【摘 要】
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谱极值图论问题主要研究与图的各种矩阵表示,包括邻接矩阵、拉普拉斯矩阵或无符号拉普拉斯矩阵等的谱性质,特别是不含有特殊子结构的图类中的谱半径极值问题.近年来,有关图的邻接谱、拉普拉斯谱和无符号拉普拉斯谱等的极值问题得到了广泛研究.为了追踪邻接矩阵到无符号拉普拉斯矩阵的变化,Nikiforov提出了研究邻接矩阵和度对角矩阵的一个线性凸组合,即矩阵Aα（G）=αD（G）+（1-α）Λ（G）,α ∈[0,
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谱极值图论问题主要研究与图的各种矩阵表示,包括邻接矩阵、拉普拉斯矩阵或无符号拉普拉斯矩阵等的谱性质,特别是不含有特殊子结构的图类中的谱半径极值问题.近年来,有关图的邻接谱、拉普拉斯谱和无符号拉普拉斯谱等的极值问题得到了广泛研究.为了追踪邻接矩阵到无符号拉普拉斯矩阵的变化,Nikiforov提出了研究邻接矩阵和度对角矩阵的一个线性凸组合,即矩阵Aα（G）=αD（G）+（1-α）Λ（G）,α ∈[0,1]的谱性质.同时,Nikiforov也提出下述谱极值问题,即在不含特殊子结构的图类中,确定α-谱半径的极值.本文研究不含4-圈和5-圈图的α-谱半径的极值问题,得到如下结论:（1）若G是一个不含4-圈的n（≥10）阶图,且α ∈[1/2,1),则λα（G）≤ λα（Fn）,等式成立当且仅当G=Fn.（2）假定G是一个不含5-圈的n阶图.如果n>11/1-2α+4且α∈[0,1/2),那么λα（G）≤λα（T2（n））,等式成立当且仅当G=T2（n）.（3）若G是一个不含5-圈的n（≥12）阶图,则存在α0∈（1/2,1）,使得对任意的α∈[1/2,α0),有 λα（G）≤ λα（Sn,2）,等式成立当且仅当 G=Sn,2.该结论不仅部分解决了前面提到的图的α-谱半径的极值问题,而且推广了图的邻接谱和无符号拉普拉斯谱极值的相关结果.
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