在动力系统理论与应用中，Liénard系统是一个非常重要的非线性振荡器模型，至今已有大批国内外专家学者对其进行了深入且广泛地研究.本文首先讨论了一个具体的Liénard系统的Hopf分支和同宿轨分支，其中未扰系统的原点(0，0)是幂零中心。在讨论幂零中心附近的Hopf分支时，我们是根据已有文献中给出的幂零中心附近的一阶Melnikov函数展式的表达式，并且利用文献已给出的该表达式中系数的具体计算方法来进行讨论的.为了更加方便地计算出幂零中心附近的一阶Melnikov函数展式的表达式，本文紧接着给出了幂零中心附近一阶Melnikov函数中的系数bl的等价系数组，即用系数B2l+1来替代系数bl，从而能够比较容易地得出一阶Melnikov函数展式的表达式.同时通过直接计算出等价系数B2l+1，给出了一个判定Liénard系统经扰动后产生极限环数目下界的方法.作为前面两个定理的应用，文章又进一步研究了一类Liénard系统在幂零中心附近产生的极限环的数目。　　 本研究主要内容包括：首先，研究了以下具体的Liénard系统主要是运用Melnikov函数的方法研究了该系统的Hopf分支和同宿轨分支，进而我们得到了以下的主要结果，即(1)对于所有的(a，b，c)∈R3，存在ε0∈(0，1/20)，使得该系统的Melnikov函数M～在(0，ε0)U(1/20-ε0，1/20)上至多有3个零点，并且对于某些(a，b，c)∈R3，M在区间(0，ε0)和(1/20-ε0，1/20)上恰好各有3个零点.(2)对于任意的0<μ<ε0，存在某些(a，b，c)∈R3使得M～在(0，1/20)上有4个零点，其中有3个零点在(0，μ)上。其次，研究了具有以下形式的Liénard系统其中a∈Rn1，c∈Rn2，F和g均为Cω函数，并且满足：F(0，a)=0，g(x，c)=x2m-1(g0+O(x))，m≥1，g0>0.主要给出了该类Liénard系统在幂零中心附近一阶Melnikov函数展式中的系数bl的等价系数组，即用系数B2l+1来替代系数bl.通过计算系数B1，B3…，B2l+1来代替计算幂零中心附近一阶Melnikov函数展式中的系数b0，b1…，bl，可以更加简单地得到幂零中心附近的一阶Melnikov函数展式的表达式，从而更加方便地讨论极限环的分支问题。同时，通过计算得出的等价系数组B2l+1，给出了一个判定极限环数目下界的方法。最后，研究了以下一类Liénard系统主要是根据第三部分中得出的两个定理，进而得到了以下的结果，即若记L(n)为该系统在原点附近产生的极限环的最大个数，那么L(3)≥1，L(4)≥3，L(5)≥5，也就是对n=3，4，5，有L(n)≥2n-5。