经典数论函数是指从正整数集N+到复数集C的函数.此类函数在数论中占据着重要的地位,许多关于整数或素数的问题可以转化为关于数论函数的问题.转化后的问题通常为考察一个数论函数阶、上下界或者平均阶的问题.关于正整数乘子半群上数论函数的一般理论尚不成熟,只有一些特殊的函数得到了研究.因此本文的目的就是将经典数论函数的理论推广到这类广义数论函数上并得到一个某类级数敛散性的判定方法以及两个正整数乘子半群中元素在正整数集N+中分布的渐近公式.具体地：第一章,介绍了数论函数理论的历史背景及研究现状,给出了经典数论问题与数论函数相关联的具体例子,考察了含幺半群上的整除理论,研究了正整数乘子半群的结构.第二章,发展了正整数乘子半群上数论函数的一般理论,研究了一类重要的数论函数类,给出了一些经典的数论函数在广义数论函数中的推广.设ε,ε’是任意正数,}满足特定条件,为S生成的正整数乘子半群.本章得到：当sk》k1/ε时,级数∑n∈1/nε’收敛,而当sk《k1/ε时,级数∑n∈1/nε发散.本章还得到：若sk(?)k1/εg(k),其中g(k)=o(kα)对任意的α>0成立,则对任意的δ>0,x≥S1,有第三章,深入地研究了广义的Mobius函数的性质,得到一个公式,利用这个公式,得到了关于有限生成正整数乘子半群在正整数集N+中的分布的一个渐近公式.设S={p1,p2…pt}为N+中素数构成的有限集,则有其中,c仅取决于S.