在论文[32]和[34]中，Lusztig分别对单边型量子包络代数和一般的量子包络代数构造了典范基，同时，Kashiwara在文章[19]中构造了量子包络代数的整体晶体基，后来Lusztig在文章[33]中证明了他的典范基和整体晶体基是一致的.1993年Lusztig在文章中[36]，将典范基中单项式形式的元素称为紧单项式.　　 对于紧单项式，Lusztig，Reineke，邓邦明和杜杰分别给出了判定条件，并且M.Khovanov和A.Lauda在量子包络代数的范畴化的基础上将紧单项式与代数的不可分解表示紧密地联系起来.　　 本文在前人工作的基础上讨论A3型量子包络代数和秩为2的Car-tan矩阵所对应的量子包络代数的紧单项式.在满足一定条件时我们发现，紧单项式与Lusztig锥有非常紧密的联系，因此我们首先推广了Lusztig锥的定义，使其适用于无限型Cartan矩阵所对应的量子包络代数，进而揭示它与紧单项式的紧密联系.同时，我们还发现，紧单项式的长度与Weyl群的最长元长度有关，从而我们对一般的量子包络代数有以下猜想：　　 对于有限型Cartan矩阵C，与其对应的量子包络代数中，紧单项式的长度有限，最大长度等于其Weyl群中最长元的长度；若C是无限型Cartan矩阵，则其量子包络代数中存在任意长度的紧单项式，作者目前没有发现反例.　　 在文章[9]中，Carter和Marsh针对A型量子包络代数的线性区域提出了一系列问题，通过对Lusztig工作的研究分析，我们可以看出，这些问题不仅是针对A型量子包络代数的，我们对与A型Cartandatum通过映射σ相关的类型的量子包络代数可以提出同样的问题，