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量子群理论是自上世纪八十年代中期发展起来的代数分支,是代数学中非常重要的研究内容。近二十年以来,其理论被人们广泛的讨论并且取得了巨大的发展。本硕士论文主要研究当q不是单位根时,量子包络代数Uq(sl2)在量子多项式代数Cq[x±1,y]上的模代数结构的分类以及所对应的模代数的不变子代数,其中量子包络代数Uq(sl2)是由k,k-1,e,f生成的C-结合代数,且生成元满足下列关系:
kk-1,k-1k=1,
ke=q2ek,kf=q-2fk,
ef-fe=k-k-1/q-q-1。Cq[x±1,y]是由x,x-1,y生成的量子多项式代数且生成元之间满足关系式:
yx=qxy,xx-1=x-1x=1。
具体地,在第一部分,主要介绍了量子包络代数Uq(sl2)的研究背景,及其前人在研究量子包络代数Uq(sl2)在量子多项式代数上模代数结构的相关结论。并进一步引出本论文的研究对象:量子包络代数Up(sl2)在量子多项式代数Cq[x±1,y]上的模代数结构。
在第二部分,罗列了量子包络代数Uq(sl2)和量子多项式代数Cq[x±1,y]的一些主要结果:
·量子包络代数Up(sl2)具有的Hopf-代数结构(引理2.2.1);
·量子多项式代数Cq[x±1,y]的生成元之间满足的一个重要的关系式(引理2.2.2);
·量子多项式代数Cq[x±1,y]的自同构的分类(引理2.2.3),即Cq[x±1,y]的任一自同构ψ具有以下形式:ψ(x)=αx,ψ(y)=βxny,其中α,β∈C*,n∈Z。
在第三部分,主要讨论了k作用具有形式:k·x=αx,k·y=βxny,其中α,β∈C*,n∈Z,n≠0时,量子包络代数Uq(sl2)在量子多项式代数Cq[x±1,y]上的模代数结构的分类,主要结论有:
定理3.1设Cq[x±1,y]是Uq(sl2)的模代数且k的作用具有形式:k·x=αx,k·y=βxny,其中α,β∈C*,n∈Z,n≠0.则模代数结构由参数α,β,n,α确定,具体作用形式为:
e·x=αxm+1,e·y=cxm+ny+dxmy,
f·x=bx-m+1,f·y=hx-my+gx-m-ny。其中α,b∈C*,c,d,h,g∈C,且系数满足以下关系:
当两组不同的参数(α,β,n,α)和(α’,β’,n’,α’)满足关系式:α=α’,n=n’时,则这两组参数对应的模代数是同构的。
在第四部分,主要讨论了k的作用具有形式:k·x=αx,k·y=βy,α,β∈C*时,量子多项式代数Cq[x±1,y]成为量子包络代数Uq(sl2)上的模代数结构的六种类型。
在第五部分,主要讨论了在第三部分和第四部分给出的量子包络代数Uq(sl2)在量子多项式代数Cq[x±1,y]上的模代数结构所对应的不变子代数。