现代应用科学中亟待解决的问题,经过数学建模,一般可以建立起“微分方程模型”,用微分方程或方程组来刻画.而对于这些方程或方程组的求解和分析,往往可以选取适当的状态空间并适当定义算子将微分方程化为抽象空间中的算子方程.这类非线性方程或带随机扰动的非线性方程解的存在性和性质的讨论可以用非线性分析或随机分析的方法来研究.在过去几十年中,这方面的研究方兴未艾.如果说线性数学可以寻求一般理论,进行统一处理;那么非线性问题却情形各异,必须分具体情况分别进行研究,因而形成各种不同的研究领域.非线性系统与随机系统是反映系统复杂性的两个重要方面.首先,应用有界拟线性投影广义逆的概念,给出了 Banach空间中一个闭线性子空间是可补子空间的充要条件,将此结果应用到分歧理论中,在较弱的且容易验证的条件下得到一类非线性算子方程从多重特征值出发的鞍结点分歧定理、跨跃式和音叉式分歧定理.其次,考虑一个重要的非线性化学模型Schnakenberg方程组.对于一个带有齐次Neumann边值条件的双分子耦合Schnakenberg模型,没有化为抽象算子方程,而直接利用比较定理,建立其稳态方程正解的先验估计,得到在一定条件下模型解的取值范围;然后讨论了当参数变化时系统非常数正解的存在性与非存在性,证得当一个化学物质的扩散系数充分大或者另一个化学物质的源充分小时,稳态方程不存在非常数的正解;当区域很小时稳态方程没有非常数解.再利用Leray-Schauder度证得当系数满足一定条件时,区域变换后的稳态方程至少有一个非常数解.在此基础上,进一步可以利用所化成的抽象算子方程,讨论其分歧性质等.最后考虑随机扰动下带有Holling-Ⅲ功能性反应的非线性齐次扩散捕食-食饵系统.首先在一定存在性条件下化为抽象的随机算子方程,然后证得其全局mild解的存在性;进而又证明了当噪声强度很大时,随机系统将会灭绝;而当噪声强度较小时,系统是均方稳定的.最后,证明了全局mild解是一个Markov过程,并得到在比存在性更强的条件下,系统有一个唯一的不变测度,即系统具有遍历性.讨论解的存在性是应用分歧定理讨论解的性质的基础,完成了以上具体方程解的存在性问题之后,就可以在选定适当算子和空间上考虑其分歧问题.