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本文应用动力系统的分支理论，二阶平均方法，Melnikov方法和混沌理论，研究带有五次非线性回复力和外力(一个外力和二个外力)的Duffing-Van derPol方程的复杂动态。对于具有两个外力的Duffing-Van der Pol方程, 给出在周期扰动下系统产生混沌运动的准则，在ω=nω1+εσ，n=1，3，5的拟周期扰动下，平均系统产生混沌的准则，数值模拟验证了这正确性，而用平均方法不能给出在ω2=nω1+εσ，n=2，4，6，7，8，9，10的拟周期扰动下产生混沌的准则，但数值模拟显示了原系统出现混沌。同时，用数值模拟(包括同宿和异宿分支曲面，分支图，最大Lyapunov指数图，相图，Poincare映射图等)发现了许多新的复杂的动态，其中包括周期2，4，6轨道的正向和逆向倍分支，混沌行为中夹着拟周期轨道，暂态混沌中带有大量的周期窗口，混沌区域中周期轨道的对称破裂，混沌的突然出现，混沌突然消失到周期轨道，内部crisis现象，奇异的非混沌吸引子，非吸引的混沌集和混沌吸引子集。对于具有一个外力作用的Duffing-Van der Pol方程，用二阶平均方法和次谐波Melnikov函数给出在小扰动下谐波解，2－阶次谐波解，3－阶次谐波解，3－阶超次谐波解以及m-阶次谐波解的存在性和分支条件，刚Melnikov方法给出在周期扰动下系统产生混沌的准则。用数值模拟也发现了许多新而有趣的复杂动态：从逆的周期倍分支到混沌，周期倍分支到混沌，拟周期通向混沌，混沌的突然出现，以及混沌突然消失并且突然转变为周期轨道，具有大量周期窗口(周期1，2，3，4，5，7，9，10，13，15，17，19，21，25，29，31，37，41等等)的不同的混沌区域；比较宽的周期－1窗口，以及不同的混沌吸引子包括尺度较小，最大Lyapunov指数趋近于零但是大于零；周期轨道的对称破裂。特别是通过调节参数p，β，γ，f，ω，系统可以离开混沌到周期轨道。因此，可以用这些参数来控制系统的混沌动态到稳定状态.
本文研究的这二类Duffing-Van der Pol方程，是前人未研究过的，所得到动态行为将丰富非线性动力系统的内容，对其它学科，例如光学，物理学的研究，有一定的应用价值.
全文共分四章。
第一章是关于动力系统的中心流形定理，二阶平均方法，谐波解，Mel—nikov理论和混沌理论的预备知识，简要的介绍连续动力系统的中心流形理论，二阶平均理论和Melnikov理论，以及混沌的特征和通向混沌的道路.
第二章简单介绍了Duffing方程，Van der Pol方程以及Duffing-Van der Pol方程的一些历史背景知识.
第三章应用二阶平均方法和Melnikov理论研究具有两个外力的Duffing-Van der Pol方程，给出了周期扰动下系统产生混沌的准则，在ω2=nω1+εσ，n=1，3，5拟周期扰动下平均系统产生混沌的准则，而在ω2=nω1+εσ，n=2，4，6—10拟周期扰动下没有给出平均系统产生混沌的条件，但是用数值模拟显示了原系统出现混沌。运用数值模拟，验证理论分析结果，并且找到新的复杂动态：混沌行为中夹着拟周期轨道，暂态混沌中带有大量的周期窗口，混沌区域中周期轨道的对称破裂，混沌的突然出现，混沌突然消失到周期轨道，内部crisis现象，奇异的非混沌吸引子，非吸引的混沌集和混沌吸引子集。(该文发表在Chaos，Solitonsand Fractals vol 27，722—747，2006)
第四章应用二阶平均方法和Melnikov理论，研究具有一个外力的Duffing－Van der Pol方程，给出了几种谐波解(包括谐波解，2－阶次谐波解，3－阶次谐波解，3－阶超次谐波解，m-阶次谐波解)的存在性和分支条件，周期扰动下系统产生混沌的准则。在与具有两个外力作用下相同参数值条件下给出了数值模拟，比较两系统的动态差别，也找到了新的复杂动态.