【摘 要】
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本论文研究了由列表染色推广而来的三种染色相关的问题:串并联图的强分数选择数、含至多两个交叉的图的DP-染色、局部平面图的在线DP-染色.一个图G的强分数选择数是指实数r的下确界使得对于任意正整数m,图G都是（[rm],m）-可选的.一个图类（?）的强分数选择数是指图类（?）中所有图的强分数选择数的上确界.[36]和[17]中详细研究了平面图的强分数染色数.令（?）为平面图类,对于正整数k,令Pk表
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本论文研究了由列表染色推广而来的三种染色相关的问题:串并联图的强分数选择数、含至多两个交叉的图的DP-染色、局部平面图的在线DP-染色.一个图G的强分数选择数是指实数r的下确界使得对于任意正整数m,图G都是（[rm],m）-可选的.一个图类（?）的强分数选择数是指图类（?）中所有图的强分数选择数的上确界.[36]和[17]中详细研究了平面图的强分数染色数.令（?）为平面图类,对于正整数k,令Pk表示不含k-圈的平面图类.Zhu在[36]中证明了5 ≥ch*f（P）≥4+2/9,Jiang和 Zhu 在[17]中证明了 4≥ch*f（P3）≥3+1/17.但上述两个结果都只确定了某个图类的强分数选择数的上下界,并未确定其具体值,事实上也较难确定具体值,因此本论文研究一类特殊平面图的强分数选择数——串并联图.在第二章中,我们将证明对于任意正整数k,令Qk={G:G是围长至少为k的串并联图},则ch*f（（?）k）=2+1/[k+1/4].DP-染色是Z.Dvorak和L.Postle[9]为了证明不含4-8圈平面图是3-可选的而引入的概念（此文中称之为:对应染色）.2018年,A.Bernshteyn,A.Kostochka[3]用另一种表述方法重新描述了 DP-染色.DP-染色与列表染色不同点在于:对于列表染色而言,相邻顶点不能染同种颜色,而在DP-染色中,相邻顶点的颜色集之间存在匹配,相邻的顶点不能染形成匹配的颜色.DP-染色由列表染色推广而来的,因此DP-染色的结果相较于列表染色更强.Thomassen[28]证明了任意平面图都是5-可选的.Dvorak,Lidicky和Skrekovski[8]强化这一结果,证明了至多含两个交叉的图都是5-可选的.本论文进一步强化了这一结果,将在第三章中详细证明含至多两个交叉的图都是5-DP-可染的.2020年,S.Kim,A.Kostochka,X.Li 和 X.Zhu[20]将DP-染色与在线列表染色的定义相结合,定义了在线DP-染色.此概念不仅是对在线列表染色的推广,也是对DP-染色的推广.Thomassen[29]证明了边宽足够大,且能够嵌在某个给定曲面中的图是5-可染的.该结果被DeVos,Kawarabayashi和Mohar[6]加强了,他们证明了边宽足够大,且能够嵌在某个给定曲面中的图是5-可选的.随后,Han和Zhu[15]又进一步证明了边宽足够大,且能够嵌在某个给定曲面中的图是在线5-可选的.本论文将在此基础上,证明一个更一般的结论:边宽足够大,且能够嵌在某个给定曲面中的图是在线5-DP-可染的.在第四章我们给出了此结果的详细证明过程.
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