本文的研究主要分为两个方面，包括常微分方程周期边值问题在不同情况下的数值解法和椭圆型偏微分方程广义解的存在唯一性的论证。首先，详细地讨论了对于常微分方程的一般周期边值问题、奇异周期边值问题和在计算周期解时出现刚性现象这三类情况的不同求解策略和新的方法，并通过对典型的数值实例进行编程求解，得到了相应的数值试验结果，绘制了解曲线。结果表明，求解的方法是十分有效和实用的。特别是对于计算周期解时出现刚性问题的求解，本文使用了变步长的Gear。方法，并给出了相应的理论推导，这种方法的使用大大减少了工作量，节约了计算时间。本文所提供的方法和程序，可以作为数值求解微分方程周期边值问题的参考。另一方面，本文对于椭圆型偏微分方程的Dirichlet边值问题广义解的存在唯一性进行了讨论，利用了一个全局反函数定理和min-max原理的一个新的非变分形式，在共振的条件下给出了解的存在唯一性定理及其证明的过程，同时还列举出实例说明了本文的定理推广了已知的结果。