近代物理学和应用数学的发展,要求分析和控制客观现象的数学能力向着富有全局性的高、精水平发展,从而使非线性分析成果不断积累,逐步形成了现代分析数学的一个重要的分支学科——非线性泛函分析.非线性泛函分析是数学中既有深刻理论又有广泛应用的研究学科,以数学和自然科学中出现的非线性问题为背景,建立了处理非线性问题的若干一般性理论和方法.因其能很好的解释自然界中的各种各样的自然现象,在实际生产生活中有很大的应用,加之对物理学、化学、生物科学以及天文学等相关学科的发展有积极的影响,近年来受到了国内外数学及自然科学界的高度重视.非线性微分方程问题源于应用数学、物理学、控制论等各种应用学科中,是微分方程领域中一类重要问题,是目前非线性泛函分析研究中最为活跃的领域之一,也是近年来讨论的热点,引起了科学家的广泛关注.本文利用变分法,极小极大理论以及临界点理论,研究了几类非线性微分方程问题的解的存在性.本文共分为三章：在第一章中,我们概述了一些本专业的基本知识以及相关的理论渊源.在第二章中,我们获得了以下带有次二次项的薛定谔方程-△u+V（x）u=f（x,u） （2.1.1）的解的存在性,其中y（x）∈C（RN,R）且对所有的x∈RN都是正的,f（x,u）∈C（RN×R,R）是正函数.在关于V和f的其他有效条件下,我们用临界点理论中的标准极小化讨论,获得了一种新方法可以证明（2.1.1）至少有一个解.在第三章中,我们考虑了以下二阶非自治哈密顿系统：z（t）-L（t）z+▽H（t,z）=0 （3.1.1）的同宿解的存在性,其中L（t）∈C（R,RN）,且对所有的t∈R都是对称正定矩阵,H（t,z）∈C1（R×RN,R）是一个正定连续泛函,▽H（t,z）满足次临界条件：对所有的2<p<2*,|▽H（t,z）|≤（|t|p+1）,其中,如果N≥3,则2*=2N/（N-2）；如果N=1,2,则2*=+∞.对H和L采用其他合理的条件,我们利用了临界点理论中的标准极小极大方法获得了一个新的定理,保证（3.1.1）至少有一个解.