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给定两个简单图G1和G2,其中G1含有m条边.取m个G2的拷贝,记为G12,G22,…,Gm2,把G1的每一条边ei=(u,v)(i=1,2,…,m)的两个顶点与Gi2的每个顶点相连得到的图称为G1和G2的边冠图,记为G1◇G2.在G1◇G2中删去G1中的所有边得到的图称为G1与G2的修正边冠图,记为G1[G2].把简单图G进行一种特殊的边冠运算之后变成R(G),简称R变换,其中R(G)是把图G中的每一条边变成一个三角形,相当于把G和单点图K1进行边冠图运算得到的图,即R(G)=G◇K1.对R(G)再进行一次R变换得到R2(G),对R2(G)再接着做R变换得到R3(G),一直这样进行下去得到Rn(G)(其中Rn(G)=R(Rn-1(G)),n=1,2,3,…,特别,R0(G)=G). 张等人(Physica A,391(2012),828-833)研究了Rn(K3)的Monomer-dimer问题,给出了求解公式,并得到了熵的表达式.本文第二章推广了前面的结果,对任意的图G,我们考虑了Rn(G)的Monomer-dimer问题,得到了求解公式,并证明了其熵与G的选择无关. 对于边冠图G1◇G2的邻接矩阵、拉普拉斯矩阵、无符号拉普拉斯矩阵以及标准化拉普拉斯矩阵的谱,理论已经比较完善,但对于修正的边冠图G1[G2]的相关谱还未被研究。本文第三章得到了G1[G2]的邻接矩阵、拉普拉斯矩阵、无符号拉普拉斯矩阵以及标准化拉普拉斯矩阵的谱,并给出了G1[G2]的生成树数目、基尔霍夫指标等的计算公式.