极限环问题是微分方程定性理论研究中一个重要的问题,同时也是Hilbert提出的世纪难题第十六问的一部分。本文基于微分方程的定性与稳定性理论,研究了两类系统极限环的存在性、稳定性、唯一性、数量等性质,结合理论证明与数值模拟,进一步丰富了极限环理论。本文首先研究了一类三次多项式Lienard系统,考虑了该类系统在满足条件a1a3 ≧ 0时极限环的存在性与稳定性。将条件a1a3 ≧ 0分为三种情况进行了考虑,运用Filippov变换,张芷芬定理以及环域定理等方法,得到了如下一些结论:当b2≠0时,若b3<0,b1>0,a1=0,a3>0,系统至多存在一个极限环,若存在则稳定;并进一步的证明当3a3+4a2b2>0时,系统存在稳定的极限环;以及当b2≠0时,若b3<0,b1>0,a1≠0,a3=0,系统一定不存在极限环;并进一步的举出了满足上述条件的例子,并进行数值模拟。补充了对于该类三次多项式Lienard系统极限环性质在系数条件a1a3≧ 0下研究的空白。其次,本文研究了一类加入了高次项的分段线性系统,利用研究的系统能够直接求解出解轨线显式表达式这一情况以及将y轴左右两侧从同一初始点出发的轨线能够再次在y轴相交,以形成闭环的条件的直观性质,通过计算出再次相交的交点坐标,寻找极限环存在的条件,得到了该分段系统至多存在一个极限环的结论,丰富了对于加入高次项的分段函数极限环的研究。最后,本文将之前研究的两个系统结合,考虑了分段Lienard系统极限环的存在性、稳定性及其数量等性质。基于前两个系统已有的结论以及奇点分析,运用环域定理,构造内外境界线,得到了当该分段Lienard系统有五个奇点并满足相应条件时,存在两个极限环,其中内侧极限环稳定而外侧不稳定这一结论。完善了本文两个系统之间的关系,对于目前研究很少的分段Lienard系统极限环是一个重要的补充。