【摘 要】
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近年来,随着自然科学和工程技术的发展,不断提出了各种非线性椭圆型方程问题,这使得研究非线性椭圆型方程解的存在性和多重性成了一类重要的课题.本文主要利用变分法中的下降流不变集方法和山路引理方法研究了两类椭圆型方程的解的存在性,在适当的条件下得到了它们的正解、负解、变号解及多重非平凡解,所得结果推广了已知相应结论.全文共分三章：第一章,介绍了本文的研究背景,主要研究问题以及需要用到的一些基本概念和定理
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近年来,随着自然科学和工程技术的发展,不断提出了各种非线性椭圆型方程问题,这使得研究非线性椭圆型方程解的存在性和多重性成了一类重要的课题.本文主要利用变分法中的下降流不变集方法和山路引理方法研究了两类椭圆型方程的解的存在性,在适当的条件下得到了它们的正解、负解、变号解及多重非平凡解,所得结果推广了已知相应结论.全文共分三章：第一章,介绍了本文的研究背景,主要研究问题以及需要用到的一些基本概念和定理.第二章,考虑一类半线性椭圆方程的解的存在性,其中Ω是RN中具有光滑边界的有界定义域.这类非线性椭圆型方程是偏微分方程中非常重要的一种类型,越来越多的数学家、生物学家和物理学家对此产生了浓厚的兴趣,并得到了许多有意义的结果.在本文中,我们分别在变分泛函满足（PS）紧性条件和失去（PS）紧性条件的情况下得到了该方程的变号解,正解及负解.第三章,继续利用下降流不变集的方法讨论Kirchhoff型方程的解,其中Q是RN中具有光滑边界的有界定义域,且a, b>0. Kirchhoff型方程与静态模拟方程u11-(a+b||u||2△u=g（x,t）密切相关,可用来描述生物种群的密度等平均量.本章在较已有文献更弱的条件下对变分泛函的性质进行了研究,并利用局部链环的有关理论得到了该方程的多个非平凡解.
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