称一个抽象拓扑空间为流形，若该空间中每一点都在局部上与欧氏空间中的开集同胚。但是，在整体上，流形的结构却可能非常复杂。尽管如此，它复杂的结构都可以简单地用欧氏空间上相关性质来理解和表示。在光滑流形的切空间中引入黎曼度量，即为黎曼流形，它已成为数学上和物理学上非常重要的研究对象。因而，对黎曼流形上各种概念和理论的研究变得越来越重要了。　　本文利用流形与欧氏空间局部上的同胚映射，将欧氏空间的一些结果推广到流形上，在黎曼流形上得到相应类似的结论。通过这种方法，我们首先给出了黎曼流形上A-调和方程的障碍问题解的定义，证明了黎曼流形上A-调和方程障碍问题解的存在性，进而得到黎曼流形上A-调和方程解的存在性。然后，分别给出了黎曼流形上关于A-调和张量的Poincaré不等式和弱逆H?lder不等式局部、整体和加权的情况。