【摘 要】
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本文中我们主要研究了调和数.对任意正整数n,设Hn=1+1/2+1/3+…+1/n.被称作第n个调和数.令Hn=un/vn,（un,vn）=1,vn>0.调和数的研究有着非常悠久的历史.1862年,Wolstenholme证明了对所有大于3的素数p,都有p2|up-1.众所周知,对任意不小于2的正整数n,Hn都不是整数.对任意素数p,用Jp表示由p|un的正整数n组成的集合.1991年,Eswar
【基金项目】
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国家自然科学基金； 江苏省研究生创新项目；
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本文中我们主要研究了调和数.对任意正整数n,设Hn=1+1/2+1/3+…+1/n.被称作第n个调和数.令Hn=un/vn,（un,vn）=1,vn>0.调和数的研究有着非常悠久的历史.1862年,Wolstenholme证明了对所有大于3的素数p,都有p2|up-1.众所周知,对任意不小于2的正整数n,Hn都不是整数.对任意素数p,用Jp表示由p|un的正整数n组成的集合.1991年,Eswarathasan和Levine猜想对任意素数p,Jp都是有限集.1994年,Boyd证明了对任意不超过547且不等于83,127,397的素数p,Jp都是有限集.Boyd猜想|Jp|=O（p2（log log p）2+ε）.不难发现Hn的p-adic赋值不小于-[logp n].用Tp表示满足如下条件的所有正整数n组成的集合:Hn的p-adic赋值等于-[logp n].2016年,Sana证明了对任意素数p,|Jp∩[1,x]|<129p2/3x0.765以及存在Tp的一个子集Sp,使得δ（Sp）>0.273,其中,δ（X）表示集合X的对数密度.此外,Sanna认为用他的方法,δ（Sp）不可能得到比1/3-ε更好的下界,其中ε是一个大于0的实数.2016年,Shiu证明了如下定理.定理A以下每种情况都对无穷多个正整数n成立,（1）vn>vn+1,（2）vn=vn+1,（3）vn<vn+1,（4）un>un+1,（5）un<un+1.对任意正整数n,设An=1-1/2+1/3…+（-1）n-1/n=an/bn,（an,bn）=1,bn>0.An被称为第n个交错调和数.本文证明了如下结果:（1）对任意素数p和任意正实数x,都有|Jp∩[1,x]|≤1.1x32/3+1/25log p.（2）设m为正整数,则满足vn能被m整除的正整数n组成的集合的渐近密度是1.（3）满足vn能被1,2,…,[n1/4]都整除的正整数n组成的集合的渐近密度是1.（4）δ（Tp）存在并且对任意不小于13的素数p,都有1-（2log p）-1 ≤δ（Tp）≤<1-（plog p）-1.特别地,对任意素数p,都有δ（Tp）≥ 0.63.（5）满足vn=vn+1的所有正整数n组成的集合的渐近密度是1.（6）满足bn=bn+1的所有正整数n组成的集合的渐近密度是1.
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