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摘要：从中考试卷来看，圆与函数综合题是各省中考中出现频率最高的题目之一。但是，对于初中生来说，此类题目难度较大，始终是中考中的一大失分点。调查显示，学生对该类题目的兴趣、态度、认知、解题习惯、总结与反思上存在问题，建立在教学过程中引导学生树立并逐个实现小的学习目标，建立和谐通畅的师生关系，注意培养学生的数学语言转换能力，引导学生学会总结和反思。
关键词：初中生；圆与函数；调查
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）08-0031
圆与函数综合题重点考查的是学生综合运用几何知识和函数知识解决实际问题的能力。平面几何有助于学生逻辑推理和论证能力的培养，函数有助于学生更好地体会数形结合的思想。将两大模块知识融合在一起，可以形成综合性强、形式多变的综合类问题。从中考试卷来看，圆与函数综合题是各省中考中出现频率最高的题目之一。但是，对于初中生来说，此类题目难度较大，始终是中考中的一大失分点。在此，笔者就对学生解决圆与函数综合题中存在的问题加以分析，并提出相应的对策。
一、研究方法
为了对初中生解圆与函数综合题中存在的问题进行定量研究，笔者选取自己所在学校九年级的285名学生作为样本，对其对圆与函数综合题的兴趣、态度、认知、解题习惯和总结反思情況进行了问卷调查。此次调查共发放调查问卷285份，回收问卷280份，其中有效问卷276份，回收率和有效率分别为98.2%和98.6%。对于调查数据，采用Excel2003进行了系统分析。
二、调查结果分析
1. 学生对圆与函数综合题的兴趣
俗话说，兴趣是最好的老师。如果学生没有学习兴趣，那么学习就会成为一种折磨，不可能学懂、学会和解决问题。从调查来看，表示“喜欢”和“非常喜欢”圆与函数综合题的学生累计达到了69.6%，这说明超过三分之二的学生对圆与函数综合题并不反感，这一结果是令人欣慰的。另外，选择“一般”的学生占10.8%，选择“不喜欢”的学生占19.6%。走访选择“不喜欢”的学生，他们给出的理由主要有三个，分别是数学教师要求太严，不喜欢他的教学风格；数学基础太差，跟不上，不喜欢数学；多次努力学习成绩都不理想，内心很失落。这说明，教师的行为对于学生的数学学习兴趣有一定的影响，九年级学生思想和行为都相对稚嫩，容易受外界影响，教师应该注意自己教学行为、教学风格和教学方法对学生的影响，努力促进学生的健康发展。
2. 学生对圆与函数综合题的态度
调查显示，当平时遇到圆与函数的综合题时，11.6%的学生会翻阅自己做过的题目或教科书，这部分学生的思想是积极的，具有专注精神和独立思考精神，思维始终处于兴奋状态，有助于解题效率的提高；43.8%的学生会求助同学或教师，其独立精神和解决问题的积极性略显不足，教师应该适当地改变方式，鼓励他们从自己做过的题目或教科书中寻找答案，如仍失败可给予适当提示；27.2%的学生会胡乱写写应付了事，对于此类学生应当尤其注意，不能直接置之不理，否则学生会变本加厉，长期下去遇到题目将不知如何下手。剩下的17.4%的学生会直接忽略掉，此类学生应该多给予鼓励，找准其兴趣点，引导其构建起适合自己的认知结构，逐渐增加其学习兴趣和解题的积极性。
调查中还发现，当教师讲解圆与函数综合题时，72.5%的学生会跟着教师的思路听讲，17.4%的学生表示遇到听不懂的地方就不听了，另有4.3%的学生表示根据自己的心情决定听还是不听。听不懂就不听的学生多是注意力不能长时间集中，遇到较长的题目或者题目关联性较强时，可适当地开玩笑，让其思维稍微休息一下再重新回到问题上来；听课随心情的学生明显过于情绪化，应该给予更多情感上的关注和关心。还有5.8%的学生表示听也听不懂，主要是因为其学习屡受挫折，缺少成功感，不妨在课堂教学过程中让其多解决一些比较容易的问题。
3. 学生对圆与函数综合题的认知
对于圆与函数综合题，学生的回答基本相同，都认为就是综合了圆与函数知识的问题，这说明他们对此类问题的特征认识并不深刻。对于教师讲解的圆与函数的综合题，能全部理解的学生占48.6%，能理解绝大部分的学生占18.8%，能理解一半以上的学生占9.4%，其他学生则是理解一半以下的。这说明67.4%的学生能理解教师讲解的题目。走访中发现，学生不能理解的往往是圆与函数综合题的最后一问，能听懂一半以上或一半以下的学生多是数学基础较为薄弱的学生。能理解教师讲过的题目，但经常不会自己独立解题的学生所占比例高达82.9%，这说明他们的知识迁移能力较弱，没有将教师讲的数学方法优化整合到自己的认知结构中，遇到同样的问题情境都不能提取到有效的数学方法，更不能解决全新的数学问题了。
4. 学生解决圆与函数综合题的习惯
初中圆与函数综合题通常文字叙述较多，理解题意是解题的第一步。从调查来看，初中学生往往难以理解此类题目的题意，因而无法进入后续的解题步骤。其中只有39.5%的学生会在阅读题目时提取重要信息，52.9%的学生表示偶尔会有该类行为，另有7.6%的学生则完全不会有该类行为；有61.6%的学生在解题时，都是先看问题，而后根据问题寻找已知条件的，这非常令人满意。在遇到圆与函数的综合性大题时，43.8%的学生会“解一步是一步”，而且更多的学生会先建立各知识点之间的联系之后再解题，这说明学生在知识点提取时遇到了障碍，只要突破了这一个问题，就会顺利解题了。
5. 学生对综合题解题的总结与反思
对错题的收集、整理和反思是极有必要的。调查显示，学生对于自己解题中出现的错误态度不一，总是及时改正错误的学生占58.7%，经常会及时改正错误的学生占31.2%，7.2%和2.9%的学生出现此类行为的频率分别是偶尔和从不。走访发现，偶尔会改正错误的学生认为只要听得懂就行了，那么长的答案，抄不抄无所谓，听不懂抄了也白抄。而从不改正错误的学生对数学完全没有兴趣，不会做也不想听。对于错题反思总结，有14.5%的学生认为非常重要，认为一般和不重要的学生分别占23.2%和27.5%，另有34.8%的学生不知道怎样进行反思。在所有学生中，拥有错题本的学生占49.3%，即使这部分学生，也仅仅是把错题和正确答案抄下来，而不会分析自己究竟错在哪里。 三、初中生圆与函数综合题教学策略
针对前面的调查结果，在圆与函数综合题的教学中，应该做到以下几点：
1. 引导学生树立并逐个实现小的学习目标
在教学过程中，应该认真研究学生的解题障碍，因人而异地设立小的学习目标，为其提供最为恰当的学习任务，让他们逐渐体验到成功的乐趣，逐渐喜欢上挑战思维极限，消除畏难情绪，拥有较强的数学学习自信心。如在“圆与二次函数的综合运用”的教学中，可将核心目标“圆与二次函数的综合运用”分解为圆与二次函数的位置关系、取值范围和特殊图形的构造三个小的学习目标，并分别选择一道例题、两道练习题进行教学。在教学中发现学生解题出现错误时，应该与学生共同分析出现错误的原因，帮其消除解题障碍，通过鼓励为其传递积极进取的情绪，获得成功的快乐，逐步实现既定的学习目标。
2. 建立和谐通畅的师生关系
在教学过程中，教师应该在保持自己教学风格的同时，让学生感受到平等的态度。对于学生问的问题、犯的错误，要多些耐心，时刻注意学生的心理变化，给予足够的关心和帮助，真正成为学生学习上的合作者和引导者，关于通过语言行为和非语言行为来表达自己对学生的情感，让学生感觉到自己的期待。如当学生掌握了最基本的圆与一次函数的综合题目的解答思路之后，可以回报以会心的微笑、微微的点头，让他们感到教师对他们的肯定；当学生遇到了圆与二次函数的综合题目一时找不到思路时，亲切地注视着学生，让他们感觉到教师的期待。如此，师生的独立性都得到了尊重，创造性得到了充分发挥，教与学在相互融合中都得到了发展。
3. 注意培养学生的数学语言转换能力
在讲解圆与函数综合题时，应该注意已知条件的分析，并用简单的数学符号写在黑板上，遇到动态问题则要标注清动点和定点，深入挖掘题目隐含条件，逐渐培养学生的数学理解能力和数学语言转换能力，学会将陌生的问题情境转换成为熟悉的问题情境，逐渐形成程序性的知识链接。如对于二次函数与抛物线交点的问题，可以指导学生结合图形，整理成为简洁、准确的数学语言：两个二次方程联立得出根的判断式，如果Δ>0，有两个交点；如果Δ=0，有一个交点；如果Δ<0，没有交点。这样，学生就会对题目隐含条件有更加清晰的认识，再次遇到类似的问题就会直接将其转换为数学语言。
4. 引导学生学会总结和反思
只有不断地反思和总结，才能实现更加有效的提高。因此，在教学中，应该注重学生错题本的建立，并制订相应的监督措施，引导学生利用好错题本。在错题本上，不仅仅应该抄下做错的题目和正确答案，还应该针对出现的错误反思错误的原因，反思错误答案与正确答案之间的差距。只有这样，学生才能具有更加明确的学习目标，总结出更为科学的解题经验。
具体如以下案例：
在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=3，BC=4，如果以C为圆心、以R为半径所做的圆与Rt△ABC的斜边有且只有一个交点，则R的大小为（ ）
A. R=2.4 B. 3 C. R=2.4或3 错误答案：A
正确答案：C
错误原因：将三角形的边等同于直线，从而只考虑到了斜边与圆相切时有且只有一个交点的情况；实际上三角形的边是线段，除了相切的情况之外，还有三角形的边与圆相交于边上一点的情况。
参考文献：
[1] 苏 帆，韩 冰.初中生解决数学应用问题的认识障碍研究综述[J].桂林市教育学院学报（综合版），2000（4）.
[2] 余 瑩.初中动态几何问题解题策略与方法[J].上海中学数学，2017（5）.
[3] 李旭良.聚焦圆与函数珠联璧合中考题[J].中学数学研究（华南师范大学版），2013（14）.
[4] 杨竹君，吴丽娟.圆与锐角三角函数的综合应用[J].云南教育（中学教师），2017（4）.
[5] 华瑞芬.圆与其他知识综合题解法例析[J].数理化学习（初中版），2015（4）.
（作者单位：广东省茂名市信宜市实验学校 525300）
关键词：初中生；圆与函数；调查
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）08-0031
圆与函数综合题重点考查的是学生综合运用几何知识和函数知识解决实际问题的能力。平面几何有助于学生逻辑推理和论证能力的培养，函数有助于学生更好地体会数形结合的思想。将两大模块知识融合在一起，可以形成综合性强、形式多变的综合类问题。从中考试卷来看，圆与函数综合题是各省中考中出现频率最高的题目之一。但是，对于初中生来说，此类题目难度较大，始终是中考中的一大失分点。在此，笔者就对学生解决圆与函数综合题中存在的问题加以分析，并提出相应的对策。
一、研究方法
为了对初中生解圆与函数综合题中存在的问题进行定量研究，笔者选取自己所在学校九年级的285名学生作为样本，对其对圆与函数综合题的兴趣、态度、认知、解题习惯和总结反思情況进行了问卷调查。此次调查共发放调查问卷285份，回收问卷280份，其中有效问卷276份，回收率和有效率分别为98.2%和98.6%。对于调查数据，采用Excel2003进行了系统分析。
二、调查结果分析
1. 学生对圆与函数综合题的兴趣
俗话说，兴趣是最好的老师。如果学生没有学习兴趣，那么学习就会成为一种折磨，不可能学懂、学会和解决问题。从调查来看，表示“喜欢”和“非常喜欢”圆与函数综合题的学生累计达到了69.6%，这说明超过三分之二的学生对圆与函数综合题并不反感，这一结果是令人欣慰的。另外，选择“一般”的学生占10.8%，选择“不喜欢”的学生占19.6%。走访选择“不喜欢”的学生，他们给出的理由主要有三个，分别是数学教师要求太严，不喜欢他的教学风格；数学基础太差，跟不上，不喜欢数学；多次努力学习成绩都不理想，内心很失落。这说明，教师的行为对于学生的数学学习兴趣有一定的影响，九年级学生思想和行为都相对稚嫩，容易受外界影响，教师应该注意自己教学行为、教学风格和教学方法对学生的影响，努力促进学生的健康发展。
2. 学生对圆与函数综合题的态度
调查显示，当平时遇到圆与函数的综合题时，11.6%的学生会翻阅自己做过的题目或教科书，这部分学生的思想是积极的，具有专注精神和独立思考精神，思维始终处于兴奋状态，有助于解题效率的提高；43.8%的学生会求助同学或教师，其独立精神和解决问题的积极性略显不足，教师应该适当地改变方式，鼓励他们从自己做过的题目或教科书中寻找答案，如仍失败可给予适当提示；27.2%的学生会胡乱写写应付了事，对于此类学生应当尤其注意，不能直接置之不理，否则学生会变本加厉，长期下去遇到题目将不知如何下手。剩下的17.4%的学生会直接忽略掉，此类学生应该多给予鼓励，找准其兴趣点，引导其构建起适合自己的认知结构，逐渐增加其学习兴趣和解题的积极性。
调查中还发现，当教师讲解圆与函数综合题时，72.5%的学生会跟着教师的思路听讲，17.4%的学生表示遇到听不懂的地方就不听了，另有4.3%的学生表示根据自己的心情决定听还是不听。听不懂就不听的学生多是注意力不能长时间集中，遇到较长的题目或者题目关联性较强时，可适当地开玩笑，让其思维稍微休息一下再重新回到问题上来；听课随心情的学生明显过于情绪化，应该给予更多情感上的关注和关心。还有5.8%的学生表示听也听不懂，主要是因为其学习屡受挫折，缺少成功感，不妨在课堂教学过程中让其多解决一些比较容易的问题。
3. 学生对圆与函数综合题的认知
对于圆与函数综合题，学生的回答基本相同，都认为就是综合了圆与函数知识的问题，这说明他们对此类问题的特征认识并不深刻。对于教师讲解的圆与函数的综合题，能全部理解的学生占48.6%，能理解绝大部分的学生占18.8%，能理解一半以上的学生占9.4%，其他学生则是理解一半以下的。这说明67.4%的学生能理解教师讲解的题目。走访中发现，学生不能理解的往往是圆与函数综合题的最后一问，能听懂一半以上或一半以下的学生多是数学基础较为薄弱的学生。能理解教师讲过的题目，但经常不会自己独立解题的学生所占比例高达82.9%，这说明他们的知识迁移能力较弱，没有将教师讲的数学方法优化整合到自己的认知结构中，遇到同样的问题情境都不能提取到有效的数学方法，更不能解决全新的数学问题了。
4. 学生解决圆与函数综合题的习惯
初中圆与函数综合题通常文字叙述较多，理解题意是解题的第一步。从调查来看，初中学生往往难以理解此类题目的题意，因而无法进入后续的解题步骤。其中只有39.5%的学生会在阅读题目时提取重要信息，52.9%的学生表示偶尔会有该类行为，另有7.6%的学生则完全不会有该类行为；有61.6%的学生在解题时，都是先看问题，而后根据问题寻找已知条件的，这非常令人满意。在遇到圆与函数的综合性大题时，43.8%的学生会“解一步是一步”，而且更多的学生会先建立各知识点之间的联系之后再解题，这说明学生在知识点提取时遇到了障碍，只要突破了这一个问题，就会顺利解题了。
5. 学生对综合题解题的总结与反思
对错题的收集、整理和反思是极有必要的。调查显示，学生对于自己解题中出现的错误态度不一，总是及时改正错误的学生占58.7%，经常会及时改正错误的学生占31.2%，7.2%和2.9%的学生出现此类行为的频率分别是偶尔和从不。走访发现，偶尔会改正错误的学生认为只要听得懂就行了，那么长的答案，抄不抄无所谓，听不懂抄了也白抄。而从不改正错误的学生对数学完全没有兴趣，不会做也不想听。对于错题反思总结，有14.5%的学生认为非常重要，认为一般和不重要的学生分别占23.2%和27.5%，另有34.8%的学生不知道怎样进行反思。在所有学生中，拥有错题本的学生占49.3%，即使这部分学生，也仅仅是把错题和正确答案抄下来，而不会分析自己究竟错在哪里。 三、初中生圆与函数综合题教学策略
针对前面的调查结果，在圆与函数综合题的教学中，应该做到以下几点：
1. 引导学生树立并逐个实现小的学习目标
在教学过程中，应该认真研究学生的解题障碍，因人而异地设立小的学习目标，为其提供最为恰当的学习任务，让他们逐渐体验到成功的乐趣，逐渐喜欢上挑战思维极限，消除畏难情绪，拥有较强的数学学习自信心。如在“圆与二次函数的综合运用”的教学中，可将核心目标“圆与二次函数的综合运用”分解为圆与二次函数的位置关系、取值范围和特殊图形的构造三个小的学习目标，并分别选择一道例题、两道练习题进行教学。在教学中发现学生解题出现错误时，应该与学生共同分析出现错误的原因，帮其消除解题障碍，通过鼓励为其传递积极进取的情绪，获得成功的快乐，逐步实现既定的学习目标。
2. 建立和谐通畅的师生关系
在教学过程中，教师应该在保持自己教学风格的同时，让学生感受到平等的态度。对于学生问的问题、犯的错误，要多些耐心，时刻注意学生的心理变化，给予足够的关心和帮助，真正成为学生学习上的合作者和引导者，关于通过语言行为和非语言行为来表达自己对学生的情感，让学生感觉到自己的期待。如当学生掌握了最基本的圆与一次函数的综合题目的解答思路之后，可以回报以会心的微笑、微微的点头，让他们感到教师对他们的肯定；当学生遇到了圆与二次函数的综合题目一时找不到思路时，亲切地注视着学生，让他们感觉到教师的期待。如此，师生的独立性都得到了尊重，创造性得到了充分发挥，教与学在相互融合中都得到了发展。
3. 注意培养学生的数学语言转换能力
在讲解圆与函数综合题时，应该注意已知条件的分析，并用简单的数学符号写在黑板上，遇到动态问题则要标注清动点和定点，深入挖掘题目隐含条件，逐渐培养学生的数学理解能力和数学语言转换能力，学会将陌生的问题情境转换成为熟悉的问题情境，逐渐形成程序性的知识链接。如对于二次函数与抛物线交点的问题，可以指导学生结合图形，整理成为简洁、准确的数学语言：两个二次方程联立得出根的判断式，如果Δ>0，有两个交点；如果Δ=0，有一个交点；如果Δ<0，没有交点。这样，学生就会对题目隐含条件有更加清晰的认识，再次遇到类似的问题就会直接将其转换为数学语言。
4. 引导学生学会总结和反思
只有不断地反思和总结，才能实现更加有效的提高。因此，在教学中，应该注重学生错题本的建立，并制订相应的监督措施，引导学生利用好错题本。在错题本上，不仅仅应该抄下做错的题目和正确答案，还应该针对出现的错误反思错误的原因，反思错误答案与正确答案之间的差距。只有这样，学生才能具有更加明确的学习目标，总结出更为科学的解题经验。
具体如以下案例：
在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=3，BC=4，如果以C为圆心、以R为半径所做的圆与Rt△ABC的斜边有且只有一个交点，则R的大小为（ ）
A. R=2.4 B. 3
正确答案：C
错误原因：将三角形的边等同于直线，从而只考虑到了斜边与圆相切时有且只有一个交点的情况；实际上三角形的边是线段，除了相切的情况之外，还有三角形的边与圆相交于边上一点的情况。
参考文献：
[1] 苏 帆，韩 冰.初中生解决数学应用问题的认识障碍研究综述[J].桂林市教育学院学报（综合版），2000（4）.
[2] 余 瑩.初中动态几何问题解题策略与方法[J].上海中学数学，2017（5）.
[3] 李旭良.聚焦圆与函数珠联璧合中考题[J].中学数学研究（华南师范大学版），2013（14）.
[4] 杨竹君，吴丽娟.圆与锐角三角函数的综合应用[J].云南教育（中学教师），2017（4）.
[5] 华瑞芬.圆与其他知识综合题解法例析[J].数理化学习（初中版），2015（4）.
（作者单位：广东省茂名市信宜市实验学校 525300）