【摘 要】
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本文主要是研究高维范畴理论上的同调代数理论.同调代数在数学的很多分支和领域中都有广泛的应用,它是一种非常有用而且重要的工具,特别是在代数拓扑、层的上同调上的应用,比较显著地应用是D-膜和perserves层在表示论中的应用.同调代数中有一类非常重要的函子–同调函子,特别是Ext和Tor这两类函子,它们在研究群的同调、层的同调、李代数的同调,以及群、模、李代数的扩张等都有重要应用.随着高维范畴理论的
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本文主要是研究高维范畴理论上的同调代数理论.同调代数在数学的很多分支和领域中都有广泛的应用,它是一种非常有用而且重要的工具,特别是在代数拓扑、层的上同调上的应用,比较显著地应用是D-膜和perserves层在表示论中的应用.同调代数中有一类非常重要的函子–同调函子,特别是Ext和Tor这两类函子,它们在研究群的同调、层的同调、李代数的同调,以及群、模、李代数的扩张等都有重要应用.随着高维范畴理论的发展,很自然地就会考虑在高维范畴上怎样定义同调代数,这个问题成为当今研究高维范畴理论的热点.我们把种这定义在高维范畴上的同调代数理论称为高维同调代数理论.本文首先根据经典的模理论发展了2-维代数理论,给出了模的范畴化的定义.给定一个群，它的范畴化称为2-群.2-群在2-维代数理论中发挥的作用和群在1-维代数中的作用类似.类似1-维代数中模的定义,自然地给出2-环上2-模的概念.本文给出的2-模首先是一个范畴,有对称2-群结构（加法）和一个2-环作用（作用）,并且这些作用在同构意义下满足模的准则.另外,本文还给出了2-环的表示.证明了2-环的一个表示与这个2-环上的2-模是一一对应的,这种对应类似1-维代数中环的表示.在给出2-模的定义之后,本文还证明了所有的R-2-模构成的2-范畴是一个2-阿贝尔Gpd-范畴.2-范畴（R-2-Mod）和经典同调代数中的范畴（R-Mod）有着重要联系,因此我们相信2-阿贝尔范畴（R-2-Mod）是高维同调代数的一个重要研究对象.紧接着,我们给出两种2-模之间的关系.目前主要有两类关于模的范畴化的概念,一类是M. Dupont在他的博士论文中定义的2-模,另一类是我们给出的R-2-模.尽管这两种2-模的定义形式不同,但是我们发现这两种定义在某种程度上是相互等价的.本文利用preadditive范畴和additive2-函子的性质,具体证明了这种等价关系.第四章主要给出了2-阿贝尔范畴（R-2-Mod）上的左导出2-函子的定义.首先,对于由R-2-模构成的2-链复形,我们给出了同调R-2-模的定义及其详细的描述.另外,给出了（R-2-Mod）中的两个2-链复形之间的映射及其诱导的同调R-2-模之间的映射,同时证明了如果两个2-链复形之间的映射是2-链同伦的,那么它们诱导的同调R-2-模之间的映射是等价的.紧接着,为了定义左导出2-函子,在本章中,我们定义了R-2-模的射影分解并且给出了射影分解的具体构造.最后,给出了左导出2-函子的定义以及一个重要结论,即由R-2-模的扩张得到长的2-正合序列.一般情况下,左导出函子和右导出函子总是相伴而生的,所以在第五章中我们讨论了右导出2-函子.对于由R-2-模构成的2-上链复形,我们给出了上同调R-2-模的定义及其详细的描述.另外,给出了（R-2-Mod）中的两个2-上链复形之间的映射及其诱导的上同调R-2-模之间的映射.我们还定义了两个链映射之间的2-上链同伦,同时证明了如果两个2-上链复形之间的映射是2-上链同伦的,那么它们诱导的上同调R-2-模之间的映射是等价的.紧接着,为了定义右导出2-函子,我们定义了R-2-模的单射分解并且给出了单射分解的具体构造.最后,给出了右导出2-函子的定义以及一个重要结论,即由R-2-模的扩张得到长的2-正合序列.
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