图的染色理论是图论中的一个重要分支.本文我们主要研究图的全染色问题和线性荫度问题。　　一个图G的k-全染色是指用k种颜色对G的顶点和边同时进行染色，使得相邻的元素都染不同的颜色.如果一个图G可以用k种颜色全染色，则称图G是k-可全染色的.图G的全色数x"(G)是指使图G是k-可全染色的最小正整数k.很明显，x"(G)≥△(G)+1.Behzad和Vizing各自独立的提出了一个著名的猜想，被称作全染色猜想(TCC)。　　猜想1（全染色猜想）对任意图G，有△(G)+1≤x"(G)≤△(G)+2。　　当△=3时，这个猜想被Rosenfeld和Vijayaditya证明了.当△≤5时，这个猜想被Kostochka证明了.对平面图，还有更多的结论被证明出来.Borodin证明了对于△≥9的平面图全染色猜想成立.应用四色定理之后，这个结论被推广到△≥8.1999年，Sanders和Zhao又将它推广到了△≥7.所以，平面图的全染色猜想只有△=6这种情形还没有得到证明.当图G的最大度△=6时，如果同时增加一些围长的限制或者圈的限制条件，则有很多相关的结果。　　在本文中，所有的曲面都是无边缘的紧2-维流形.图G在曲面S上的一个嵌入是指存在一个1-1连续映射h∶G→S，使得S-h(G)的每个连通分支均为一个2-胞腔，这种嵌入也叫做一般嵌入。　　我们考虑的图G是可以嵌入到欧拉示性数x(∑)≥0的曲面上的图.Zhao证明了当△≥8时，对于可嵌入到欧拉示性数x(∑)≥0的曲面Σ上的图G，全染色猜想成立.Wang和Liu将其推广到△≥7。　　本文第二章中，我们证明了几个全染色的结论:对于可以嵌入欧拉示性数x(∑)≥0的曲面∑上的图G，有以下结论:　　(1)△(G)=6，图G不含相交3-圈和相交4-圈时，全色数x"(G)=△(G)+1。　　(2)△(G)=7，图G不含4-圈时，全色数x"(G)=△(G)+1。　　(3)△(G)≥6，图G不含5-圈且不含相邻4-圈时，全色数x"(G)≤△(G)+2。　　一个线性森林是每一个极大连通分支均为路的图.对于一个图G，φ是从E(G)到{1，2，…，t}的映射.若对任意α（1≤α≤t),均有染α色的边的导出子图是一个森林，则称φ为图G的一个线性t-染色.图的线性荫度是使得G有一个线性t-染色的最小值，记为la(G).此定义由Harary于1970年提出.下面是一个著名的线性荫度猜想.　　猜想2对任意简单图G，有「△(G)/2)」≤la(G)≤「△(G)+1/2」。　　Péroche证明了:即使△(G)=4，确定图G的线性荫度也是一个NP-困难问题。　　Wang等证明了对于可以嵌入到欧拉示性数非负的曲面中的图，线性荫度猜想是成立的.Wang等进而又证明了对于可以嵌入到欧拉示性数非负的曲面中的图，当△(G)≥9时，la(G)=「△(G)/2」。　　本文第三章中我们主要针对可以嵌入到欧拉示性数x(∑)≥0的曲面∑上的图G，研究一些添加了限制的图的线性荫度。主要结果如下。　　图G是可以嵌入欧拉示性数x(∑)≥0的曲面∑上的图，对一个整数d，d≥4，且△(G)≤2d，当满足下列条件之一:　　(1)△(G)≥7，不含4-圈，　　(2)△(G)=7，不含5-圈，则G有一个d-线性染色。