在信号处理的众多分支领域中,观测模型均可表示为线性系统,求解它即为信号恢复。然而,根据实际应用建模而成的系统矩阵通常是秩亏或病态的,使求解此线性系统成为不适定或病态问题,因此解不唯一或不稳定。为求得有意义的解,需引入关于原信号的先验信息。在信号处理中,稀疏表示是一种常用的先验模型,而字典在其中扮演着重要角色。本文对基于稀疏表示的信号恢复算法,以及字典学习算法展开研究,既为某些现有算法提供改进版本或新的收敛性分析,亦提出新的算法。这些算法主要基于合成模型,包括其传统稀疏、卷积稀疏和双稀疏三种形式,而解析模型亦有所涉及。本文贡献如下:·研究过松弛单调快速迭代收缩阈值算法（Monotone Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm,MFISTA）,针对其收敛条件非常繁琐、不方便验证的问题,提出一种改进版本。通过理论分析表明,一个简单明了的充分条件保证改进版本的收敛性。此外,实验显示在系统矩阵是秩亏和病态的情况下改进版本能够加速MFISTA,而原始版本并未实现此加速。·研究如何进一步加速MFISTA,提出利用序列子空间优化对其加速,并提出一种自适应方式设置序列子空间中先前传播方向的数量。通过实验表明,利用序列子空间优化对MFISTA有非常明显的加速效果。该加速算法基于MFISTA,收敛性得到保障。·针对迭代稀疏化投影（Iterative Sparsification Projection,ISP）算法框架的非平滑版本目前尚无收敛性证明的问题,对其中的ISP-soft算法实例提供一种基于不动点映射的收敛性分析。数值实验验证了其中一些收敛结论。·虽然正交匹配追踪算法的收敛性已得到证实,但是它在卷积稀疏编码情况下的收敛性研究不够深入。鉴于此,利用条相干和条限制等距性质这两个更精细的新工具给出一种提高的收敛性分析,推导更深刻的收敛条件和更紧的误差上界。·研究基于双稀疏模型的稀疏字典学习,将其建模为一个无约束双凸优化问题,并基于块邻近梯度框架推导一种算法求解该问题,最后提供算法的收敛性分析和复杂度分析。通过实验表明,提出的算法优于之前文献给出的两种稀疏字典学习算法。·对合成模型有了一些研究之后,开始关注解析模型。提出一种算法可有效求解松弛解析最小绝对收缩与选择算子（Relaxed Analysis Least Absolute Shrinkage and Selection Operator,RALASSO）优化问题。进一步地,不局限于稀疏的范畴,将RALASSO中的l1正则项替换为一个一般的正则函数,推导一种算法框架求解此一般的优化问题。实验展现了所提算法的优良性能。