【摘 要】
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超几何级数是组合数学的重要组成部分,与数论、统计力学和正交函数等多个领域有密切联系.同余及其相关研究是数论领域的重要研究内容.从超几何级数角度研究同余式具有重要研究意义,并受到广泛关注.近些年,对Van Hamme提出的Ramanujan类型超同余式的研究吸引了众多学者.从超几何级数的求和式与变换式出发,来建立Van Hamme类型超同余式的q-模拟是重要研究课题.研究超同余式的方法和技巧主要有:
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超几何级数是组合数学的重要组成部分,与数论、统计力学和正交函数等多个领域有密切联系.同余及其相关研究是数论领域的重要研究内容.从超几何级数角度研究同余式具有重要研究意义,并受到广泛关注.近些年,对Van Hamme提出的Ramanujan类型超同余式的研究吸引了众多学者.从超几何级数的求和式与变换式出发,来建立Van Hamme类型超同余式的q-模拟是重要研究课题.研究超同余式的方法和技巧主要有:WZ方法,p-adic分析以及应用超几何级数变换公式等.2019年,郭军伟和Zudilin在《Advances in Mathematics》杂志上发表的论文中首次提出“显微镜”法,该方法是研究q-超同余式的强有力工具.利用此方法,结合基本超几何级数的求和式与变换式,很多q-超同余式被提出并证明,其中包含Van Hamme类型超同余式的q-模拟.对Van Hamme提出的13个超同余式猜想（A.2）（M.2）的研究是本领域热门研究课题.将“显微镜”法应用到Watson的3F2-求和式的8φ7-型q-模拟中,我们首次建立了（A.2）关于p≡3（mod 4）部分的q-模拟及其推广形式.利用这一 8φ7-型求和式,还得到一个新的q-超同余式.作为超同余式（A.2）的补充,郭军伟建立了（A.2）关于p≡1（mod 4）部分的q-模拟.这些工作为我们继续研究q-超同余式奠定了良好基础.Van Hamme的13个超同余式已经通过多种方法得到证明,但是对它们的研究并没有结束,各式各样的推广形式被不断提出.Jana和Kalita给出了超同余式（B.2）、（E.2）与（F.2）的推广形式.利用Watson的8和-型变换式,按照参数的奇偶性进行分类,本文建立了 Jana和Kalita提出的超同余式的q-模拟,并得到一些新的超同余式.借助一个6φ5-型求和式,本文还加强了郭军伟提出的一个q-超同余式,并且得到Swisher的三个Dwork类型超同余式猜想的推广形式.本文的主要工作是利用基本超几何级数的截断式来建立q-超同余式,其中包含Van Hamme类型超同余式的q-模拟.相关研究不仅是对Van Hamme类型超同余式的一种完善,也对q-超同余式的发展起到一定推动作用.
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