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本文主要研究了单位球面内极小超曲面的数量曲率取值空隙和黎曼流形的特征值问题。
设Mn是单位球面Sn+1中的n维紧致极小超曲面。S表示M第二基本形式模长平方，它是流形上的非负函数。1983年，彭家贵和滕楚莲找到了n≤5情形下S可取值的第二空隙。本文第三节中证明的定理1将此结果推进到n≤7：
主要定理A：设Mn是Sn+1中的紧致极小超曲面，n≤7.则存在仅与n有关的正常数δ(n)使得当n≤S(x)≤n+δ(n)时，S(x)≡n。
对于上述空隙问题，1997年，K.Ogiue和孙华飞曾经给出了一个任意n情形的证明，但是他们的证明有本质错误。本文第四节摘录了他们证明的主要步骤，并指出了其中的错误，给出了相应的反例。
在本文的第五节中，定理2给出在附加了主曲率限制条件下，存在第二空隙的一个充分条件。
关于极小子流形的特征值问题，在文献[29]中已经有了许多优美的结果。本文第六节对一般紧致黎曼流形的特征值做了估计。定理3讨论的是一类带边子流形的Dirichlet特征值问题，定理4估计了完备单连通且具有非正截面曲率的黎曼流形中的紧致无边子流形的高阶特征值下界，定理5给出了黎曼流形中一小块紧致带边区域Dirichlet边值问题的Lieb-Li-Yau型估计：
主要定理B：设Mn(n≥3)是n维黎曼流形，且KM≤b，RicM≥-(n-1)a，其中a,b＞0。D()M是连通的紧致带边区域。如果D包含在某测地球B(x，R(a，b))之中，其中R(a，b)是仅与a,b有关的正常数。则对D上的Dirichlet边值问题，有：μk≥C2(n)(k/V(D))2/n,
其中C2(n)=n(n-2)/[Γ(n+1)/Γ(n/2)Γ(n/2+1)ωn-1]2/n(π/2)n-1(sinh1)n2-n+2/ne.