本文讨论了Sobolev方程-div{a▽ut+b1▽u}=f.的混合有限元逼近格式和均匀棒纯纵向运动方程utt=uxxt+f(ux)x的有限体积元逼近格式，得到了这两种逼近问题的最优(拟最优)误差估计。第一章，基于Raviart-Thomas空间Vh×Wh()H(div；Ω)×L2(Ω)，我们讨论了Sobolev方程初边值问题{(a)-div{a(x,t)▽ut(x,t)+b1(x,t)▽u(x,t)}=f(x,t),(x,t)∈Ω×(O,T],(b)u(x,t)=0,(x,t)∈()Ω×[0,T],(c)u(x,0)=u0(x),x∈Ω的混合有限元方法的收敛性。得到了函数u的逼近值在L∞(0，T；L2(Ω))模下、伴随速度p的逼近值在L∞(0，T；L2(Ω)2)模下及divp的逼近值在L∞(0，T；L2(Ω))模下的最优阶误差估计。同时我们还得到了函数u的逼近值在L∞(0，T；L∞(Ω))模下的拟最优阶误差估计(有限元空间指数k=0)和最优阶误差估计(有限元空间指数k≥1)，伴随速度p的逼近值在L∞(0，T；L∞(Ω)2)模下的拟最优阶误差估计。 第二章，针对单位长度、两端固定、截面均质的均匀棒在自由应力作用下的纯纵向运动问题{(a)utt=uxxt+f(ux)x,(x,t)∈(0,1)×[0,T],(b)u(x,0)=uo(x),ut(x,0)=u1(x),x∈(0,1),(c)u(0,t)=u(1,t)=0,t∈[0,T].我们讨论了逼近该问题的有限体积元方法，得到了该问题有限体积元解的最优阶L2模和H1模误差估计及超收敛H1模误差估计，给出了该方法的数值例子及其相应结果。