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[摘 要]平均分是在学生已经理解并掌握乘法的意义以及表内乘法口诀的基础上，进一步学习的内容，是建构除法意义的主要基石。从教学实际出发，教师应把握好除法的起始教学课程，让学生充分参与平均分的活动，并适时建构数学模型，以组建和完善学生的知识结构，使学生能轻松找到解决问题的策略，使学生具备发展性学习的能力。
[关键词]平均分；数学模型；概括化认识；符号表征
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）08-0028-03
一、缘起
人教版二年级下册第二单元的内容是“表内除法”，在带领学生初步认识除法后，我在任教的两个班级中布置了一道作业题（如下图）。
结果发现，两题全部做对的学生不到50%，让我感到非常意外。原本以为再简单不过的平均分问题，却成了学生学习的难点，于是我对两个班的答题情况进行了统计：
翻看学生之前的作业，我惊奇地发现他们解答这类问题的错误率一直以来都居高不下，没有几个学生能清楚地表述除法算式所表示的意思，图与文往往不能匹配。如：
在后续教学中，我发现，学生遇到诸如此类的平均分问题时经常会犯错（如下图），更多的学生是束手无策，很多时候解题只能靠蒙和猜。
二、思考
“除法的初步认识”是学习除法的起始课，是学生学习表内除法的基础，也是学生運用除法知识解决问题的关键知识点。对于学生解题出现的错误，经过分析，我认为有两方面原因。
1.对平均分的概念理不清
二年级的学生对“平均分”的认识是感性的，他们知道什么是公平，教师要做的是使学生的感性认识上升到理性认识。
平均分是在学生已经理解并掌握乘法的意义以及表内乘法口诀的基础上进一步学习的内容，是建构除法认知体系的主要基石。教材对平均分的定义是：每份分得同样多，叫作平均分。所有的教学活动都应该围绕“如何有效帮助学生建立起对平均分本质意义的理解与认识”而展开，后面的除法算式也是对平均分的形式化表达，每个数的含义都对应于操作活动中的一部分。教学后，我没有及时对平均分的两种情况进行归纳和总结，没有把“不管哪一种，其本质都是平均分”讲透、讲实，没有帮助学生深刻理解“每份”“几份”等概念，没有梳理总数、每份数、份数之间的数量关系，导致学生在解答时思维结构松散，部分学生只能乱写一通。
2.对平均分的过程理解不深刻
教材中的例2呈现的情境比较简单，直接提出了“把18个橘子平均分成6份”的操作要求。教材中的例3通过呈现有联系的两幅情境图，直观地展示了分的过程和分的方法，并配备了文字说明，通过图、文两方面的表征，强调操作与语言表达的统一。由于有乘法口诀的基础，学生在分时更关注分的结果，他们觉得很简单，因此对平均分的方法不感兴趣。在操作过程中，我也未能组织学生进行交流反馈，带领学生体会平均分方法的多样性。
每个活动都是孤立的，教师没有及时交流和比较平均分的不同方法，总结平均分的共同特征，以致学生对平均分的认识没有形成框架或体系，不能独立解决作业中的题目，学习效果大打折扣。学生的操作流于形式，语言描述不到位，加之没有比较两种不同情况的平均分，因此学生体会不到“平均分的方法虽然不同，用图表示的过程也不同，但其本质都是平均分”这一深刻内涵。
三、践行
对于如何完善平均分的教学，使学生能有效理解平均分，理解除法的意义，我认为可从以下三个方面进行尝试。
1.理清平均分的要领，明晰除法的含义
除法的含义建立在平均分的基础上，但在教学平均分时，教师往往只把目光停留在“什么叫平均分？”“怎样平均分？”上，忽略了对学生理清平均分要领的引导：一是确定平均分成多少份，然后再分（等分）；二是确定每份应分得多少再分（包含）。由于平均分的方法不同，除法算式所表示的含义也就不同。因此让学生掌握平均分的两种方法，是学生理解除法必备的拐杖。
2.重视平均分的过程，渗透模型思想
教师应及时进行必要的梳理和整合，引导学生建立数学模型，使学生能充分理解和掌握知识间的内在联系，帮助学生沟通知识点之间的联系，以达到举一反三、一通百通的效果，提高学生解决问题的能力。
（1）充分操作，帮助理解平均分
二年级学生喜欢动手，这是他们的天性，具体形象思维是他们认知的特点。学生对于平均分的公平性早已明确，却不会有序地“分”，因此教师组织学生开展动手操作活动显得尤为重要，这对帮助学生体验、理解平均分的意义效果明显。
操作A：探究平均分的方法
师：我想请小朋友做老师的小助手，将18个橘子平均分成6份，可以怎么分？
① 学生动手分（用“○”代替橘子）。
② 交流成果（生上台演示）。
生1：1个1个地分。
生2：先2个2个地分，有剩余的话再各放1个。
生3：3个3个地分。
生4：任意拿几个来分，再把多的拿到少的盘里进行调整。
师：这几种分法有什么共同点？
生：每份分得同样多，是平均分。
（教师板书：把18个橘子平均分成6份，每份是3个）
师：你更喜欢哪种分法？为什么？ 操作B：感受平均分的另一种方法
师：10个果冻，每2个一份，可以分成几份？请同学们借助小棒分一分。
（交流、展示、评价）
（板书：每2根一份，10根小棒可以分成5份）
操作C：深化对平均分的认知
师：刚才我们分了橘子，分了果冻，接下来请同学们将12根小棒分一分。
①自由分一分。
②在组内交流你的分法。
③派代表展示。
教师根据学生的交流成果进行分类。
充分的动手操作，让学生体会到平均分可以有不同的分法，并在“不同”中体会“相同”之处，对平均分的两种情况形成全面认识，同时使学生感受解决问题策略的多样性。
（2）语言描述，帮助深化平均分
语言是思维的外壳，语言的发展和思维的发展密切相关。有的学生能够想到、做到，但不能用语言表达出来，语言表达滞后于思维，特别是用数学语言表达时更显得吃力，学生不想说，也不喜欢说。
在教学平均分时，教师要让学生充分操作，使学生敢说、爱说、能说。如学生对平均分的第二种情况掌握不好，教师应为学生多设置圈一圈、说一说、填一填的习题，可以让学生先数一数总数，弄清几个为一份，然后以這个数量为一份，边圈边数，按照1个几，2个几……数下去，最后再说一说每几个一份，可以分成多少份。在练习的过程中不要过分强调平均分的结果而弱化了说清平均分的过程。
学生是不同的个体，由于生活背景不同，他们对同样的事物有着不同的经验与体会，思考一个问题也会有不同的思维习惯及见解，教师要为他们提供充分的表达机会，尊重学生之间的差异。对于描述有困难的学生，教师不必要求他们的语言规范，只要让他们将平均分的两种情况用直观图的方式呈现出来，帮助分析数量关系，同时为今后运用画图策略来解决问题做准备。
例如，我让学生说一说下面两幅图还能表示什么，学生，各抒己见。
学生的“说”贯穿教学始终，他们对平均分自然印象深刻，在充分发挥主动性和创造性的同时真正成为学习的主人。
（3）建立模型，帮助提炼平均分
“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”
如学习“平均分”后，学生已经对平均分的两种分法有了初步的认识，在教学除法时，对于练习题“10÷2=5”，让学生先用小棒摆一摆，表示这个除法算式，再根据摆出的结果说一说这个除法算式所表示的含义（两种情况都用10÷2=5表示，它们的意义一样吗？算式中的10、2、5分别表示什么？）。很多教师到这里就会结束教学，此时若能追问“还有什么事情也能用‘10÷2’=5表示呢？”，学生的思维火花就会被点燃。让学生在生活中找一些有关“平均分”的事例，学生都能完成得很好，在学生找的过程中，教师应有效抓住课堂上课堂上的动态生成。
从学生熟悉的操作入手，让学生通过分一分、圈一圈，获得平均分的直观经验；通过说一说、填一填，让学生尝试用数学语言描述平均分的过程；最后用除法算式表示，让学生经历抽象的建模过程。这样，学生经历了从动作表征到语言表征，再到符号表征的完整探究过程，就能对平均分有更充分的认识，从而真正理解除法的意义。
3.关注平均分的结果，形成反思对比意识
教师在教学中时常强调检查，却冷落解题完结后的“回味”“反思”，这对学生掌握数学知识、能力培养、智力发展和完善个性都极为不利。当问题解决或解决失败后，反思才是学生深入认知的开始。
如果学生有反思意识，懂得对比同一道算式下的左右两边，对比每一边的文字和圈图，就能发现解答中存在的问题，及时调整方法。大部分学生满足于听懂了、题目会做了的现状，很少对自己的学习过程进行回顾和总结，这样日复一日，年复一年，只会依葫芦画瓢，稍有变化就无从着手。教师要提倡学生对每一次学习进行反思：一道题目做完后要想一想“这样对吗？”；一节课结束后静心沉思“我学到了什么？”“老师这样讲对吗？”“我有没有别的方法？”“我还有哪里不会的？”；拿到作业本后想一想“我为什么错？”“我错在哪儿？”“我现在会了吗？”“以后碰到这样的问题还会不会错？”当然，最好准备一本易错题集，方便随时翻看。
总之，教学“平均分”时，教师要全面把握教材的体系，准确把握教材编写的意图，把握好除法的起始教学，让学生充分参与平均分的活动，既要为学生认识除法积累丰富的感性知识，又要促使学生对除法产生亲切感，使学生能轻松找到解决问题的策略，为后继除法的学习打下坚实的基础。
（责编 吴美玲）
[关键词]平均分；数学模型；概括化认识；符号表征
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）08-0028-03
一、缘起
人教版二年级下册第二单元的内容是“表内除法”，在带领学生初步认识除法后，我在任教的两个班级中布置了一道作业题（如下图）。
结果发现，两题全部做对的学生不到50%，让我感到非常意外。原本以为再简单不过的平均分问题，却成了学生学习的难点，于是我对两个班的答题情况进行了统计：
翻看学生之前的作业，我惊奇地发现他们解答这类问题的错误率一直以来都居高不下，没有几个学生能清楚地表述除法算式所表示的意思，图与文往往不能匹配。如：
在后续教学中，我发现，学生遇到诸如此类的平均分问题时经常会犯错（如下图），更多的学生是束手无策，很多时候解题只能靠蒙和猜。
二、思考
“除法的初步认识”是学习除法的起始课，是学生学习表内除法的基础，也是学生運用除法知识解决问题的关键知识点。对于学生解题出现的错误，经过分析，我认为有两方面原因。
1.对平均分的概念理不清
二年级的学生对“平均分”的认识是感性的，他们知道什么是公平，教师要做的是使学生的感性认识上升到理性认识。
平均分是在学生已经理解并掌握乘法的意义以及表内乘法口诀的基础上进一步学习的内容，是建构除法认知体系的主要基石。教材对平均分的定义是：每份分得同样多，叫作平均分。所有的教学活动都应该围绕“如何有效帮助学生建立起对平均分本质意义的理解与认识”而展开，后面的除法算式也是对平均分的形式化表达，每个数的含义都对应于操作活动中的一部分。教学后，我没有及时对平均分的两种情况进行归纳和总结，没有把“不管哪一种，其本质都是平均分”讲透、讲实，没有帮助学生深刻理解“每份”“几份”等概念，没有梳理总数、每份数、份数之间的数量关系，导致学生在解答时思维结构松散，部分学生只能乱写一通。
2.对平均分的过程理解不深刻
教材中的例2呈现的情境比较简单，直接提出了“把18个橘子平均分成6份”的操作要求。教材中的例3通过呈现有联系的两幅情境图，直观地展示了分的过程和分的方法，并配备了文字说明，通过图、文两方面的表征，强调操作与语言表达的统一。由于有乘法口诀的基础，学生在分时更关注分的结果，他们觉得很简单，因此对平均分的方法不感兴趣。在操作过程中，我也未能组织学生进行交流反馈，带领学生体会平均分方法的多样性。
每个活动都是孤立的，教师没有及时交流和比较平均分的不同方法，总结平均分的共同特征，以致学生对平均分的认识没有形成框架或体系，不能独立解决作业中的题目，学习效果大打折扣。学生的操作流于形式，语言描述不到位，加之没有比较两种不同情况的平均分，因此学生体会不到“平均分的方法虽然不同，用图表示的过程也不同，但其本质都是平均分”这一深刻内涵。
三、践行
对于如何完善平均分的教学，使学生能有效理解平均分，理解除法的意义，我认为可从以下三个方面进行尝试。
1.理清平均分的要领，明晰除法的含义
除法的含义建立在平均分的基础上，但在教学平均分时，教师往往只把目光停留在“什么叫平均分？”“怎样平均分？”上，忽略了对学生理清平均分要领的引导：一是确定平均分成多少份，然后再分（等分）；二是确定每份应分得多少再分（包含）。由于平均分的方法不同，除法算式所表示的含义也就不同。因此让学生掌握平均分的两种方法，是学生理解除法必备的拐杖。
2.重视平均分的过程，渗透模型思想
教师应及时进行必要的梳理和整合，引导学生建立数学模型，使学生能充分理解和掌握知识间的内在联系，帮助学生沟通知识点之间的联系，以达到举一反三、一通百通的效果，提高学生解决问题的能力。
（1）充分操作，帮助理解平均分
二年级学生喜欢动手，这是他们的天性，具体形象思维是他们认知的特点。学生对于平均分的公平性早已明确，却不会有序地“分”，因此教师组织学生开展动手操作活动显得尤为重要，这对帮助学生体验、理解平均分的意义效果明显。
操作A：探究平均分的方法
师：我想请小朋友做老师的小助手，将18个橘子平均分成6份，可以怎么分？
① 学生动手分（用“○”代替橘子）。
② 交流成果（生上台演示）。
生1：1个1个地分。
生2：先2个2个地分，有剩余的话再各放1个。
生3：3个3个地分。
生4：任意拿几个来分，再把多的拿到少的盘里进行调整。
师：这几种分法有什么共同点？
生：每份分得同样多，是平均分。
（教师板书：把18个橘子平均分成6份，每份是3个）
师：你更喜欢哪种分法？为什么？ 操作B：感受平均分的另一种方法
师：10个果冻，每2个一份，可以分成几份？请同学们借助小棒分一分。
（交流、展示、评价）
（板书：每2根一份，10根小棒可以分成5份）
操作C：深化对平均分的认知
师：刚才我们分了橘子，分了果冻，接下来请同学们将12根小棒分一分。
①自由分一分。
②在组内交流你的分法。
③派代表展示。
教师根据学生的交流成果进行分类。
充分的动手操作，让学生体会到平均分可以有不同的分法，并在“不同”中体会“相同”之处，对平均分的两种情况形成全面认识，同时使学生感受解决问题策略的多样性。
（2）语言描述，帮助深化平均分
语言是思维的外壳，语言的发展和思维的发展密切相关。有的学生能够想到、做到，但不能用语言表达出来，语言表达滞后于思维，特别是用数学语言表达时更显得吃力，学生不想说，也不喜欢说。
在教学平均分时，教师要让学生充分操作，使学生敢说、爱说、能说。如学生对平均分的第二种情况掌握不好，教师应为学生多设置圈一圈、说一说、填一填的习题，可以让学生先数一数总数，弄清几个为一份，然后以這个数量为一份，边圈边数，按照1个几，2个几……数下去，最后再说一说每几个一份，可以分成多少份。在练习的过程中不要过分强调平均分的结果而弱化了说清平均分的过程。
学生是不同的个体，由于生活背景不同，他们对同样的事物有着不同的经验与体会，思考一个问题也会有不同的思维习惯及见解，教师要为他们提供充分的表达机会，尊重学生之间的差异。对于描述有困难的学生，教师不必要求他们的语言规范，只要让他们将平均分的两种情况用直观图的方式呈现出来，帮助分析数量关系，同时为今后运用画图策略来解决问题做准备。
例如，我让学生说一说下面两幅图还能表示什么，学生，各抒己见。
学生的“说”贯穿教学始终，他们对平均分自然印象深刻，在充分发挥主动性和创造性的同时真正成为学习的主人。
（3）建立模型，帮助提炼平均分
“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”
如学习“平均分”后，学生已经对平均分的两种分法有了初步的认识，在教学除法时，对于练习题“10÷2=5”，让学生先用小棒摆一摆，表示这个除法算式，再根据摆出的结果说一说这个除法算式所表示的含义（两种情况都用10÷2=5表示，它们的意义一样吗？算式中的10、2、5分别表示什么？）。很多教师到这里就会结束教学，此时若能追问“还有什么事情也能用‘10÷2’=5表示呢？”，学生的思维火花就会被点燃。让学生在生活中找一些有关“平均分”的事例，学生都能完成得很好，在学生找的过程中，教师应有效抓住课堂上课堂上的动态生成。
从学生熟悉的操作入手，让学生通过分一分、圈一圈，获得平均分的直观经验；通过说一说、填一填，让学生尝试用数学语言描述平均分的过程；最后用除法算式表示，让学生经历抽象的建模过程。这样，学生经历了从动作表征到语言表征，再到符号表征的完整探究过程，就能对平均分有更充分的认识，从而真正理解除法的意义。
3.关注平均分的结果，形成反思对比意识
教师在教学中时常强调检查，却冷落解题完结后的“回味”“反思”，这对学生掌握数学知识、能力培养、智力发展和完善个性都极为不利。当问题解决或解决失败后，反思才是学生深入认知的开始。
如果学生有反思意识，懂得对比同一道算式下的左右两边，对比每一边的文字和圈图，就能发现解答中存在的问题，及时调整方法。大部分学生满足于听懂了、题目会做了的现状，很少对自己的学习过程进行回顾和总结，这样日复一日，年复一年，只会依葫芦画瓢，稍有变化就无从着手。教师要提倡学生对每一次学习进行反思：一道题目做完后要想一想“这样对吗？”；一节课结束后静心沉思“我学到了什么？”“老师这样讲对吗？”“我有没有别的方法？”“我还有哪里不会的？”；拿到作业本后想一想“我为什么错？”“我错在哪儿？”“我现在会了吗？”“以后碰到这样的问题还会不会错？”当然，最好准备一本易错题集，方便随时翻看。
总之，教学“平均分”时，教师要全面把握教材的体系，准确把握教材编写的意图，把握好除法的起始教学，让学生充分参与平均分的活动，既要为学生认识除法积累丰富的感性知识，又要促使学生对除法产生亲切感，使学生能轻松找到解决问题的策略，为后继除法的学习打下坚实的基础。
（责编 吴美玲）