本文主要研究平面Tiling的两种重要类型： Normal Tiling和自仿Tiling．平面Tiling是平面的一种无缝隙无重叠覆盖，作为一类特殊的几何对象，两个最基本的问题就是怎样的Tile可以生成Tiling，以及对于某些形状用什么方式才能拼接成一个Tiling．因此我们的工作重点就集中在甲面Tiling的局部拓扑结构和全局组合性质两个方面．为了文章结构的清晰明了，本文分为四章． 第一章，绪论，主要介绍Tiling研究的历史和实际背景，并对研究现状的各个方面进行简要的综述． 第二章，准备知识．为了使论文尽量完备，简单介绍了本文涉及到的关于拓扑学，分形几何，以及图论的基本知识． 第三章，考虑的对象是Normal Tiling．Normal Tiling是Tiling研究的重要内容，它是被人们称为“well—behaved” Tiling的一种．无论是对于其中的单个Tile，还是整个Tiling的全局形态，它都具备一些好的性质．对于它的定义，将尽量的排除掉那些所谓的奇异现象，在各种Tiling研究的过程中扮演了及其重要的角色．我们先得到了Normal Tiling的局部有限性，又证明了Normal Tiling的近邻图是平面图．然后，我们在一些得到的基本性质的基础上，引进近邻图作为工具，使用纯组合的方法，证明了Grünbaum提出的六近邻定理．这个定理指出，Normal Tiling中总包含无数多个至多拥有6个近邻的Tile．这一点在一定程度上，有力地揭示了Normal Tiling全局性态的本质，对其他类型Tiling的组合分类也至关重要．另外，我们也给出了一个六邻居定理，它指出每一个Normal Tiling都包含无数多个至少拥有6个邻居的Tile．对于这个定理的证明，采用了顶点一致化的技巧，进一步刻划了Tile的周边结构．为了更深入地刻划这两个定理，相对密度的概念被第一次提出．我们还证明了相对密度的位置形状不变性，得到了Normal Tiling中某些属性Tile的相对密度的下界，这一点反映了这些Tile随着Patch变化的急速增长．作为六近邻定理的一个应用，我们把甲面晶体群Tiling中的pm-Tiling作为一个例子，证明了pm-Tiling的近邻图只能是3连通，4连通或者5连通．并在此基础上，给出了它们的图示和顶点价型分类．最后，我们讨论了Normal Tiling的邻居系的结构，使用拓扑图给出了仅有的两种局部近邻图模式，从而在一定程度上回答了Griinbaum的一个公开问题．第四章，讨论自仿Tiling．自仿Tiling在小波分析和数论等数学分支中有着重要的应用．自仿Tile一般是由一个适当的迭代函数系统(IFS)生成的吸引子，往往具有某些分形结构，而且它们的Tiling方式也具备某些良好的代数性质．现有的文献一般都考虑整自仿Tiling，往往可以使用代数运算的方法，简化研究问题的步骤．而本文则不同，主要研究由带有一个实参数的Digit集生成的自仿Tiling，由于现有的代数方法难以奏效，所以我们使用拓扑的手段，试图探索当参数在实数域内变化时，Tile的拓扑结构和Tiling方式如何变化．我们采用Hata的结果，给出了这一类实自仿Tile连通的充要条件．我们用纯拓扑的方法证明了Kenyon和Lagarias的内部定理，并使用它断言这个实参数IFS的吸引子总是包含非空的内部，进而它总是一块Tile，并且总包含坐标原点．这为后面证明Tiling的自复制性奠定了基础．我们又考虑了Tile的边界，采用分解法证明了边界的Hausdorff维数在Tile连通时等于1，而它的1维Hausdorff测度却总是无穷大．另外，我们发现这一类实自仿Tiling不一定是周期的，但它却总是自复制的．我们又证明了实参数的有理性决定了Tiling的局部有限性．加之它固有的局部同构性，一个实参数Tiling具备拟周期性的充要条件被给出．