Hessian方程是一类重要的完全非线性微分方程,在微分几何、复几何、计算几何、偏微分方程、最优运输问题及凸体理论中均有高频率的出现。甚至在近些年方兴未艾的图像处理技术,人工智能理论等也能寻其踪迹。研究Hessian方程的原动力主要来自于它们在微分几何中的广泛应用。如共形几何中的k-Yamabe问题等价于求解紧流形上一个完全非线性椭圆型Hessian方程;预设曲率测度的Alexandrov问题等均等价于Hessian方程的一个特殊情形——Monge-Ampère方程。凡此种种,不胜枚举。因此对完全非线性Hes si an方程的研究具有重要的理论意义和应用价值。Hessian方程在形式上它是一类依赖于其解的Hessian矩阵特征值的偏微分方程,这导致了 Hessian方程本身的复杂性和求解的高难度。自1976年丘成桐先生发展强有力的先验估计的方法成功解决了 Calabi猜想以来,尽管中外数学家所研究的各种形式的Hessian方程层出不穷,但先验估计方法仍不失其为他们解决问题的主要手段之一。本文对几类Hessian方程进行研究,通过证明容许解的Cα先验估计,利用Evans-Krylov定理和Schauder理论建立解的更高阶估计,应用连续性方法和拓扑度定理得到问题解的存在性。本文的主要工作如下。首先,证明了在紧黎曼流形上一类完全非线性Hessian方程障碍问题C1,1解的存在性。我们利用扰动技巧,通过引入与ε（>0）有关的正惩罚项将求解障碍问题转化成求解含有奇异扰动项的通常Hessian方程的Dirichlet问题。在给定的方程结构性的条件下和假设方程下解存在的情况下,证明了与ε（>0）无关的Cα先验估计,从而由紧性得到障碍问题的C1,1解的存在性。其次,在Ω（?）Rn 有界域上用Perron方法证明了一类二阶偏微分方程障碍问题的连续粘性解的存在性和唯一性。能够得到这一结论的关键在于Burles在一定的条件下建立了二阶偏微分方程粘性下解的Cα正则性。因此在Perron过程中恰当选取满足Arzela-Ascoli定理的函数类,进而得到连续粘性解的存在性,在假设比较原理成立的情况下,进一步可证明连续粘性解的唯一性。作为应用,我们考虑了 k-Hessian方程,在某些特殊情况,我们同样可以得到其粘性下解的Cα正则性。最后,建立MT三M ×(0,T]上的一类完全非线性抛物型Hessian方程的Dirichlet问题容许解的Cα先验估计。为了避免对流形边界增加过多的几何假设,这里假设了方程的下解的存在性。在估计的过程中,我们一般在算子结构的假设下考虑容许解在临界点的性质,结合抛物型Hessian方程本身的一些特点,利用比较原理及一些基本不等式和技巧逐步得到相应的估计。