【摘 要】
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约束矩阵方程问题就是研究在某约束矩阵集合下求矩阵方程或矩阵方程组的解的问题,其中约束矩阵集合是根据有关未知矩阵的结构特征来确定的.这类问题在系统设计、参数分析、模型结构、生物工程学、固体力学、电学、图像处理、振动理论、线性最优化控制等领域有着广泛的应用.由于实际数据原因,矩阵方程系数不一定满足方程有解的充要条件,需进一步研究不相容矩阵方程的最小二乘解.本学位论文研究两类约束矩阵极小值问题,具体的研
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约束矩阵方程问题就是研究在某约束矩阵集合下求矩阵方程或矩阵方程组的解的问题,其中约束矩阵集合是根据有关未知矩阵的结构特征来确定的.这类问题在系统设计、参数分析、模型结构、生物工程学、固体力学、电学、图像处理、振动理论、线性最优化控制等领域有着广泛的应用.由于实际数据原因,矩阵方程系数不一定满足方程有解的充要条件,需进一步研究不相容矩阵方程的最小二乘解.本学位论文研究两类约束矩阵极小值问题,具体的研究内容组织如下:第二章,研究(R,Sσ)-交换矩阵下线性方程组AX=B,YA=D的最小二乘问题及最佳逼近问题.分析(R,Sσ)-交换矩阵的一般性结构,对σ.为一一对应映射和非一一对应映射展开讨论.通过矩阵分解分别给出了线性方程组的最小二乘(R,Sσ)-交换解和最佳逼近解的具体解析表达式,同时在方程组相容情况下分析(R,Sσ)-交换解存在的充要条件及其具体解析表达式.第三章,在第二章的基础上,从数值角度研究(R,Sσ)-交换矩阵下广义Sylvester方程∑i=1N AiXBi=C的最小二乘问题的有效算法.构造基于Barzilai-Borwein(BB)步长的最速下降法和Armijo线搜索的Modified-Polak-Ribiere-Polyak(MPRP)非线性共轭梯度法,分析算法的全局收敛性.数值实验验证算法的可行性.第四章,讨论基于多元统计分析中一类带有正交约束的矩阵迹函数极小化问题.现有Majorization算法虽可行,但迭代效率低.本文从Stiefel流形角度入手,基于Stiefel的几何性质,构造基于流形的最速下降法和黎曼牛顿法求解.对于牛顿方程,通过克罗内克积和拉直算子转化为易于求解的对称线性方程,减少算法计算工作量.数值实验验证所提算法的高效性和可行性.
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