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本篇博士论文主要研究了非线性微分方程的多层扩充法.本文针对较一般的非线性算子,在文献[40]的基础上,发展了求解第二类非线性算子方程的多层扩充法理论框架,证明了该算法具有最优收敛阶和线性计算复杂度.然后给出了求解非线性微分方程两点边值问题和两类重要非线性发展方程的多层扩充算法,并获得了相应的误差估计和收敛性结果.数值结果验证了理论估计的正确性和算法的高效性.全文共分为六章.
第一章为绪论.简单介绍了非线性算子的基本概念和性质,以及求解非线性算子方程的投影逼近格式,然后简要回顾了多尺度快速算法与多层扩充算法的发展历史.最后介绍了本文的主要工作.
第二章研究第二类非线性算子方程的多层扩充法.给出了求解第二类非线性算子方程的多层扩充法框架,证明了该算法可以达到最佳收敛阶.同时给出了基于多尺度Galerkin方法和配置法的多层扩充法的离散形式,并在一定条件下,证明了算法具有线性计算复杂度.
第三章给出了求解非线性微分方程两点边值问题的多层扩充法,证明了扩充解具有最佳收敛阶,并通过数值算例验证了理论估计的正确性.
第四章对非线性双曲型的代表方程-sine-Gordon方程,给出相应的多层扩充算法.本章首先给出sine—Gordon方程的半离散和全离散格式的H1和L2误差估计.然后证明它的全离散格式在每个时间步上等价为一个非线性算子方程,并符合第二章的多层扩充法框架.最后将多层扩充算法应用于sine-Gordon方程的求解,并给出了扩充解的误差估计,证明了扩充解具有与投影解相同的最佳收敛阶.
第五章对非线性抛物型的代表方程-Burgers方程,给出相应的多层扩充算法.本章先给出求解Burgers方程的Crank-Nicolson-Galerkin格式,并获得近似解的H1和L2误差估计.然后证明它的全离散格式在每个时间步上等价于一个非线性算子方程,并符合第二章的多层扩充法框架.最后我们给出求解Burgers方程的多层扩充算法和误差估计,证明了扩充解具有与投影解相同的最佳收敛阶.
第六章给出多层扩充法求解sine-Gordon方程和Burgers方程的数值实验,通过数值算例验证了理论估计的正确性.