问题 如图1所示，飞行员进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，在到达竖直状态的过程中，若在不考虑空气阻力的情况下，飞行员受到的重力的瞬时功率变化情况是
　　A。一直增大 [KG*2][WB]B。一直减小
　　C。先增大后减小 [DW]D。先减小后增大
　　一般解法分析：这是一个研究力与速度不在同一直线上时力的瞬时功率的问题，一般来讲不要求进行计算，只需进行定性分析即可。由力与速度方向不共线时力的瞬时功率表达式P=Fvcosθ（其中θ为力F与速度v方向的夹角）可得：
　　初始位置：v0=0，重力的瞬时功率P=0；
　　竖直状态：速度v方向为沿水平向左，与重力方向的夹角θ=90°，则cosθ=0，P=0。
　　在其他位置，θ∈（0，90°），cosθ∈（0，1），任意时刻速度均不为零，因此P≠0，那么此过程中重力的瞬时功率必然是从零开始经历先增大后减小的过程，最终减至零，正确答案选C。
　　思考：上述解法是物理学解题常用方法，学生固然容易理解，但毕竟未做严格证明，若能从数学角度基于变量分析进而对整个过程进行探究，不单能解答此题，更能求解在此过程中瞬时功率的最大值，这对培养学生利用数学方法研究物理问题有重要意义。
　　[TP12GW104。TIF，Y#]
　　证明 如图2所示，质量为m的飞行员在训练的过程中做圆周运动，当运动到A位置时重力的瞬时功率表示为
　　P=mgvcosθ（1）
　　不考虑空气阻力，飞行员的机械能守恒，设秋千杆长为l，则有
　　mglsinθ=[SX（]1[]2[SX）]mv2-0（2）
　　解得 P=mgcosθ·[KF（]2glsinθ[KF）]（3）
　　[LL] [HJ1。5mm]现问题转化为求解cosθ[KF（]sinθ[KF）]在θ∈（0，90°）时的最大值问题。
　　（cosθ[KF（]sinθ[KF）]）4=cos2θ·cos2θ·sin2θ
　　=[SX（]1[]2[SX）]cos2θ·cos2θ·2（1-cos2θ）
　　≤[SX（]1[]2[SX）]×[[SX（]cos2θ cos2θ 2（1-cos2θ）[]3[SX）]]3
　　=[SX（]4[]27[SX）]。
　　当且仅当cos2θ=2（1-cos2θ），即
　　证。
　　高中物理学习是一个对物理概念的理解、物理过程的分析和物理规律的应用过程，借助数学工具对物理学问题进行求解论证，不仅关注到结果，更关注过程本身的变化规律，另一方面，对学生竞赛能力的培养也具有重要意义。
　　（2）设物块所受支持力为FN，所受摩擦力为Ff，拉力与斜[HJ]面之间的夹角为α。受力分析如图9所示。由牛顿第二定律得
　　Fcosα-mgsinθ-Ff=ma（6）
　　Fsinα FN-mgcosθ=0（7）
　　又 Ff=μFN（8）
　　联立（6）、（7）、（8）解得
　　F=[SX（]mg（sinθ μcosθ） ma[]cosα μsinα[SX）]（9）
　　由三角函数的知识得cosα μsinα=[SX（]2[KF（]3[KF）][]3[SX）]sin（60° α）（10）