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设μ是Rd上正Radon测度,它仅仅满足下面的增长条件: μ（B（x,r））≤C0rn,对所有的x∈Rd,r>0,其中C0和n是正常数,且0<n≤d,B（x,r）是中心在点x半径为r的球。欧氏空间Rd装备了这种测度后称为非齐型空间。 本文主要研究非齐型空间上Hardy空间的原子分解和由奇异积分算子生成的交换子的极大算子的Lp有界性,还给出了非齐型空间上与Orlicz函数相关的极大函数的加权不等式。全文分为三部分。 第一部分致力于建立Tolsa在[18],[21]所引入的非齐型空间上Hardy空间的新的原子分解。首先定义新的原子空间HLlogL1,ρ（μ）,并证明HLlogL1,ρ（μ）=H1（μ）。这部分还给出这个新的原子分解的两个应用。第一个应用是证明若次线性算子T满足大小条件 |Tf（x）|≤∫Rd|f（y）|/|x-y|n-αdμ（y）其中0<α≤n,并且是H1（μ）到Ln/（n-α）（μ）的有界算子,则T是LlogL到Ln/（n-α）（μ）局部有界的。第二个应用是证明若对某个1<p<∞,次线性算子T是Lp（μ）上的有界算子,也是H1（μ）到弱L1（μ）的有界算子,则T是LlogL到弱L1（μ）的有界算子。应该指出,这部分的结果即使在μ是Lebesgue测度时,也是新的,而且所使用的方法和μ是Lebesgue测度时有很大的不同。 第二部分讨论了非齐型空间上,由奇异积分算子生成的交换子的极大算子的Lp（μ）有界性,其中核函数满足标准大小条件和相当小的光滑性条件。这部分从两个不同角度改进了Tolsa[18]中的结果。一是相对于Tolsa的结果,这里的核函数的光滑性条件更弱;二是这里研究的是k阶交换子,而Tolsa仅考虑了k=1的情况。应该指出这里所使用方法不同于μ是Lebesgue测度时,并且证明过程中使用的一些思想也是新的。 第三部分建立了非齐型空间上与Orlicz函数相关的极大函数的一些加权结果。给出了与Orlicz函数相关的极大函数的加权不等式,并利用这个不等式,证明了这一类极大函数满足类似A1条件的不等式。这部分结果不仅将Lebesgue测度情形下的结果推广到非齐型空间上,所研究的算子也比Hardy-Littlewood极大算子更为一般。
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