寻找非线性数学物理方程(组)的精确行波解是孤立子理论和数学物理所关注的重要课题之一,人们为之付出了巨大的努力,但由于其非线性的复杂性,对大量的非线性偏微分方程给出系统有效的求解方法有待进一步深入探讨。不过,对个别的具体方程寻找其对应的个性化的求解方法,还是有重要意义的.我们有可能由特殊方程的求解方法推导出具有普遍意义的求解方法,还有可能用具体方程的特殊解来解释方程所描述的新的物理现象.因此,个性化求解非线性方程对发现新方法具有很好的指导性作用.本文主要利用相似约化法(Clarkson和Kruskal等建立的直接约化方法、经典无穷小变换、非经典无穷小变换)和双曲函数法思想给出了非线性方程的相似约化方程和相似解以及精确孤立波解.本文共分为四章:第一章为绪论部分,简要介绍了孤立子理论的产生和发展以及相似约化法和双曲函数法,最后介绍本文主要工作.第二章第一节简要介绍CK直接约化方法,第二节利用CK直接约化方法给出SI-I方程和SI-II方程等两个非线性可积方程的相似约化方程和相似解.第三节利用CK直接约化方法给出五阶非线性XLY方程的相似约化方程和相似解,并对约化方程进行讨论得到了有理解和孤子解.第三章第一节简要介绍经典无穷小变换法.第二节利用经典无穷小变换法给出SI-I方程和SI-II方程的约化方程.第三节利用经典无穷小变换法获得五阶XLY方程的约化方程.第四节简要的介绍非经典无穷小变换法.第五节利用非经典无穷小变换法给出SI-I方程和SI-II方程的约化方程.第六节利用非经典无穷小变换法获得五阶XLY方程的约化方程.第四章第一节简要介绍双曲函数法(耦合的Riccati方程方法)的思想,第二节利用双曲函数法求解几类非线性方程的孤立波解.第三节简要介绍扩展的双曲函数法.第四节我们利用扩展的双曲函数法获得李方程组的丰富的显式精确行波解,其中包括双曲函数形式的显式精确行波解,三角函数形式的显式精确行波解和有理形式的显式精确行波解.