算子理论产生于20世纪初，由于其在数学和其它学科中的广泛应用，在20世纪的前三十年得到迅速发展，近年来K广义投影与算子方程已成为算子理论研究的热点问题之一.我们用B(H)表示无限维复可分Hilbert空间H上的所有有界线性算子全体.如果T∈B(H)满足Tk=T*，其中k∈N且k≥2，则T称为k广义投影.k广义投影蕴涵着诸多有趣的性质，近几年来受到国内外许多学者的普遍关注.本文在无限维Hilbert空间上研究k广义投影的谱及其道路连通性问题.算子方程是以算子为元素的方程，它是泛函分析的重要分支之一.关于算子方程XJ-JX*=M，AXA*=B，AXB=C，AX=B的解的研究从上世纪八十年代就已经开始了，但是这些研究多数限制在有限维空间上.本文将这些研究拓展到无限维空间并研究上述方程解的特征.最后利用算子方程刻画一类比较特殊的算子即广义二次算子，我们主要研究了广义二次算子的谱和群逆等相关性质. 本文共分四章：第一章主要介绍本文要用到的一些符号、概念及定理，例如正规算子，谱，不变子空间和约化子空间，部分等距等概念；同时又介绍了一些熟知的定理如值域包含定理，极分解定理，谱映射定理等. 第二章主要研究在无限维Hilbert空间上的k广义投影.首先证明了A∈B(H)是k广义投影当且仅当A是正规算子且谱σ(A)∈{0，ei2n/k+1π：n=0，1，2,...，k}；其次给出A是k广义投影的等价刻画.最后探讨了k广义投影的道路连通性问题，分别得出如下结果： (1)如果P和Q是同伦的k广义投影，那么P,Q在k广义投影之集中是道路连通的； (2)k广义投影之集中不包含由k广义投影组成的线段.第三章在无限维Hilbert空间上，探讨算子方程XJ-JX*=M，AXA*=B，AXB=C,AX=B解的一些性质.分别得出方程XJ-JX*=M有等距解的等价条件；方程AXA*=B，AXB=C，AX=B有解的充分必要条件以及这些算子方程的通解表示. 第四章我们对B(H)中关于幂等算子P的广义二次算子的全体L(P)={A∈B(H)：A2=αA+βP且AP=PA=A，其中P∈P，α和β是任意的复数.} 进行刻画.证明了无限维空间上的广义二次算子是相似不变的.并进一步用算子谱论的技巧研究L(P)的谱和群逆等相关性质，推广了R.W.Farebrother和G.Trenkler的结论.