【摘 要】
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双调和方程广泛出现在固体力学、流体力学和材料科学等众多学科与应用领域,有限元法是求解此类方程的常用数值方法,然而直接利用有限元法求解双调和方程,会出现离散化代数系
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双调和方程广泛出现在固体力学、流体力学和材料科学等众多学科与应用领域,有限元法是求解此类方程的常用数值方法,然而直接利用有限元法求解双调和方程,会出现离散化代数系统的条件数差(O(h-4))等缺陷,因此为双调和问题设计高效数值求解算法具有重要理论意义和实际应用价值.本文针对矩形网格下含齐次狄利克雷边界条件的双调和问题的数值求解展开研究.首先,参考文[1]的思想将矩形网格下的双调和方程的求解分解为Poisson、Stokes和Poisson三个二阶子问题的求解,并为这几个子问题分别设计了四种矩形有限元求解方法,改善了相应的离散系统的条件数为O(h-2).接着,以第四种矩形有限元求解方法为例,通过理论分析证明了这些有限元求解方法的收敛性.最后,基于代数多重网格法为上述分解的各子问题设计了相应的快速求解算法,数值实验验证了这些分解方法的收敛性与高效性.
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