分段线性系统振动问题是一类典型的不光滑非线性问题,能展现出非常复杂的动力学行为。由于分段线性系统的动力学特性有利于工程设计和应用,其被广泛应用于工程实践中。除了人为设计的结构和系统外,结构装备的生产加工误差、装置的安装误差以及运行使用中产生的磨损和破坏等,都可能会导致分段线性振动的存在。因此,对分段线性系统振动问题的研究不仅具有理论意义而且具有非常重要的现实价值。对于简单的分段线性系统的自由振动,其动态响应可以通过拼接分段的解析积分精确得到,但对于强迫振动则只能采用近似解析法或者数值方法计算其动态响应。近似解析法通常用于寻找自由度数目较少的弱非线性系统可能存在的周期解。因而对于分段线性振动问题的研究,越来越多地采用数值方法,尤其是分段线性系统的自由度数目很多以及非线性很强时。由于分段线性系统在不同状态下具有不同的力学特性,因此建立能够准确判断分段线性结构应力状态的数学分析模型并发展相应的稳定高效的时间积分方法对分段线性系统动力分析显得尤为重要。本博士学位论文以分段线性系统振动问题的数值算法研究为主线,分别针对tensegrity结构、周期性分段线性结构和移动振动系统问题,发展了相应的高效率动力分析数值算法。主要研究内容如下:(1)结合精细积分方法和Newton-Raphson方法,提出了一种计算tensegrity结构动态响应的高精度和高效率的数值积分方法。通过采用Newton-Raphson方法来确定tensegrity结构中的绳索由拉伸状态变为松弛状态或由松弛状态变为拉伸状态的准确时间,然后将整个积分域分成一系列时间步,使得这些时间步内,没有任何绳索经历拉伸和松弛的状态变换。在这样的一个时间步内,tensegrity结构就能被看作是一个线性结构,然后采用精细积分方法精确求解其动态响应。基于该算法,详细分析了 tensegrity结构在简谐荷载作用下稳态运动的动力学行为,包括稳定的周期运动、准周期运动、混沌和分岔行为等。数值算例表明,该方法具有很高的精度和效率。(2)针对含有大量间隙的周期性分段线性系统,建立了求解其动力响应的参变量变分原理和高效率数值积分方法。通过参变量变分原理来描述间隙弹簧,将复杂的非线性动力问题转化为线性动力问题和线性互补问题。线性互补问题可以采用已发展成熟的二次规划算法求解,该算法避免了求解过程中的迭代和刚度阵更新,并能准确判断间隙弹簧的压缩和松弛状态。基于结构的周期性和能量传播速度的有限性,提出一种求解系统动态响应的高效率精细积分方法。该算法指出周期结构的矩阵指数中存在大量的相同元素和零元素,从而不需要重复计算和存储这部分元素,节省了计算量并降低了计算机存储要求。通过与Runge-Kutta方法的比较,验证了此方法的正确性和高效率。(3)建立了移动振动系统和周期性分段线性结构耦合系统动力接触和非线性分析的参变量变分原理,并形成了一套高效、精确的动力分析数值模拟方法。基于参变量变分原理,建立了描述移动振动系统与周期性分段线性结构动力接触的控制方程,并发展了相应的算法,该算法避免了使用接触刚度,能准确判断接触状态并求解出接触力。建立了周期性分段线性结构的参变量变分原理,并发展了相应的二次规划算法,该算法避免了求解过程中的反复迭代和刚度阵更新,能够准确描述分段线性结构的状态。利用结构的周期性特点,以精细积分方法为基础发展了一套求解周期结构在移动荷载作用下动态响应的高效率数值时间积分方法,该方法基于精细积分方法,具有计算稳定性好和精度高的特点,利用结构的周期性特点,只需要计算单个基本周期结构原胞的矩阵指数,大大减小了计算规模,从而提高了计算效率,并降低了计算机存储要求。(4)建立了求解匀速移动振动系统与周期结构相互作用稳态解的半解析方法。基于稳态相互作用力的周期性,将其展开为系数待定的Fourier级数形式,将耦合系统的振动问题转换为求解振动系统和周期结构在移动简谐荷载作用下的稳态响应。利用结构的周期性特点,结合Fourier变换、模态叠加法和周期结构能带理论,发展了两种求解周期结构在匀速移动简谐荷载作用下的稳态响应的半解析方法。该算法能直接得到匀速移动振动系统和周期结构相互作用力的稳态解,避免了长时间积分;并且基于周期结构的能带理论,只需要采用一个基本周期原胞的刚度矩阵和质量矩阵即可计算得到完整周期结构的自振频率和模态,提高了计算效率。