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摘 要：近几年的数学学业考试集中体现了“立足教材，考查能力，重视思维”的要求，其试题的原始生长点就是教材。教材中许多例题、习题都蕴涵着丰富的数学思想和思维方法，具有典型的范例作用，极具“开发”价值。从教材的例题、习题出发，培养学生思维能力，要求教师加强研究，不断挖掘教材例题、习题的内在“潜能”，深化教材例题、习题教学，从而激活学生数学思维能力。
关键词：数学教材；二次开发；思维品质；变式拓展
近几年的数学学业考试，其试题大都根植于教材，重点考查学生的分析能力、动手能力、探究能力、创新能力。这就要求教师在平时的教学中增加“研”的时间，充分挖掘教材例题、习题的内在“潜能”，深化教材例题、习题教学，注重学生各种思维能力的培养。
一、变式拓展，培养学生思维的广阔性
思维的广阔性，是指能全面而又细致地考虑问题。思维的广阔性是每一个学生都必须具备的良好思维品质。针对初中学生数学思维单一的特点，笔者通过充分挖掘课本例题、习题，设计一些开放性问题，让学生对条件的不确定性和结论多样性进行探索、猜想。对一个数学题进行变式拓展，从变中总结解题方法，从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，是拓展学生广阔思维空间的有效方法。
[例1]（浙教版七年级上册第119页作业题第6题）已知：如图，△ABC是锐角三角形.分别以AB、AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形CAN，D、E、F分别是MB、BC、CN的中点，连结DE、EF，求证：DE=EF.
分析：连结BN、CM，由正三角形和旋转性质可知，∠ABN绕点A顺时针旋转∠NAB角度与∠ACM重合，可得BN=CM.由题可知，EF和ED分别是△CBN和△BCM的中位线，可得DE=EF.
此题综合考查了正三角形、全等三角形、三角形中位线的性质，同时整合三角形全等和图形变换（旋转）等知识点，思考结论还不难得到∠DEF=120°.
1.变式拓展一：以原题为基本题，改变向外“生长”形状，水平变式挖掘一般结论。
变式1：改变“向外侧作等边三角形”条件为“向外侧作正方形”（图2），O1、O2为正方形的中心，探究O1E与O2E有何关系？
变式2：改变“向外侧作等边三角形”条件为“向外侧作正n边形”（图3），AC、AF是以AC边向外侧所作正n边形的一组邻边；AB、AD是以AB边向外侧所作正n边形的一组邻边，探究O1E与O2E有何关系？
■
图2 图3
分析：变式1是原题的一组水平变式.在学生的最近发展区内，把题目的表面形式特征正三角形变为正方形，同时控制不变的数学结构（旋转全等和三角形中位线性质），可解得O1E=O2E，∠O1EO2是90°.而变式探究2是处理一般正多边形O1E与O2E的关系，由“表层”过渡为“深层”，是为垂直变式.学生在水平变式练习中逐步区分表面形式特征并提取数学结构元素，逐步区分题目中数学结构，使数学思维得到提升，可顺利得到O1E=O2E，∠O1EO2=180°-■=（■）°.变式拓展的精髓就是把认知负荷大的问题，分解为认知负荷小的问题，把垂直变式化为螺旋，循序渐进，分解水平变式.分析变式探究2条件“AC、AF是以AC边向外侧所作正n边形的一组邻边”可延伸为“以AC和AB向外侧作两个相似的等腰三角形”，结论仍为O1E=O2E，而∠O1EO2为等腰三角形顶角度数.
2.变式拓展二：以原题为基础，改变题目条件，垂直变式挖掘深层结论。
变式3：以△ABC三边向外侧作三个等边三角形，如图4.其中O1、O2、O3分别是三个等边三角形的中心.证明：△O1O2O3是正三角形.
分析：此题的证明方法是法兰西第一帝国的皇帝拿破仑发现的.因此，被命为拿破仑定理：若在任意三角形的各边向外（内）作正三角形，则它们的中心构成一个正三角形.该定理的证明，对于初中生来说颇有难度，但所蕴藏的数学史知识可开阔学生数学视野，也可将其弱化为特例，以便学生证明.
二、动静结合，培养学生思维的深刻性
思维的深刻性要求全面深入地理解数学概念和数学命题，解决问题时力求抓住问题的本质和内在联系。它表现为善于深入思考问题，准确把握事物本质和规律，并深入细致地加以分析和解决，而不被一些表面现象迷惑和干扰；解题以后能够总结规律和方法，把获得的知识和方法迁移；应用于解决其他问题。因此，教师要根据学生已有的知识，利用课本素材，引导学生对问题进行再思考。
[例2]（浙教版七年级上册第114页例2）甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.出发后经3小时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行驶了90千米，相遇后经1时乙到达A地.问甲、乙行驶的速度分别是多少？
分析：本例是一个静态的数学问题，学生会用方程的思想解决本题.学生解决上述问题后，教师应引导学生尝试提出新的数学问题，要求学生至少能提出下列三个问题中的两个问题并解答：（1）A、B两地的距离？（2）甲、乙两人出发1小时后，他们相距有多少千米？3.5小时时，又相距多少？（3）经过几小时后，两人相距30千米？
反思：方程是数学的基础，许多数学问题与方程有密切的关系，往往融入运动的元素、分类的思想和函数的思想。要求学生对问题重新设问并解答不仅能巩固和加深学生对范例的理解，更重要的是能激发学生的动态思维。这种由静到动的方法为学生从特殊到一般的数学思想学习打下了基础，利于培养学生思维的深刻性。
三、动手操作，培养学生思维的创造性
数学课程标准指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。因此，在数学课堂教学中教师要善于利用教材的例题、习题，为学生提供操作平台，让学生了解图形在各种变换过程中的变化，亲自发现结论的来龙去脉和可靠性。留给学生一个活动和探索的空间，使学生的创造性思维得到发展。 [例3]（浙教版七年级下册第51页作业题第4题）一个长方形竹园长20m，宽12m，竹园里有一条横向宽度都为1.5m的小径（如图5）你能求出这个竹园中竹子的种植面积吗（除去小径的面积）？说明理由.
分析：此题重点考查学生对平移变换的理解，有部分学生感到有困难，为此，笔者设置了以下变化习题：（1）如图6，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（阴影部分）.（2）如图7，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（阴影部分）.（3）在图8中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示.（4）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积（设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均为b）：S1= S2 S3= .（5）联想与探究：如图9，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你写出除小路外草地部分表示的面积是多少，并说明你的猜想是正确的.
■
反思：通过本题的设置，学生更深刻地理解了平移的性质及在解题中的妙用，通过层层递进，大大降低了原题的难度。这里既有操作性的作图要求，又有思辨性的构造，对学生创造性思维的培养及数学探究能力的培养起到了很好的促进作用。
四、巧用反例，培养思维的严密性
数学是思维的体操，数学课是一门培养学生严密思维的重要学科。所谓思维严密性是指对思维对象全面、深刻、完整的思考。思维严密性是学生形成科学素养的重要途径。在数学学习过程中，学生在数学学习中出现的错误很大程度上是由于思维不够严谨而导致的。教师在教学中和学生一起揭示错误原因，查找思维中的漏洞，每补上一个思维漏洞都可以提高一点思维严密性。
[例4]（浙教版七年级上册第23页课内练习3）如果两个三角形有两边和一个角对应相等，这样的两个三角形一定全等吗？
分析：此题是对三角形全等判定方法“有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（SAS）”理解的考查.该问题由于和教材中的定理不一致，大部分学生肯定会回答“不一定”，这时教师要继续追问：“你能举出一个反例来说明吗？”即让学生用反例来说明命题“有一个角和两边对应相等的两个三角形全等”是错误的.
■
反例：如图10，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，则在△ABD和△ACD中，满足一角（∠B=∠C）和两边（AB=AC，AD=AD）对应相等，但显然△ABD和△ACD不全等.
如图11，在△ABC中，延长BC至点D，使AD=AC，则在△ABC和△ABD中，满足一角（∠B=∠B）和两边（AB=AB，AC=AD）对应相等，但显然△ABC和△ABD不全等.
如图12，在等腰梯形ABCD中，AB=DC，则在△ADC和△CBA中，满足一角（∠DAC=∠BCA）和两边（AC=AC，DC=AB）对应相等，但显然△ADC和△CBA不全等.
反思：数学学习过程中，对于一些不易理解和掌握的知识点，学生常常容易混淆或忽略它们的某些本质属性，尽管教师反复强调，可是学生还是容易出错。这时如果教师在讲解过程中能够适当地举一些反例，能够加强学生对这一知识点的理解，同时也培养了学生思维的严密性。
参考文献：
[1]沃苏青.新课程背景下数学中考关注的问题[J].中国数学教育，2007，（11）.
[2]孙旭花，黄毅英.问题变式：结构与功能的统一[J].课程·教材·教法，2006，（05）.
关键词：数学教材；二次开发；思维品质；变式拓展
近几年的数学学业考试，其试题大都根植于教材，重点考查学生的分析能力、动手能力、探究能力、创新能力。这就要求教师在平时的教学中增加“研”的时间，充分挖掘教材例题、习题的内在“潜能”，深化教材例题、习题教学，注重学生各种思维能力的培养。
一、变式拓展，培养学生思维的广阔性
思维的广阔性，是指能全面而又细致地考虑问题。思维的广阔性是每一个学生都必须具备的良好思维品质。针对初中学生数学思维单一的特点，笔者通过充分挖掘课本例题、习题，设计一些开放性问题，让学生对条件的不确定性和结论多样性进行探索、猜想。对一个数学题进行变式拓展，从变中总结解题方法，从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，是拓展学生广阔思维空间的有效方法。
[例1]（浙教版七年级上册第119页作业题第6题）已知：如图，△ABC是锐角三角形.分别以AB、AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形CAN，D、E、F分别是MB、BC、CN的中点，连结DE、EF，求证：DE=EF.
分析：连结BN、CM，由正三角形和旋转性质可知，∠ABN绕点A顺时针旋转∠NAB角度与∠ACM重合，可得BN=CM.由题可知，EF和ED分别是△CBN和△BCM的中位线，可得DE=EF.
此题综合考查了正三角形、全等三角形、三角形中位线的性质，同时整合三角形全等和图形变换（旋转）等知识点，思考结论还不难得到∠DEF=120°.
1.变式拓展一：以原题为基本题，改变向外“生长”形状，水平变式挖掘一般结论。
变式1：改变“向外侧作等边三角形”条件为“向外侧作正方形”（图2），O1、O2为正方形的中心，探究O1E与O2E有何关系？
变式2：改变“向外侧作等边三角形”条件为“向外侧作正n边形”（图3），AC、AF是以AC边向外侧所作正n边形的一组邻边；AB、AD是以AB边向外侧所作正n边形的一组邻边，探究O1E与O2E有何关系？
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图2 图3
分析：变式1是原题的一组水平变式.在学生的最近发展区内，把题目的表面形式特征正三角形变为正方形，同时控制不变的数学结构（旋转全等和三角形中位线性质），可解得O1E=O2E，∠O1EO2是90°.而变式探究2是处理一般正多边形O1E与O2E的关系，由“表层”过渡为“深层”，是为垂直变式.学生在水平变式练习中逐步区分表面形式特征并提取数学结构元素，逐步区分题目中数学结构，使数学思维得到提升，可顺利得到O1E=O2E，∠O1EO2=180°-■=（■）°.变式拓展的精髓就是把认知负荷大的问题，分解为认知负荷小的问题，把垂直变式化为螺旋，循序渐进，分解水平变式.分析变式探究2条件“AC、AF是以AC边向外侧所作正n边形的一组邻边”可延伸为“以AC和AB向外侧作两个相似的等腰三角形”，结论仍为O1E=O2E，而∠O1EO2为等腰三角形顶角度数.
2.变式拓展二：以原题为基础，改变题目条件，垂直变式挖掘深层结论。
变式3：以△ABC三边向外侧作三个等边三角形，如图4.其中O1、O2、O3分别是三个等边三角形的中心.证明：△O1O2O3是正三角形.
分析：此题的证明方法是法兰西第一帝国的皇帝拿破仑发现的.因此，被命为拿破仑定理：若在任意三角形的各边向外（内）作正三角形，则它们的中心构成一个正三角形.该定理的证明，对于初中生来说颇有难度，但所蕴藏的数学史知识可开阔学生数学视野，也可将其弱化为特例，以便学生证明.
二、动静结合，培养学生思维的深刻性
思维的深刻性要求全面深入地理解数学概念和数学命题，解决问题时力求抓住问题的本质和内在联系。它表现为善于深入思考问题，准确把握事物本质和规律，并深入细致地加以分析和解决，而不被一些表面现象迷惑和干扰；解题以后能够总结规律和方法，把获得的知识和方法迁移；应用于解决其他问题。因此，教师要根据学生已有的知识，利用课本素材，引导学生对问题进行再思考。
[例2]（浙教版七年级上册第114页例2）甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.出发后经3小时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行驶了90千米，相遇后经1时乙到达A地.问甲、乙行驶的速度分别是多少？
分析：本例是一个静态的数学问题，学生会用方程的思想解决本题.学生解决上述问题后，教师应引导学生尝试提出新的数学问题，要求学生至少能提出下列三个问题中的两个问题并解答：（1）A、B两地的距离？（2）甲、乙两人出发1小时后，他们相距有多少千米？3.5小时时，又相距多少？（3）经过几小时后，两人相距30千米？
反思：方程是数学的基础，许多数学问题与方程有密切的关系，往往融入运动的元素、分类的思想和函数的思想。要求学生对问题重新设问并解答不仅能巩固和加深学生对范例的理解，更重要的是能激发学生的动态思维。这种由静到动的方法为学生从特殊到一般的数学思想学习打下了基础，利于培养学生思维的深刻性。
三、动手操作，培养学生思维的创造性
数学课程标准指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。因此，在数学课堂教学中教师要善于利用教材的例题、习题，为学生提供操作平台，让学生了解图形在各种变换过程中的变化，亲自发现结论的来龙去脉和可靠性。留给学生一个活动和探索的空间，使学生的创造性思维得到发展。 [例3]（浙教版七年级下册第51页作业题第4题）一个长方形竹园长20m，宽12m，竹园里有一条横向宽度都为1.5m的小径（如图5）你能求出这个竹园中竹子的种植面积吗（除去小径的面积）？说明理由.
分析：此题重点考查学生对平移变换的理解，有部分学生感到有困难，为此，笔者设置了以下变化习题：（1）如图6，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（阴影部分）.（2）如图7，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（阴影部分）.（3）在图8中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示.（4）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积（设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均为b）：S1= S2 S3= .（5）联想与探究：如图9，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你写出除小路外草地部分表示的面积是多少，并说明你的猜想是正确的.
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反思：通过本题的设置，学生更深刻地理解了平移的性质及在解题中的妙用，通过层层递进，大大降低了原题的难度。这里既有操作性的作图要求，又有思辨性的构造，对学生创造性思维的培养及数学探究能力的培养起到了很好的促进作用。
四、巧用反例，培养思维的严密性
数学是思维的体操，数学课是一门培养学生严密思维的重要学科。所谓思维严密性是指对思维对象全面、深刻、完整的思考。思维严密性是学生形成科学素养的重要途径。在数学学习过程中，学生在数学学习中出现的错误很大程度上是由于思维不够严谨而导致的。教师在教学中和学生一起揭示错误原因，查找思维中的漏洞，每补上一个思维漏洞都可以提高一点思维严密性。
[例4]（浙教版七年级上册第23页课内练习3）如果两个三角形有两边和一个角对应相等，这样的两个三角形一定全等吗？
分析：此题是对三角形全等判定方法“有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（SAS）”理解的考查.该问题由于和教材中的定理不一致，大部分学生肯定会回答“不一定”，这时教师要继续追问：“你能举出一个反例来说明吗？”即让学生用反例来说明命题“有一个角和两边对应相等的两个三角形全等”是错误的.
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反例：如图10，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，则在△ABD和△ACD中，满足一角（∠B=∠C）和两边（AB=AC，AD=AD）对应相等，但显然△ABD和△ACD不全等.
如图11，在△ABC中，延长BC至点D，使AD=AC，则在△ABC和△ABD中，满足一角（∠B=∠B）和两边（AB=AB，AC=AD）对应相等，但显然△ABC和△ABD不全等.
如图12，在等腰梯形ABCD中，AB=DC，则在△ADC和△CBA中，满足一角（∠DAC=∠BCA）和两边（AC=AC，DC=AB）对应相等，但显然△ADC和△CBA不全等.
反思：数学学习过程中，对于一些不易理解和掌握的知识点，学生常常容易混淆或忽略它们的某些本质属性，尽管教师反复强调，可是学生还是容易出错。这时如果教师在讲解过程中能够适当地举一些反例，能够加强学生对这一知识点的理解，同时也培养了学生思维的严密性。
参考文献：
[1]沃苏青.新课程背景下数学中考关注的问题[J].中国数学教育，2007，（11）.
[2]孙旭花，黄毅英.问题变式：结构与功能的统一[J].课程·教材·教法，2006，（05）.