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[摘 要]加法交换律作为小学数学阶段为数不多的定律之一，在学生的数学学习过程中起着非常重要的作用。剖析“加法交换律”这一简单的知识，抓住这一知识背后的数学思想的本质，并通过四次执教时的思考与探讨，获得了更具有指导性的教学方法。
[关键词]加法交换律；数学思想；简单知识
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）32-0016-02
2016年4月22日，我有幸在“现代与经典”活动上执教 “加法运算律”这一课，可以说，为了这节课我几乎绞尽脑汁，四次磨课的经历仍历历在目。
加法交换律如此简单，还有必要教吗？
加法交换律当然要教，教学大纲安排这个内容岂有不教之理？大家都知道，加法交换律在小学一年级的时候就已经伴随学生左右了，比如数的分与合（如图1）；二年级的加法中，交换两个加数的位置进行验算；根据图中信息写出2个或者4个算式的题目（如图2）……都是加法交换律的一种应用。一个伴随了学生几年的如此简单的知识却在四年级下学期时单独列出来专门学习，究竟目的何在？难道仅仅是为了介绍运算律？难道仅仅是为了后面的简便计算奠定基础？
必须教，而且教的要得当！
带着这样的疑问，我翻阅了近十年中国期刊网和教育类期刊等有关加法运算律的所有文章。从中发现，在四年级下学期教学运算律并不仅仅是为后面的简便运算奠定基础和提供保障，它还有更为重要的作用，那就是扩充“数集”。所谓“数集”就是各种数的集合。在扩充“数集”方面，“基本运算律”扮演了一个非常重要的角色，即在扩充后的新的数集（有理数集、实数集、复数集）里，自然数的“基本运算律”必须依然保持有效。加法交换律和加法结合律就是“基本运算律”之一。
在第一学段，学生只是初步体会加法或乘法交换律的思想，教师并没有告诉他们所谓加法或乘法的交换律是什么，而且也没有这个必要。在第二学段，学习加法交换律和加法结合律时，学生就需要经历加法运算律的数学化过程。基于加法运算律的重要作用，这个内容必须教，而且教的要得当。如何才算得当？这也是我在磨课过程中反复思量和推敲的。
既然有必要教，那该怎么教？
看似一节简单的课，其实教起来真的不容易，正所谓“看人挑担很轻松，自己挑担重千斤”。在备课期间，我查阅了小数网、实录课件光盘等视频资料并进行了梳理。在教学“运算律”这一内容时主要有两大类：一类是安排“加法交换律和加法结合律”一个课时和“乘法交换律和乘法结合律”一个课时进行教学。另一类是安排“加法交换律和乘法交换律”一个课时（以张齐华教师执教课例为典型）和“加法结合律和乘法结合律”一个课时进行教学。这两种课时的安排方式都没有原则性上的好与坏，可以说各有千秋。交换律和结合律分开教更能对比出加法交换律、乘法交换律，以及加法结合律、乘法结合律之间的区别和联系，利于学生迁移和联想，通过加法自然而然想到乘法、减法、除法等是否也存在这样的规律。通过几次试教，我确定了把加法交换律和乘法交换律作为一个课时来教学的思路。
教师要窥见加法交换律背后深层次的东西！
整体的教学思路确定了，接下来就是“磨”教学流程的过程。
第一次试教，我以算式62 38为切入口，给出竖式计算的过程，然后提问：“如何对这道加法算式进行验算？”学生回答：“交换62和38的位置列竖式验算。”我追问：“为什么？”也就是这一问，让听课的教师有了很多的想法：为什么在引入环节大做文章呢？
苏霍姆林斯基说：“如果教师不想方设法使学生进入情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，那么这种知识只能使人产生冷漠的态度，而不动感情的脑力活动就会带来疲倦。没有欢欣鼓舞的心情，学习会成为学生沉重的负担。”我的设计意图是通过旧知引入新知，于是在课始，我就想抓住学生的眼球，但是学生并不知道为什么可以交换，而为什么可以交换正是教学加法交换律这一内容所要研究的，显然，让学生用还没学过的知识回答正要学习的内容，是不符合教学逻辑的。
再次执教时，我采用了南京市教研员朱宇辉教师提出的建议，直接用简便计算进行导入，因为学生虽然没有学过加法交换律，但是已经会运用加法交换律湊整的方式进行简便计算。大家都觉得这样的导入方式特别好，我在试教的过程中也非常顺利，但是学习这个内容的关键不是简便计算，而是让学生在观察、比较、验证中探索出运算律，所以加法交换律背后深层次的东西到底是什么？除了前面提到的简便运算、扩充“数集”，还有其他的吗？当然有，就如前面提到的，是让学生通过简单的例子进行观察、比较、验证，从而得出结论，感受从特殊到一般的数学思考过程，感悟数学思想的存在。
如果教数学思想，那么要渗透到何种程度？
提到数学思想，不得不联想到数学素养。国际学生评价项目（PISA）把数学素养界定为“数学素养是一种个人能力，学生能确定并理解数学在社会中所起的作用，得出有充分根据的数学判断和能够有效地运用数学。这是作为一个有创新精神、关心他人和有思想的公民，适应当前及未来生活所必需的数学能力”。
加法交换律这一内容，到底要为学生埋下怎样的有关数学素养的种子呢？我认为：首先，要让学生学会观察，通过观察来发现等号左右两边的两个加数有什么相同的地方和不同的地方；其次，要有追问意识，为什么两个加数交换位置，和依然不变？再次，学生通过举例子验证加法交换律的过程尤为重要，不能走过场，在课堂上举什么样的例子？如何举例？到底举多少个？……都要认真思考。 数学课程标准指出：“有效的数学学习活动不能依赖模仿与记忆，动手实践是学生学习数学的重要方式。”我在教学中引导学生举例子，一开始，学生举例子就是简单地模仿，比如“4 6=6 4”，并没有想过计算验证。这里到底需不需要计算验证？我认为：有必要验证，这是学习数学应该具备的严谨的思维素养。
通过引导，学生举例子的范围慢慢变大（如上图），通过不断地举例、观察、分析与思考，有的学生甚至得出“三个数、四个数相加，交换位置后，它们的和依然不变”的结论，这种学习效果是非常理想的。
“授人以鱼不如授人以渔。”因此，一堂真正具有思想深度的数学课，留给学生的是心灵激荡的数学思考和长久受用的解决问题的数学方法，这是研究与学习数学思想方法的价值之所在。其实数学思想方法的渗透不是在一节课上，而是贯穿整个教学过程的始终，并不是一堂公开课才要兼顾数学思想方法的渗透与数学素养的培养，而应每一堂实实在在的数学课上都要有这个意识。
我在教学加法交换律后提出一个问题：“在其他的运算中是否也存在这样的现象？”看似一个简单的问题，却能引发学生无限的思考。学生自然而然想到减法交换律、乘法交换律、除法交换律，但他们在举例验证时，又遇到了新的问题：被减数和减数，被除数和除数相同时，减法交换律和除法交换律似乎并不成立。对此，我认为只要能够让学生把握这个意识就可以了：验证一个规律成立，要举很多个例子；否定一个规律存在，只要能举出一个反例就够了。事实上，学生能举出很多反例证明不存在减法交换律和除法交换律。
锁定不完全归纳法，为中学学习奠定基础！
不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊情况做的考察中出一般性结论的归纳推理。不完全归纳法又叫普通归纳法。在中学阶段，归纳法尤为重要。那么在小学阶段，为了学生的中学学习打基础，教师应该有意识地将其进行渗透。
学生在举例子验证的过程中往往都是脱口而出，并没有计算，所以我先给出两组题目“54 328=328 54；54 328=382、328 54=382、54 328=328 54”，然后提问：“你觉得哪一种举例更科学、更严谨？如果让你举例子，你会采用哪种方式？”几次试教后发现，学生非常喜欢第二组的举例方式，在后来举例的过程中也能够先计算再写等式。
在举例过程中，举多少个例子才够呢？事实上，举例子并不求多，而是要有典型性和代表性，比如，追问：“举出一位数加一位数仅仅这样就可以了吗？”学生自然而然想到一位数加两位数、两位数加两位数等。这样的引导显然比让学生随意地举例要好得多。
經历数学思考的过程才是学生学习数学意义的真正所在。加法交换律这一小小的知识，蕴含着大道理。在小学阶段为中学的数学归纳法学习提前铺路，对学生的数学学习大有裨益！
没有绝对的真理，要有怀疑的意识！
叶圣陶先生曾说：“教材无非是个例子。”教材设置的加法交换律这一内容很简单，但是要教给学生的思想和素养却是我们教师要认真思考的。
加法交换律看上去似乎对于任何事物都成立，但事实并非如此。在没有时间的空间下（三维以内），加法交换律是完全正确的，一旦有了时间轴，这个定律就不成立了。什么叫没有时间的空间下？什么叫时间轴？其实这些并不重要，重要的是培养学生质疑、反思的意识，让学生在看待事物、学习知识的过程中且学且反思！加法交换律这一非常简单的知识，表面上没有什么教学难度，但实际上是存在一定难度的，其难在教师要通过实际教学分析出最适合学生学习的数学思想，而这也正是这节课教学的目的所在！
（责编 金 铃）
[关键词]加法交换律；数学思想；简单知识
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）32-0016-02
2016年4月22日，我有幸在“现代与经典”活动上执教 “加法运算律”这一课，可以说，为了这节课我几乎绞尽脑汁，四次磨课的经历仍历历在目。
加法交换律如此简单，还有必要教吗？
加法交换律当然要教，教学大纲安排这个内容岂有不教之理？大家都知道，加法交换律在小学一年级的时候就已经伴随学生左右了，比如数的分与合（如图1）；二年级的加法中，交换两个加数的位置进行验算；根据图中信息写出2个或者4个算式的题目（如图2）……都是加法交换律的一种应用。一个伴随了学生几年的如此简单的知识却在四年级下学期时单独列出来专门学习，究竟目的何在？难道仅仅是为了介绍运算律？难道仅仅是为了后面的简便计算奠定基础？
必须教，而且教的要得当！
带着这样的疑问，我翻阅了近十年中国期刊网和教育类期刊等有关加法运算律的所有文章。从中发现，在四年级下学期教学运算律并不仅仅是为后面的简便运算奠定基础和提供保障，它还有更为重要的作用，那就是扩充“数集”。所谓“数集”就是各种数的集合。在扩充“数集”方面，“基本运算律”扮演了一个非常重要的角色，即在扩充后的新的数集（有理数集、实数集、复数集）里，自然数的“基本运算律”必须依然保持有效。加法交换律和加法结合律就是“基本运算律”之一。
在第一学段，学生只是初步体会加法或乘法交换律的思想，教师并没有告诉他们所谓加法或乘法的交换律是什么，而且也没有这个必要。在第二学段，学习加法交换律和加法结合律时，学生就需要经历加法运算律的数学化过程。基于加法运算律的重要作用，这个内容必须教，而且教的要得当。如何才算得当？这也是我在磨课过程中反复思量和推敲的。
既然有必要教，那该怎么教？
看似一节简单的课，其实教起来真的不容易，正所谓“看人挑担很轻松，自己挑担重千斤”。在备课期间，我查阅了小数网、实录课件光盘等视频资料并进行了梳理。在教学“运算律”这一内容时主要有两大类：一类是安排“加法交换律和加法结合律”一个课时和“乘法交换律和乘法结合律”一个课时进行教学。另一类是安排“加法交换律和乘法交换律”一个课时（以张齐华教师执教课例为典型）和“加法结合律和乘法结合律”一个课时进行教学。这两种课时的安排方式都没有原则性上的好与坏，可以说各有千秋。交换律和结合律分开教更能对比出加法交换律、乘法交换律，以及加法结合律、乘法结合律之间的区别和联系，利于学生迁移和联想，通过加法自然而然想到乘法、减法、除法等是否也存在这样的规律。通过几次试教，我确定了把加法交换律和乘法交换律作为一个课时来教学的思路。
教师要窥见加法交换律背后深层次的东西！
整体的教学思路确定了，接下来就是“磨”教学流程的过程。
第一次试教，我以算式62 38为切入口，给出竖式计算的过程，然后提问：“如何对这道加法算式进行验算？”学生回答：“交换62和38的位置列竖式验算。”我追问：“为什么？”也就是这一问，让听课的教师有了很多的想法：为什么在引入环节大做文章呢？
苏霍姆林斯基说：“如果教师不想方设法使学生进入情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，那么这种知识只能使人产生冷漠的态度，而不动感情的脑力活动就会带来疲倦。没有欢欣鼓舞的心情，学习会成为学生沉重的负担。”我的设计意图是通过旧知引入新知，于是在课始，我就想抓住学生的眼球，但是学生并不知道为什么可以交换，而为什么可以交换正是教学加法交换律这一内容所要研究的，显然，让学生用还没学过的知识回答正要学习的内容，是不符合教学逻辑的。
再次执教时，我采用了南京市教研员朱宇辉教师提出的建议，直接用简便计算进行导入，因为学生虽然没有学过加法交换律，但是已经会运用加法交换律湊整的方式进行简便计算。大家都觉得这样的导入方式特别好，我在试教的过程中也非常顺利，但是学习这个内容的关键不是简便计算，而是让学生在观察、比较、验证中探索出运算律，所以加法交换律背后深层次的东西到底是什么？除了前面提到的简便运算、扩充“数集”，还有其他的吗？当然有，就如前面提到的，是让学生通过简单的例子进行观察、比较、验证，从而得出结论，感受从特殊到一般的数学思考过程，感悟数学思想的存在。
如果教数学思想，那么要渗透到何种程度？
提到数学思想，不得不联想到数学素养。国际学生评价项目（PISA）把数学素养界定为“数学素养是一种个人能力，学生能确定并理解数学在社会中所起的作用，得出有充分根据的数学判断和能够有效地运用数学。这是作为一个有创新精神、关心他人和有思想的公民，适应当前及未来生活所必需的数学能力”。
加法交换律这一内容，到底要为学生埋下怎样的有关数学素养的种子呢？我认为：首先，要让学生学会观察，通过观察来发现等号左右两边的两个加数有什么相同的地方和不同的地方；其次，要有追问意识，为什么两个加数交换位置，和依然不变？再次，学生通过举例子验证加法交换律的过程尤为重要，不能走过场，在课堂上举什么样的例子？如何举例？到底举多少个？……都要认真思考。 数学课程标准指出：“有效的数学学习活动不能依赖模仿与记忆，动手实践是学生学习数学的重要方式。”我在教学中引导学生举例子，一开始，学生举例子就是简单地模仿，比如“4 6=6 4”，并没有想过计算验证。这里到底需不需要计算验证？我认为：有必要验证，这是学习数学应该具备的严谨的思维素养。
通过引导，学生举例子的范围慢慢变大（如上图），通过不断地举例、观察、分析与思考，有的学生甚至得出“三个数、四个数相加，交换位置后，它们的和依然不变”的结论，这种学习效果是非常理想的。
“授人以鱼不如授人以渔。”因此，一堂真正具有思想深度的数学课，留给学生的是心灵激荡的数学思考和长久受用的解决问题的数学方法，这是研究与学习数学思想方法的价值之所在。其实数学思想方法的渗透不是在一节课上，而是贯穿整个教学过程的始终，并不是一堂公开课才要兼顾数学思想方法的渗透与数学素养的培养，而应每一堂实实在在的数学课上都要有这个意识。
我在教学加法交换律后提出一个问题：“在其他的运算中是否也存在这样的现象？”看似一个简单的问题，却能引发学生无限的思考。学生自然而然想到减法交换律、乘法交换律、除法交换律，但他们在举例验证时，又遇到了新的问题：被减数和减数，被除数和除数相同时，减法交换律和除法交换律似乎并不成立。对此，我认为只要能够让学生把握这个意识就可以了：验证一个规律成立，要举很多个例子；否定一个规律存在，只要能举出一个反例就够了。事实上，学生能举出很多反例证明不存在减法交换律和除法交换律。
锁定不完全归纳法，为中学学习奠定基础！
不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊情况做的考察中出一般性结论的归纳推理。不完全归纳法又叫普通归纳法。在中学阶段，归纳法尤为重要。那么在小学阶段，为了学生的中学学习打基础，教师应该有意识地将其进行渗透。
学生在举例子验证的过程中往往都是脱口而出，并没有计算，所以我先给出两组题目“54 328=328 54；54 328=382、328 54=382、54 328=328 54”，然后提问：“你觉得哪一种举例更科学、更严谨？如果让你举例子，你会采用哪种方式？”几次试教后发现，学生非常喜欢第二组的举例方式，在后来举例的过程中也能够先计算再写等式。
在举例过程中，举多少个例子才够呢？事实上，举例子并不求多，而是要有典型性和代表性，比如，追问：“举出一位数加一位数仅仅这样就可以了吗？”学生自然而然想到一位数加两位数、两位数加两位数等。这样的引导显然比让学生随意地举例要好得多。
經历数学思考的过程才是学生学习数学意义的真正所在。加法交换律这一小小的知识，蕴含着大道理。在小学阶段为中学的数学归纳法学习提前铺路，对学生的数学学习大有裨益！
没有绝对的真理，要有怀疑的意识！
叶圣陶先生曾说：“教材无非是个例子。”教材设置的加法交换律这一内容很简单，但是要教给学生的思想和素养却是我们教师要认真思考的。
加法交换律看上去似乎对于任何事物都成立，但事实并非如此。在没有时间的空间下（三维以内），加法交换律是完全正确的，一旦有了时间轴，这个定律就不成立了。什么叫没有时间的空间下？什么叫时间轴？其实这些并不重要，重要的是培养学生质疑、反思的意识，让学生在看待事物、学习知识的过程中且学且反思！加法交换律这一非常简单的知识，表面上没有什么教学难度，但实际上是存在一定难度的，其难在教师要通过实际教学分析出最适合学生学习的数学思想，而这也正是这节课教学的目的所在！
（责编 金 铃）