拼凑的方法找出了最佳围法，并算出最大面积，为32平方米。笔者激动地请他们说一说理由，他们却一个个哑口无言，看来这是“瞎猫碰上死耗子”了。笔者开始犯难：到底该用先前所学的“独门秘籍”直接解题，还是让用拼凑法碰巧做对的学生上台演示他们的“偏方”？学生都目不转睛地盯着我，却没有一个人想到笔者先前所传授的“秘籍”，这说明笔者的想法超出了学生的接受能力范围，也超越了他们的理解极限。
在课程改革以前，为了灌输所谓绝对正确的知识和方法，一些教师总是压制那些课堂上怀有异议的人，稍有不合就打为反派，认为他们的想法和观点是荒唐可笑的，是旁门左道，即使有些道理，也是投机取巧，难登大雅之堂。渐渐地，学生变得众口一词，那就是老师教的就是标准正统的解法。久而久之，教师渐渐脱离学生，习惯将自己的理解方式强加给学生，学生也懒得动脑筋，只等教师送上现成的结论。这样一来，师生之间反而达成一种“默契”，大家都不用创新，也不用质疑，学生的批判精神和创造力被一点点磨灭。
教师用成人的观念，将标准化和最优化的答案“兜售”给学生，学生则甘愿放弃探究发现的机会，熄灭内心探索创造的动机和热情，将由独立思考而产生的个性化体验扼杀在萌芽状态。随着课程改革的实施，情形为之一变。教师要充分尊重学生对数学知识的原生态体验，给予学生最大的自由去实践操作，使学生从操作活动中充分地建构知识，形成自己的个性化体验，并帮助学生反思自己的经验和第一认知，建立正确的数学观念。思考至此，笔者请这几位学生上台展示他们的表格。
生1：
生2：
生3：我也是用列表的方法，只不过我的步骤要少一些。
二、转化思想，镜面成像原理
笔者和学生共同研讨生3的方法，介绍“折中列表”和“跨越式列表”。此时，几乎全班都掌握了解题方法，并形成了清晰明朗的解题思路和规范标准的解题策略，而且积累了一定的解题经验。接下来，笔者让学生再接再厉，完成“动物卡通小狗”提出的问题。此时所总结的方法只是粗浅的列举法，也就是最原始的推演法，将所有可能的方案一一列举出来，然后直观地比较辨析，看哪一种方案能使面积最大。这时，虽然展示的是学生的原生态思考，但是这种思维是具体的形象思维，还得依赖于实物表象的辅助，没有形成理性、抽象、具有逻辑性和条理性的高级思维活动，因此，要想帮助学生的思维获得生长和发展，必须进行适当的抽象处理。于是，笔者引导学生对表格中的数据进行分析，总结规律：只围三条边（一边靠墙）时，当且仅当“长是宽的2倍”，围成的长方形的面积最大。笔者还趁机向学生介绍用镜面成像原理来解决问题。镜面成像原理与转化思想相似，就是将问题转化成“没有围墙代替边”的情况：假设没有围墙，将围墙假想成一面平面镜，根据镜面成像原理（如图1），木条的总长度扩大为原来的2倍，由16米变成32米，接下来就先找出周长为32米的长方形面积最大的围法。长方形菜地的周长为32米，那么周长的一半[C2]=16，因此长 宽=16米，用字母表示是a b=16。而长方形菜地的面积S=ab，此时根据“两个数的和一定，两个数越接近，积越大”（其实是中学的基本不等式[a b2≥ab]的雏形），推知要使S=ab达到最大值，就要使a=b，因此a=b=16÷2=8（米），所以菜地的面积最大为[S最大=8×8=64]（平方米），此时围成的图形为边长是8米的正方形。此时的正方形是一个实像与虚像的组合体，因此，将“平面镜”撤下，只剩下一个长为8米（平面镜外完整保留的一边），宽为4米（撤去平面镜后的“半边”）的长方形（如图2）。
于是可以总结这种“围墙代边”的最大面积围法：先将总长扩大2倍，然后除以4，求出长方形的长，再将长除以2，求出宽。公式：长方形的长=（总长×2）÷4，长方形的宽=长÷2。
三、列表法策略的可行性
将学生的观察与思考、探索与发现、体验与收获、外显活动与内隐思维等紧密结合，用自己的方式重构知识，提升思维品质和数学素养。雖然教学过程与预设出入较大，出现许多始料未及的情况，但笔者还是比较赞同《对“都是‘一面墙’惹的祸”再思考》这篇文章中的观点：“对于小学生而言，列表法最现实。”一方面，这道题中，苏教版教材给出了表格，说明编者的用意也是倡导用列表法解题;另一方面，列表法是苏教版教材中一种常见的解题策略，在总复习中再次启用也是对这种策略的一种巩固与强调。此题用列表法解决符合学生的认知水平和知识基础，也与编者用意吻合。但在实际教学中，部分教师忽视列表法，认为是“硬凑”，费时低效，对此，笔者不敢苟同。课程标准也明确指出，数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得直接经验，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习。
只不过对于六年级学生而言，可以对列表法进行优化和升级，就像生3一样，将表格简化，引出“折中列表”和“跨越式列表”的思考方法。对于前面所述的理论推算法（镜面成像法），教师可以在列表法的基础上适度拓展，至于效果，就看学生的悟性了。教师应明确认识到，拓展“和积最大值定律”的推导法，目的在于对学生进行思想方法的引领，拓宽他们思维的维度，不应硬性要求学生使用。在小学阶段，学生能用列表法解决此类问题，已基本达标。教师切莫舍本逐末，舍近求远！
（责编 吴美玲）