在这篇论文的第一章预备知识中，介绍了周期微分方程的平均方程，判定周期方程周期解的两个定理，还介绍了细焦点的定义以及用形式级数法求焦点量的详细方法步骤。在第二章中，我们先给出了一个R3中的多项式系统 8>><>>: _ x = y; _ y = ?x; _ z = 0: 它是球面上平行于赤道的平行流。我们对其进行奇三次扰动，扰动方程设为 8>><>>: _ x = P(x; y; z) = y + "P3; _ y = Q(x; y; z) = ?x + "Q3; _ z = R(x; y; z) = "R3: 其中P3;Q3;R3都是x; y; z的实系数奇三次多项式。设扰动系统仍以(0; 0;§1)为仅有的两个奇点，扰动系统为单位球面系统（即x2 + y2 + z2 = 1是它的不变代数曲面）。我们给出了扰动系统为单位球面系统的充要条件，在此条件下，引入变换8><>: x = p1 ? Z2 cos μ; y = p1 ? Z2 sin μ; ?1 < z < 1 z = z: 将三维的球面系统转化为二维平面系统 8<: _ z = "R3; _ μ = Q cos μ ? P sin μ p1 ? Z2 = ?1 + " Q3 cos μ ? P3 sin μ p1 ? Z2 , ?1 + " G: 进而转化为一维的周期系统dz dμ = "R3(z; μ) ?1 + "G(z; μ) = ?"R3(z; μ)?"2 R3G+o("2)， 于是我们利用第一章第一节中介绍的平均方法分析了球面上的极限环情况。同 时我们应用中心流形定理，将三维奇点(0; 0;§1)转化为二维奇点(0; 0)来研究， 判定了奇点(0; 0;§1)的性质。综合证明我们得到了定理2.1，球面上存在唯一的 一个极限环，且在赤道附近。我们又对平行流同时进行三次和五次扰动，也让 扰动系统是球面系统，应用同样的方法，我们得到了定理2.2，球面上最多出 现3个极限环。在第三章中，我们对球面平行流进行一般的2n + 1(n ? 1)次齐次扰动，扰 动系统设为8>><>>: _ x(t) = P(x; y; z) = y + " P2n+1; _ y(t) = Q(x; y; z) = ?x + "Q2n+1; _ z(t) = R(x; y; z) = "R2n+1: 其中" > 0， P2n+1;Q2n+1;R2n+1 是x; y; z 的实系数的2n + 1 次齐次多项式。设 球面x2 + y2 + z2 = h (> 0) 是扰动系统的首次积分，并不妨设扰动系统仍以南 北极点(0; 0;§ph) 为仅有的两个奇点，我们研究球面上极限环的情况。通过归 纳证明，我们得到球面族x2 + y2 + z2 = h(> 0)是扰动系统首次积分的充要条 件（见引理3.1）。应用平均方法，我们推得在球面x2 + y2 + z2 = h(> 0)是扰 动系统首次积分的条件下，每个球面上最多有2n ? 1个极限环（见定理3.1）。 对n = 2; 3的情形，我们分别举例说明了定理3.1。 第四章，对R3中的一般奇三次系统 8>><>>: _ x = P(x; y; z) = a1x + a2y + a3z + a4x3 + a5y3 + a6z3 + ::: + a13xyz; _ y = Q(x; y; z) = b1x + b2y + b3z + b4x3 + b5y3 + b6z3 + ::: + b13xyz; _ z = R(x; y; z) = c1x + c2y + c3z + c4x3 + c5y3 + c6z3 + ::: + c13xyz: 设x2 + y2 + z2 = h2(h > 0)是该系统的首次积分，并不妨设(0; 0 § h)是系统的奇点，由中心流形定理，我们将三维奇点转化为二维奇点来研究。我们用形式级数法求得了奇点的前三阶焦点量，分析了球面族上一般奇三次系统奇点的Hopf分叉随h的变化情况（见定理4.1）。这章我们发现一个有趣的现象，在封闭的首次积分曲面族上，Hopf分叉是和h有关的，而不是无关的，与我们直觉不一致。第五章，我们给出了形式级数法求解前三阶焦点量的Maple程序。人们常用Liapunov方法或标准型法求焦点量，但很不方便，常用的公式也只是到二阶焦点量。本文采用形式级数法，用Maple编了个5页的小程序，即可算出前3阶的焦点量的具体表达式，而且运行速度很快。