本论文研究了下列的椭圆方程组：这是一个含有多个临界指数的奇异椭圆方程组，椭圆方程组是偏微分方程中的一个重要组成部分. 偏微分方程无论是在数学学科本身，还是在现实生活领域中，都扮演着一个重要角色. 从数学自身的角度来看，偏微分方程是数学中的重要分支之一，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、常微分方程、级数展开等其他数学分支进行发展，从这个方面来看，偏微分方程可以说是数学的中心部分. 而在实际生活中，以力学、生物学、化学和物理学等为研究背景的自然科学和工程技术，其很多问题的研究最终转变为偏微分方程的研究，如力学中关于弦振动的运动过程的研究，这就是一个典型的偏微分方程. 随着物理学科所研究的现象在广度和深度两个方面的发展，偏微分方程应用范围更为广泛，因此，对偏微分方程的研究不仅是数学学科本身发展的需要，更是实际生活向前发展的需要. 椭圆型偏微分方程是一类重要的偏微分方程，椭圆型方程在流体力学、弹性力学、电磁学、几何学和变分学中都有应用.对于椭圆型偏微分方程，着重研究其在Sobolev空间中的正解、多解、变号解或非平凡解的存在性，以及某些解的特殊性及近似估计.对于线性的偏微分方程，很容易得到它的一些特解，而在应用上，更关注的是求满足某些附加条件的解，也就是边值问题中对解的研究.对椭圆型方程的研究，研究的方法有差分法、变分法和积分方程法等.在论文中，研究对于大范围内的问题的非平凡解的存在性. 研究上述的椭圆方程组解的存在性等价于其相对应的能量泛函的非零临界点.　　 首先，介绍了所要研究的问题及其背景，并对将要用到的有关知识作了简单介绍. 所要研究的问题是数学学科中的变分问题，所应用到的方法为变分法，这也是本文主要应用到的方法，并且由Hardy不等式得到算子的相关性质，并建立了算子的第一特征值，再由Young不等式，得到几个相关的最佳常数，这里的关键是得到最佳常数的达到函数.　　 其次，由于研究的问题所对应的能量泛函不满足全局紧性条件，因此，经典的变分法在此已经不能解决此问题.为此，我们由标准椭圆理论，结合Brezis-Lieb引理，得到能量泛函所应满足的局部(PS)条件，并由变分不等式，结合截断函数和对空间的特殊化处理，加上一些分析技巧，对相关的最佳常数进行了研究，并对极值函数进行了一些渐近估计，从而利用这些结果得到方程组的非平凡解的存在性.　　 最后，利用变分不等式，对能量泛函进行了研究，并由环绕定理，对定理1.3.1，定理1.3.2和1.3.3进行证明，且由变分原理，结合临界点理论，证明出方程组有对非平凡解的结论，其中表示的重数.